抛物线弦的一组性质

抛物线y~2=2px的焦点弦为AB,则y_Ay_B=-p~2,这是抛物线焦点弦的一条常用性质.对一般的弦而言,也有类似的性质,这里,我们给出一组充要条件,揭示弦的性质. 若AB为抛物线y~2=2px的弦,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).则有: ∠AOB为直角x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 Ap~2=0; ∠AOB为锐角x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0; ∠AOB为钝角x_1x_2 y_y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0. 证明:cos∠AOB=|AO|~2 |BO|~2-|AB|~2/2|AO|·|BO|=2(x_1x_2 y_1y_2)/2|AO|·|BO|,故∠AOB为直角cos∠AOB=0x_1x_2 y_1y_2=0; ∠AOB为锐角cos∠AOB>0 x_1x_2 y_1y_2>0; ∠AOB为钝角cos∠AOB<0 x_1x_2 y_1y_2<0. 又A、B在抛物线上,故y_1~2=2px_1,y_2~2=2px_2,从而(y_1y_2)~2=4p~2x_1x_2,故x_1x_2 y_1y_2=1/4p~2·y_1y_2(y_1y_2 4p~2). 从而 x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 4p~2=0(显然y_1y_2≠0), x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0, x_1x_2 y_1y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0,得证. 应用这组充要条件,可方便地解决与抛物线弦相关的一类问题.     

巧用分点坐标公式解等差数列题

线段的定比分点坐标公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y:(y_1 λy_2)/(1 λ),λ=(x-x_1)/(x_2-x)反映了线段的起点P(x_1,y_1)、终点P_2(x_2,y_2)、分点P(x,y)与定     

柯西不等式的分式形式及其应用

在柯西不等式:(x_1~2 x_2~2 …x_n~2)(y_1~2 y_2~2 … y_n~2)≥(x_1y_1 x_2y_2 …x_ny_n)~2中如果作如下代换:(x_1,x_2,x_3,…,x_n)=(a_1,a_2…,a_n)及(y_1,y_2,…,y_n)=则可得柯西不等式的分式形式:     

抛物线焦点弦性质的证法赏析

<正>题目过抛物线y²=2px(p> 0)的焦点F(p/2,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).证明:y_1y_2=-p2=2px(p> 0)的焦点F(p/2,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).证明:y_1y_2=-p²,x_1x_2=p2,x_1x_2=p²/4.此抛物线性质问题的证法很多,下面是笔者在平时的教学中,归纳出几种方法,供读者欣赏.     

一道高考题的求解策略及深入探究——剖析2018年上海高考第12题

<正>1试题呈现已知实数x_1、x_2、y_1、y_2满足x_1²+y_12+y_1²=1,x_22=1,x_2²+y_22+y_2²=1,x_1x_2+y_1y_2=1/2,则|x_1+y_1-1|/2(1/2)+|x_2+y_2-1|/2(1/2)的最大值为.本题为2018年上海市高考数学试题第12题,从题面上看,考查的是以"绝对值和方程"为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对曲     

数学奥林匹克高中训练题(28)

第一试 一、选择题 1.对x_1>x_2>0,1>a>0,记 y_1=x_1/(1 a) ax_2/(1 a),y_2=ax_1/(1-a) x_2/(1 a),则x_1x_2与y_1y_2的关系为( )。     

每期一题

由解法2知,x_1、x_2为方程100x~2-80x-11=0的二根;y_1、y_2为方程110y~2-60y-39=0的二根,于是由韦达定理求出x_1 x_2、x_1·x_2、y_1 y_2、y_1·y_2的值并代入⑥、⒁即可获得答案。     

从一道例题说起

例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以     

一个简单命题及其应用

命题 设|x_n|,|y_n|是两个正项数列,如果x_1>y_1,同时(x_n)/(x_(n-1))>(y_n)/(y_(n-1))(n≥2),那么x_n>y_n。 证明 x_n=(x_n)/(x_(n-1))·(x_(n-1))/(x_(n-2))…·(x_2)/(x_1)·x_1>(y_n)/(y_(n-1))·(y_(n-1))/(y_(n-2))…(y_2)/(y_1)·y_1=y_n。     

椭圆的中点弦

椭圆以某定点为中点的弦并非一定存在,那么,中点弦存在的充要条件是什么?有何应用,本文作下列探讨: 一中点弦方程的一种求法。设椭圆b~2x~2 a~2y~2-a~2b~2=0,(a>0,b>0)…(1) 及定点P_0(x_0,y_0),若以P_0为中点的弦存在,且两端点分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 则:b~2x_1~2 a~2y_1~2-a~2b~2=0 b~2x_2~2 a~2y_2~2-a~2b~2=0 两式相减整理得: (y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(x_1 x_2)/(y_1 y_2)·b~2/a~2 =-b~2/a~2·x_0/y_0 (x_1≠x_2) 即k=-(b~2x_0)/(a~2y_0),代入点斜式得中点弦方程:a~2y_0y b~2x_0x=a~2y_0~2 b~2x_0~2……(2) 如果x_1=x_2,那么y_0=0,中点弦方程为x=x_0仍包含在(2)中。     

7维广义马尔科夫方程的解

证明了7维广义马尔科夫方程x^21 x^22 x^23 x^24 x^26 x^27=kx1x2x3x4x5x6x7(*)当k=1,2,3,5,7时有解（指正整数解,不同）;给出了k=4,6时7维广义马尔科夫方程的一些性质。     

基于结构化的智能综合布线系统

介绍了传统布线系统的不足,分析了基于结构化的综合布线系统的优点,并提出了结构化综合布线智能管理的必要性和解决方案。     

综合能力培养讲座(十)综合能力测试概要

本文介绍了我国综合能力测试的现状 ,分析了测试的目标和内容。依据 19982 0 0 0年综合能力测试试题 ,试对其命题原则及试题特点作了初步分析     

基于PCA评价体系的海西城市房地产综合竞争力分析

基于城市宜居环境、社会环境、政策环境、经济状况、房地产市场运行状况和房地产市场健康程度六个方面,予以衡量城市房地产综合竞争力水平,构建海西城市房地产综合竞争力指标体系。运用PCA对海西各地级市房地产综合竞争力做出实证分析,对海西城市房地产综合竞争力进行排名,以资参考。     

技术产品的美学质量评价的实验报告

审美对象的美是具有模糊性的,因此用模糊数学的理论和方法来评价技术产品的美学质量是再恰当不过了,我们采用模糊对比综合评判方法对皮装进行美学质量评价的实验,首先挑选八种皮装构成论域E={x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8),确定其美因品级的因素集U及各因素的权数,得到权重模糊子集(?),再由专家组确定评价集V,对其元素给出数量规定,构造出V上的评价数量集V和x_i与x_j的模糊综合评判,最后求出x_i与x_j的美因比较级g(x_i,x_j)与g(x_i,x_j),取平权计算元素x_i(i=1,2,…,8)的美丽度和美丽模糊集。     

语言生态学的性质、任务和研究方法

语言生态学是一门新兴的交叉学科,它具有与邻近学科在研究内容上的同质性,同时还具有学科综合性、应用性、前沿性等性质。语言生态学的任务是弄清现阶段世界上的语言生态的基本面貌,研究语言与社会环境的相互关系、研究语言人和语言的生态对策,揭示人在生态系统中所起的作用。系统的方法、比较的方法和综合的方法是研究语言生态学的基本方法。     

Riccati方程的可积条件

黎卡提(Riccati)方程y′=p(x)y2+q(x)y+r(x)一般情况下是不可积的,本文利用变量变换先将Riccati方程化成二阶变系数齐线性方程,再化成二阶常系数线性方程.从而得到Riccati方程的若干可积条件.     

关于大三无机合成课程改革的思考

从现代无机合成科学的发展出发，在对大三无机合成课程的现状进行剖析的基础上，可以看到，无机合成课程改革是必然的，应采取具体措施进行无机合成课程教学改革。     

改革实验教学 加强能力培养

改革药物分析实验，通过严格的基本操作训练、综合性实验、设计性实验三个阶段，加强学生理论联系实际和综合运用知识的能力。     

浅析价值工程方案的评价和选择

分析了综合评分法在价值工程方案选择中的应用.综合评分法其主要的评价过程为:确定评价项 目、计算其权重并进行一致性检验、评价各个方案对每个经济指标在所评价项目的满足程度评分、计算各个方 案对评价项目评分权数和,得出最优方案.