0．618与奇异三角形（1）

(一)问题美国现代数学教育家G·波利亚曾向人们提出一个饶有趣味的问题:“一个三角形有6个基本元素———3条边与3个角,能否找到这样一对不全等的三角形,第一个三角形的5个基本元素与第二个三角形的5个基本元素分别相等?”这样一对三角形是否存在?———如果存在,怎样去找;如果不存在,怎样证明.初想———在5个元素中如果有2个元素是边,另3个元素是角,那么,由“边角边”定理,两个三角形也全等.细想———两对边虽然对应相等,但它们的夹角未必相等,或者说,虽然三对角分别相等,但等角的对边可能不等!(这里有一个序的问题)这只是一种猜想(直觉…     

以几何动态解决一个三角形中的边角不等关系

笔者在中学教育实习中遇到如下问题:在一个三角形中,如果两边不等,那么这两边所对的角的大小关系如何呢?反过来,如果角不等,所对边的大小关系又如何呢? 要证角不等,学过的只有“三角形的一个外角大于任一不相邻的内角”。于是想方设法构造一个三角形,使得一个角为另一个角不相邻的内角。笔者认为,在上海市新编教材中,这     

巧用等腰三角形顶角的邻补角

等腰三角形是平面几何中性质比较多的图形,"等边对等角"是一个中心性的性质.在解题过程中我们经常通过这条性质把在同一个三角形中的边相等的问题转化成角相等的问题.在等腰三角形的判定,"等角对等边"是一个中心的判定定理.我们可以运用这条定理解决在同一个三角形中的角相等转化为边相等的问题.     

三角形全等证明别忘“对应”

三角形全等证明,十分注重“对应”两个字,只有“对应”了,才能确保那些证明正确无误.一个三角形有3角3边6个元素.两个三角形如果3只角3条边都分别相等了,当然全等.但学贵有疑:这条件太苛刻了,能不能放宽一些呢?6个元素中一个两个分别相等,显然不行,有3个元素或3个以上分别相等,但不对应,会一定全等吗?“一定”,必须一个不例外,能举出一个反例就不能算“一定”了.不妨用这种逻辑,归纳思考一番:1.两个三角形有3只角分别相等呢?不行.它们一定相似,但不一定全等.2.两个三角形2只角和1条边分别相等呢?对于△ABC,如果作∠ABC'=∠ACB(如下图),…     

三角形中边与角之间的不等关系

我们学习了等腰三角形的性质定理及判定定理，这两个定理介绍的是三角形中边与角各自之间相等关系的转化，那就是，在一个三角形中等角对等边，我们还学习边与边，角与角之间的不等关系，如：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，在这里本将介绍一下三角形边与角之间的不等关系。     

平面基本图形浅说——初一数学竞赛系列讲座(7)

在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?这5条直线最多有几个交点?这是平面基本图形的一个典型问题:点、线、三角形是最基本的平面图形,值得认真研究.基本知识1.过两点有且只有一条直线;2.平行线的判定与性质;3.三角形的内角和等于180°.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.在同一个三角形中,等边所对的角相等,等角所对的边相等,大角所对的边较大.例1在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?分析两条直线相交时(设交点为O),把平面分成4…     

在三角形中证明线段相等

存几何证明中,我们经常会遇到证明两条线段相等的题目,可以说证明两条线段相等是初中几何证明中比较基本的题目. 证明两条线段相等,经常使用的方法归纳起来可有: (1)使所证的两条线段位于两个全等三角形中,通过全等三角形证明. (2)使所证明的两条线段位于同一个三角形中,利用“等角对等边”证明. (3)利用线段的垂直平分线、角平分线的性质证明. (4)利用第三条线段代换进行证明.     

相似三角形的应用

相似三角形的判定定理：1．如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．2．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．     

这样的两个三角形全等吗

同学们在学习了“探索三角形全等的条件”和“证明 (一 )”之后 ,对全等三角形的判定和性质都比较熟悉了 .但是你曾想过下列问题吗 ?问题　具有 5个元素分别相等的两个三角形一定全等吗 ?你也许会不假思索地回答 :一定全等 .那就错了 .数学上的许多问题 ,常常是出人意料的 .当然 ,如果 5个元素中含三条边 ,那么这两个三角形必定全等 .但还存在另外一种情况 ,即这两个三角形有两条边 ,三个角分别相等 ,它们是否一定全等呢 ?答案是否定的 .下面我们来讨论这个问题 .首先 ,这两个三角形有三个角对应相等 ,这两个三角形是相似 .这一点是肯定的 .…     

相似三角形的判定方法应用探究

相似三角形的判定方法有：（1）如果一个三角形三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简单说成“三边对应成比例的两个三角形相似”;（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简单说成“两角对应相等的两个三角形相似”;     

反例与三角形的全等

联想——猜测——证明,这是人类认识世界的思维过程.我们学习了两个全等三角形的四个判定定理(SAS,ASA,AAS,SSS)以后,自然会联想到:如果两个三角形中有(1)三组角对应相等;(2)两组边和其中一组边所对应的角相等.这两个三角形是不是全等呢?     

证明两角相等的方法

如何证明两个角相等呢 ?本文归纳以下几种方法 ,以供解题参考 .1 对顶角相等 .2 同角 (或等角 )的余角相等 ;同角 (或等角 )的补角相等 .3 全等三角形 (或相似三角形 )对应角相等 .4 平行线中的同位角和内错角都分别相等 .5 平行四边形的对角相等 .6 角平分线分得的两个角相等 .7 等腰梯形在同一底上的两个角相等 .8 在同圆或等圆中 ,等弧 (或等弦 )所对的圆心角和圆周角都相等 .9 圆内接四边形的外角与它的内对角相等 .1 0 弦切角与它所夹弧对的圆周角相等 .现举例说明以上方法的应用 .例 1　如图 1 ,已知AB =DC ,AD=BC .求证 :∠…     

一对特殊三角形的设计与黄金分割比

一个三角形有六个基本元素:三条边和三个角,有没有五个基本元素分别相等的不全等三角形呢?这是一个非常有趣的问题.     

谈数学思维能力的培养

(一)数学课堂教学应始终贯穿以学生为主体,教师为主导,思维为主线的教学新思路。为此,教师的教学思路必须由传统的“传道、授业、解惑”转变为由学生发现、探索、解决问题的新的教学思路,注重数学思维方法的传授。如“角的平分线”一课的导入,可先设问:“我们已经学过的证明两条线段相等的方法有哪些?”由学生总结、补充、归纳出下面三种方法:1.如果这两条线段分别在两个三角形中,可先证这两个三角形全等,继而证明相对应的两条线段相等。2.如果这两条线段在同一个三角形中,可以用等角对等边去证明之。3.还可以利用垂直平分线的性质去证明。…     

“具有天然重心的四边形”的探索

三角形的重心是三条中线的交点，与三条边构成面积相等的三个三角形，我们称之为三角形的“天然重心”．同样，我们也可以定义四边形的“天然重心”：若平面四边形内存在一点与四条边构成的四个三角形面积相等，那么这个点就称为四边形的“天然重心”．显然，平行四边形具有天然重心一对角线的交点．那么，是不是每个四边形都有天然重心呢？如果答案是否定的，那么有天然重心的四边形在形式上有什么特征？也就是说，什么样的四边形内存在一点，它与四条边构成的四个三角形面积相等？     

探索三角形全等的条件<三>

问题与情境前面我们通过探究得知:三边对应相等的两个三角形全等;两角及其夹边或两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等;三个角对应相等的两个三角形不全等．那么给定角形的两边及一角时,所得到的三角形都全等吗?     

几何初步知识

一、图形的认识复习1·连一连。可以量长度不能量长度直线射线线段有一个端点有两个端点没有端点2·写出下面两条直线的位置关系。3·角是由两条()组成。(1)想一想:角的大小与什么有关?(2)说一说角按角度大小可以分成几种?每种角的角度范围是多少?4·三角形。(1)三角形按边的特     

余弦定理的无字证明

余弦定理｛a^2=b^2＋c^2-2bccosA b^2=a^2＋c^2-2accosB c^2=a^2＋b^2-2abcosC} 指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量．对于余弦定理,教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．根据三角形全等的判定方法,已知三角形的两条边及其所夹的角,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．解这个三角形,就是从量化的角度来研究这个问题．现行教科书先考虑如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边,设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的公式,并利用向量的数量积证明了余弦定理．本文将给出余弦定理C^2=a^2＋b^2-2abcosC的其他几种简洁证法．     

构筑思维平台提高教学质量——勾股定理教学设计

在数学教学活动中 ,如何让学生积极主动地进行探索 ,把课堂教学的重心由知识中心转移到素质教育上来 ,这是每一位数学教师需要面对和认真思考的课题 .下面就勾股定理 (人教版《几何》第二册第98— 10 0页 )的教学设计谈一些做法与体会 ,以求教于同行 .1　选准立足点 ,引入课题问 1　任意三角形的三条边都满足怎样的关系 ?(三角形的两边之和大于第三边 )问 2　等腰三角形的边和角满足什么样的关系 ?(等角对等边 ,等边对等角 )问 3　三角形中边的特殊性会带来角的特殊性 ,角的特殊性也能带来边的特殊性 .如果三角形中有一个角特殊为直角 ,那么…     

探索动态构成等腰三角形的解题

有两边相等的三角形是等腰三角形,是在运动过程中能够构成等腰三角形的重要判定依据.由于有两个角相等的三角形也是等腰三角形,即等边对等角也是一种判定依据;等腰三角形三线合一这个性质的逆定理也可以用来判定一个三角形是等腰三角形。因此.动态构成等腰三角形值得探讨研究．