完全平方公式的应用

完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2.是整式运算中最重要的公式之一.在数学竞赛中它还能大显身手.例1 (2002年全国初中数学竞赛题)已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a~2+b~2+c~2-ab-bc-ac 的值为().(A)0 (B)1 (C)2 (D)3     

巧用整式的乘除解竞赛题

一、用于求值例1已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3     

不等式

强化主干课时一不等式的性质疑难解析例1(1)已知x∈R,比较x6+1与x4+x2的大小.(2)比较下列两组数的大小.(A)1999-1998与1998-1997.(B)2004-2003与2003-2002.策略采用作差法或作商法比较大小.解:(1)(x6+1)-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1).当x=±1时,x6+1=x4+x2,当x≠±1时,x6+1>x4+x2.(2)1999-19981998-1997=1998+19971999+1998.显然1998+1997<1999+1998.∴1999-19981998-1997<1,即1999-1998<1998-1997.同理2004-2003<2003-2002.评述:1.作差比较两式大小的一般步骤是:1作差(有时需要转化才可作差),2变形(进…     

巧用整式的乘除解竞赛题

一、用于求值^例1已知a=1999x 2000,b=1999x 2001,c=1999x 2002,则多项式a2 b2 c2-a b-b c-c a的值为()A.0B.1C.2D.3(2002年全国竞赛题)解题思维:由已知与所求式的结构特点,把所求式配方成(a-b)2 (b-c)2 (a-c)2的形式解之.解:由已知可得a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2,所求式=21(2a2 2b2     

灵活换元 巧妙解题

换元是初中代数学习中非常重要的一种解题方法 ,它指的是在解题过程中有意识地把一个代数式看成一个整体 ,用字母表示。灵活地应用这种方法 ,可使解题简易、迅捷。一、分解因式例 1.分解因式 (x2 - x) 2 - 8x2 + 8x+ 12。解 :设 x2 - x=z,那么原式 =(x2 - x) 2 - 8(x2 - x) + 12=z2 - 8z+ 12 =(z- 2 ) (z- 6 )=(x2 - x- 2 ) (x2 - x- 6 )=(x- 2 ) (x+ 1) (x- 3) (x+ 2 )。二、化简二次根式例 2 .化简 x z - z xx z + z x-z x + x zz x - x z。解 :设 x =a,z =b,那么 x=a2 ,z=b2 。原式 =a2 b- ab2a2 b+ ab2 - ab2 + a2 bab2 - a2 b=a- ba+ b…     

构造数学模型巧解方程(组)

构造数学模型解题 ,就是根据题目的特征 ,构造相应的数学模型 ,把陌生的问题转化为熟悉的问题 ,把复杂的问题转化为简单的问题的一种化归方法 .通过构造数学模型解题不仅构思巧妙 ,见解独到 ,而且极富思维的创造性 .本文结合非常规方程 (组 )问题的求解 ,介绍构造数学模型解题的几种方法 .1　构造方程模型根据方程 (组 )中所给的数量关系 ,构造一个新的方程 ,通过对新方程的求解而达到解题的目的 .例 1　解方程组x + y + 9x + 4y =1 0(x2 + 9) (y2 + 4 ) =2 4xy解 :原方程组可化为(x + 9x) + (y + 4y) =1 0(x + 9x) (y + 4y) =2 4于是 x + 9…     

因式分解的应用

因式分解作为一种运算技巧或解题方法,在解题中有着独特的作用.因此,我们学习因式分解之后,就要重视因式分解的应用.一、求值例1.已知a=120x+20,b=210x+19,c=210x+21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是(/).(A)4(B)3(C)2(D)1分析:直接求值计算量很大,如何利用公式化简代数式是解题的关键.解:原式=12(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2)=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2].由a=120x+20,b=210x+19,c=210x+21可得a-b=1,b-c=-2,a-c=-1.∴原式=12[12+(-2)2+(-1)2]=21(1+4+1)=3.选(B).二、化简例1先化简x+1x2+x-2÷x-2+3x+2!",再求值,其中x=tan45°-cos30°…     

不等式

基础篇 课时一　不等式的性质疑难解析例 1　 ( 1)已知 x∈ R,比较 x6 + 1与 x4 + x2 的大小 .( 2 )比较下列两组数的大小 .( A) 1999- 1998与 1998- 1997.( B) 2 0 0 4 - 2 0 0 3与 2 0 0 3- 2 0 0 2 .策略　采用作差法或作商法比较大小 .解 :( 1) ( x6 + 1) - ( x4 + x2 )=x6 - x4 - x2 + 1=x4( x2 - 1) - ( x2 - 1)=( x2 - 1) ( x4 - 1) =( x2 - 1) 2 ( x2 + 1) .当 x =± 1时 ,x6 + 1=x4 + x2 ,当 x≠± 1时 ,x6 + 1>x4 + x2 .( 2 ) 1999- 19981998- 1997=1998+ 19971999+ 1998.显然 1998+ 1997<1999+ 1998.∴ 1999- 19981998- 1997<…     

用判别式法求函数值域剖析

<正>判别式法是高中求分式函数值域的常用方法.但由于对此方法的原理不很清楚,许多学生在解题过程中对一些条件不能正确的处理,从而导致解题出错.下面以几个题目为例,说明判别式法的原理以及在使用过程中一些要注意的地方.例1求函数f(x)=x2-2x-32x2+2x+1的值域.解:∵2x2+2x+1=2 x+()122+12>0恒成立,∴函数的定义域为R.图1将原函数等价变形为关于x的方程:(2y-1)x2+(2y+2)x+y+3=0……(*)(1)2y-1=0即y=12时,代入(*)式,求得x=-76.∴y可以取到12.     

解二元一次方程组的技巧

解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法.同学们在解题时,除熟练运用这两种基本方法外,还应当结合方程组的特征,灵活使用一些巧妙解法,这样不仅可以简化解题过程,提高解题的速度,而且可以养成爱动脑的好习惯.一、整体代入法例1解方程组3x=4y+7,(1)9x-10y=25.(2 简析:由于方程(2)中的9x可化成3×3x,故可视3x为整体,用(1)中的4y+7代换,这样既消去了x,又可避免方程变形之烦.解:将(1)代入(2),得3(4y+7)-10y=25,解之得y=2.将y=2代入(1),得3x=4×2+7,∴x=5.∴原方程组的解是x=5,y=2 二、整体加减法例2解方程组3(x-2y)+4(y+1)=10,…     

三角变换中忽视隐含条件改误举例

三角是初等数学的重要组成部分 ,三角函数独特的性质 (如定义域、有界性、周期性等 ) ,以及三角函数众多的公式 ,使解决三角问题的条件较一般的代数问题更趋于隐蔽 ,解题的过程有更多陷井 ,解题的思维更需慎密 ,本文通过挖掘三角问题的隐含条件 ,揭示其隐含方式 ,展示其隐含真面目 ,从而走出易陷的误区 ,寻找正确的解决方法 .一、隐含于函数的定义域中例 1　判断函数 f ( x) =1+sin x - cos x1+sin x +cos x的奇偶性 .不少学生认为 :∵ f ( x) =2 sin x2 ( sin x2 +cos x2 )2 cos x2 ( sin x2 +cos x2 )=tan x2 ,∴ f ( - x) =tan ( - x2 ) …     

拆项在解题中的应用

拆项是数学学习中重要的一种解题方法 ,它指的是将代数式中的某项有意识地变形成两项或多项的和。灵活地应用这种方法 ,可很好地利用有关的公式、定理和已知条件 ,从而使解题简便易行。一、用于有理数计算例 1.计算 9999× 9999+19999。解 :原式 =(9999× 9999+9999) +10 0 0 0=9999× (9999+1) +10 0 0 0=10 0 0 0× (9999+1)=10 0 0 0 0 0 0 0。二、用于分解因式例 2 .分解因式 x3 +2 x2 - 5 x- 6。解 :原式 =(x3 +2 x2 +x) - (6 x+6 )=x(x+1) 2 - 6 (x+1)=(x+1) (x- 2 ) (x+3)。例 3.分解因式 x4 +x2 +2 ax+1- a2 。解 :原式 =(x4 +2 x2 …     

“零”的陷阱例析

我们知道几乎每一个数学概念和每一 种数学运算都与零有关,零在数学领域中常 扮演着举足轻重的角色.在解题过程中,若对 零丧失警惕,就容易走入误区,掉进陷阱,造 成解题失误.因此,我们在解题时就应睁大眼 睛,增强警惕性,从而排除陷阱,顺利到达正 确解题的目的地. 陷阱之一　忽视分母不能为零 【例1】　求和Sn=(x+1y)+(x2+1y2) +(x3+1y3)+…+(xn+1yn). 错解:Sn=(x+x2+…+xn)+(1y+ 1 y2+…+1yn) =x(1-xn)1-x+ 1 y(1-1yn) 1-1y =x-xn+11-x+yn-1yn(y-1) 剖析:因为当分母为零,即当x=1或 y=1时,不能表达成上述…     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

巧用一个等式解题

由完全平方公式,得(a-b)2=a2-2ab+b2,(b-c)2=b2-2bc+c2,(c-a)2=c2-2ca+a2,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2(a2+b2+c2+ab-bc-ca),∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].这是一个非常重要的等式,巧用它,某些代数题的解答可变得简易、迅捷.例1如果a=1999x+2001,b=1999x+2002,c=1999x+2003,那么a2+b2+c2-ab-bc-ca的值是().(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.解:已知三等式两两相减,得a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=3.例2若a、b、c是不全相等的任意有理数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z().(A)都小于0;(B)都大于0;(C)至少有…     

数学中配偶法解题例说

数学美的具体体现是结构美、对称美、简洁美、奇异美 ,配偶法解题揭示了数学美之所在 ,本文例举几例与大家共赏 .1　倒数配偶例 1　已知函数 f(x)满足 2 f(x) - f(1x) =x(x≠ 0 ) ,求 f(x)的解析式 .解　 2 f(x) - f(1x) =x ,①以 1x 代x得2 f(1x) - f(x) =1x.②① × 2 +②得3f(x) =2x+ 1x,∴f(x) =2x2 + 13x .例 2　 (2 0 0 2年全国高考题 )已知 f(x) =x21+x2 ,则f(1) + f(2 ) + f(12 ) + f(3) + f(13) + f(4) +f(14 ) =.解　由 f(x) =x21+x2 得 f(x) + f(1x) =1,∴f(1) + f(2 ) + f(12 ) + f(3) + f(13) + f(4)　 + f(14 ) =12 + 1+ 1+ 1…     

妙解一元一次方程

在解一元一次方程时 ,灵活选择解题方法 ,可简化运算过程、提高解题速度 ,起到事半功倍的效果。下面举例说明。一、妙去括号例 1　解方程　 34[43( 12 x - 14 ) - 8]=32 x + 1 分析 :因 34× 43=1 ,所以先去中括号简便。解 :去中括号得 :( 12 x - 14 ) - 6 =32 x + 1解得 :x =- 714 二、妙用整体合并例 2　解方程　x - 13[x - 13(x - 9) ]=19(x - 9) 分析 :因方程两边都含有 (x - 9) ,所以把含有 (x - 9)的项整体合并简便。解 :去中括号得 :x - 13x + 19(x - 9) =19(x - 9)移项、合并得例 3　解方程　x - 14 + 2x =5- 3(x - 1 )4 分析 :…     

巧解方程例说

解数学题 ,选择解题方法是个值得重视的问题 ,方法选得好 ,既使思路清晰又使过程简捷 ,达到事半功倍的目的 .本文介绍几种解方程的技巧 ,供教学时参考 .1　函数思想函数思想解方程 ,一般是将方程转化为函数 ,从而利用函数的有关性质使问题得到解决 .例 1　解方程 :( 6x + 5 ) [1 + ( 6x + 5 ) 2 + 4]+x( 1 +x2 + 4) =0 ( 1 990年福州市高中竞赛题 ) .解 :观察方程左边 ,两项具有相同的结构特征 ,故可设 f(x) =x( 1 + x2 + 4) (x∈R) ,则f(x)是R上的增函数 .∵ f( -x) =-x( 1 +x2 + 4) =-f(x) ,∴ f(x)是奇函数 ,又因为方程可变为( 6x + 5 )…     

求函数表达式杂例一束

本文介绍求函数f(x)的表达式的几种方法,目的在于使学生深刻理解函数的定义,熟练掌握解题时常用的数学方法,以发展学生的思维能力。例1.(变量代换)已知二次函数f(x),满足f((1+x)/x)=(x~2+1)/x~2+1/x,求f(x)的表达式解f((1+x)/x)=(x~2+1)/x~2+1/x=1+1/x~2+1/x,     

灵活降次 巧妙解题

初中数学学习中,经常遇到一些次数较高的数或式的运算有关的问题·考虑降次的思想方法,可使解题简易·下面举例介绍几种常用的降次途径·一、代入降次例1(2005年“华罗庚杯”初二数学竞赛试题)已知x2+x=1,那么x4+2x3-x2-2x+2005=·解:由x2+x=1,得x2=1-x·所以x3=x(1-x)=x-(1-x)=2x-1,x4=x(2x-1)=2(1-x)-x=2-3x·原式=(2-3x)+2(2x-1)-(1-x)-2x+2005=2004·例2(2003年辽宁省初中数学竞赛试题)当x=1+21997时,求(4x3-2000x-1997)2003的值·解:显然,2x-1=1997,所以(2x-1)2=1997,4x2=4x+1996,这时4x3=4x2+1996x=2000x+1996,原式=[(2000x+1996)-200…