y=dx~2+ex+f/ax~2+bx+c的值域求法的一点注记

利用判别式求函数y=((dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c))(a~2+d~20)(1)的值域的方法是大家熟知的,但不全面地进行讨论,往往仍会发生错误,我们通过例题来说明这一点.例1 试用两种方法求函数y=8/(x~2-4x+5)(2)的值域.(《高中数学教材补充题(第一册)》23页第99道第(2)小题).     

探究函数f(x)=(ax~2+bx+c)/(dx~2+ex+f)的值域

<正>求函数的值域是我们经常遇到的一类问题,我们往往能够如数家珍地列出许多求函数值域的方法,那么哪些方法适用于求函数f(x)=(ax²+bx+c)/(dx2+bx+c)/(dx²+ex+f)的值域呢?我在平时的学习过程中总结出了三种方法,即判别式法、导数法和均值不等式法。这三种方法各有各的特点,下面介绍一下这些方法的适用情形。     

函数y=√a+bx+√c-dx值域的新求法

求函数y=√a+bx+√c-dx(b＞0,d＞0,ad+bc＞0)的值域的方法很多,常用的有不等式法和换元法.本文利用向量给出一种新的求法,并导出求此类函数值域的一般公式.     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

求函数类型y=(Cx+D)/(Ax+B)值域的教法的改进

求函数类型y=(Cx+D)/(Ax+B)(A,B,C,D为常数,且A≠0)的值域直接用反函数法和分离常数法显得突兀生硬,学生难以接受.本文从反比例函数出发利用函数图像的平移得到分离常数法,进而层层深入得到求函数类型y=(Cx+D)/(Ax+B)(A,B,C,D为常数,且A≠0)的值域的方法.这种教法循序渐进过渡自然,学生更容易接受.     

求分式函数y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的值域应注意的一点

本刊84年第3期上登载了陆幼芳同志题为《y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的值域求法的一点注记》一文.读后受到一定的启发,同时又感到文中只谈到这个问题的一个侧面,本文将全面分析此类问题.我们首先想到分式(ax~2+bx+c)/(mx~2+nx+p)(a、m不同时为零)能否化简,这又决定于ax~2+bx+c和mx~2+nx+p是否有公共根,因此想到要分下面三种情况进行分析.     

函数f(x)=ax+b~(1/2)+d-cx~(1/2)值域的又一新求法

求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1　结论及证明定理　设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 …     

无理函数y=mx+(ax2+bx+c)~(1/2)(m≠0,m~2-a≠0)值域的统一求法

求无理函数的值域,可用的方法有三角换元法、数形结合法、导数法等.三角法着眼于去根号,数形结合法仰赖于直观,导数法重点放在划分单调区间.本文翻阅到的资料都停留在具体题目的解法上,没能寻得一般性的结论,若有关系数设计的不巧,运算将变得复杂繁琐,甚至解不下去.于是产生一种愿望和奇想:无理函数的值域能否像一元二次方程求解一样有统一的纯代数求法呢?根据波利亚“回到定义去”的思想,笔者从函数值域的本来意义出发,使用原象概念,把求函数的值域转换成解一个特定形式的不等式,统一解决了一类无理函数y=mx+ax2+bx+c((m≠0,m2-a≠0)的值域…     

关于函数y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(ax~2+bx+c)值域的讨论

在现行中学数学教材中,有求有理分函数y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(ax~2+bx_c) ①的最大值与最小值问题(例如,高中数学第三册复习题二第9题)。它的求法是大家熟知的。但是,我们要问,函数①一定有最大或最小值吗?在什么条件下,一定有呢? 为了弄清这个问题,本文对函数①的值域进行讨论,解决以下四个问题。第一,函数①的值域的正确求法; 第二,函数①的值域值有哪几种类型; 第三,函数①有最大值或最小值存在的条件; 第四,当X只在某个区间上取值时,函数①的值域的求法。下面依次讨论这几个问题。     

用判别式求函数y=a1x2+b1x+c1/ax2+bx+c(a≠0)值域的探讨

求有理分函数 y=a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c 的值域 (或最值 )是中学数学中的一个难点 ,由于受到各种资料的影响 ,学生常用一元二次方程根的判别式求解。但由于求解过程中采用了非等价变形 ,易导致解题出错。本文试对这个问题作初步探讨。用一元二次方程根的判别式求函数y =a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c (a≠ 0 )　　　　　 (1)的值域 ,先作如下变形 :(ay -a1)x2 + (by-b1)x +cy-c1=0　　　　 (2 )由于x是实数 ,所以△ ≥ 0 ,即(by-b1) 2 - 4(ay -a1) (cy-c1) ≥ 0　　　 (3)解不等式 (3)即得函数 (1)的值域。其实上述解法 ,求得 (3)中 y的值的集合不…     

函数值域的几种求法

一单调性法例1 求函数r=log0.5(2x-x2+3)的值域. 解:∵2x-x2+3=-(x-1)2+4,∴0<2x-x2+3≤4,又0.5<1, 由r=log0.5x的单调性可知值域为[-2,+∞). 点评:利用函数的单调性是求函数值域的一种常见方法. 二反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.     

两边平方法求函数y=mx+n+p(cx+d)(1/2)姨值域的合理性探究

关于形如y=mx+n+p(cx+d)(1/2)姨的函数值域的求解,其通用的方法是换元法,本文从两边平方法的角度对这个问题做一讨论,发现该方法在某些场合下比换元法更为简洁.     

有限制条件的分式函数y=(ax~2+bx+c)/(lx~2+mx+n)的值域

众所周知,求分式函数y=ax~2+bx+c/lx~2+mx+n(a、l不同时为零)的值域,可用判别式法。但如果给自变量x以一定的限制,就不能用这一方法,一般须用导数来求解。本文介绍一种比较简便的初等方法。我们知道,关于一元二次方程的实根分布有以下结论:设f(x)=x~2+px+q,则 1.方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为(若把区间(m,+∞)改为[m,+∞),则把前一条件改为f(m)≤0)。 2.方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为     

求函数值域的几种常用方法

求函数值域的方法很多 ,也没有一种固定的方法 .只能依据函数解析式的结构特征来选择相应的解法 .常用的方法有 :一、配方法形如 ｆ(ｘ) =ａｇ2 (ｘ) +ｂｇ(ｘ) +ｃ的函数的值域问题 ,都可使用配方法 .例 1　求函数 ｙ =-ｘ2 +2ｘ+3 的值域 .解　令ｕ=-ｘ2 +2ｘ +3=-(ｘ2 -2ｘ+1 ) +4=-(ｘ-1 ) 2 +4,显然有　　　　 0 ≤ｕ ≤ 4.由 ｙ =ｕ ,得　 0≤ ｙ≤ 2 .因此 ,函数的值域为 [0 ,2 ].例 2　求函数 ｙ =ｓｉｎ2 ｘ -2ｓｉｎｘ +2 -π4<ｘ≤π 的值域 .解　令ｕ =ｓｉｎｘ -π4<ｘ≤π ,则-22 <ｕ≤ 1 ,函数 ｙ=ｕ2 -2ｕ+2=(ｕ-1 ) 2 +1 .…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

求函数值域一例

在高中数学中,求函数的值域是一种较为复杂的问题,往往方法较为灵活.现举一例,给出多种解法,同学们可从中受到启发.例题求函数y=sinx2-cosx的值域.解法一:(利用三角函数的有界性)去分母化为sinx+ycosx=2y,即y2+1sin(x+φ)=2y.因为|sin(x+φ)|≤1,所以|2y|≤y2+1,即3y2≤1.解得值域是[-33,33].解法二:(利用解析几何方法)函数变形为:y=0-(-sinθ)2-cosθ.联想到斜率公式,(如图1)可知y是连结A(2,0)与圆x2+y2=1上的点(cosθ,-sinθ)的斜率.所求值域就是这斜率的取值范围.设AB,AC为两切线,它们的斜率分别是-33,33.所以值域是[-33,33].解法三:(…     

轻松突破求函数的值域

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.函数值域依解析式的特点分(1)常见函数值域;(2)简单的复合函数的值域;(3)由常见函数作某些"运算"而得函数的值域.一、直接法利用常见函数的值域来求(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R(2)反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};(3)二次函f(x)=ax~2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥4ac-b~2/4a};     

f(x)=Ax+B/x(AB≠0)型函数的值域的求法

f(x)=Ax+B/x(AB≠0)型函数是高中数学中一种常见的函数模型,由于它能很好地考查函数的单调性、极值、最值等知识点,因此深受研究者喜爱.下面就f(x)=Ax+B/x(AB≠0)型函数的值域的求法做以探讨.     

函数y=(1-e~x)/(1+e~x)值域的求法

求函数值域的问题是学习函数部分时的一个基本问题也是学生感觉棘手的问题.本文就函数y=1-ex/1+ex的值域的求解给出代数和几何两类基本方法,以供读者参考.     

sin~2α+cos~2α=1在非三角题中的应用

一、求最值(或值域)例1 (1993年全国高中数学联赛)满足4z。一5xy+4y。=5,设1s=X2+3,。测盎+瓦1:由s:zz十一设l z。2∞钮, 【v。~/Ssina.代入422—5删+4y2=5,得s=F二=_瓦10荔. 又一1≤sin2a≤1,.·.五10≤s≤竽. 一 S～。S商。一51 1 8‘ ● ● 例2 求函数Y=6+~/厂_的值域. 解 ‘.。z+(1一.27)=1且0≤z≤1. 设{;j墨≥.a∈鸭M y。oosa州na=扼sin卜十号)·.‘0≤a≤詈,.·.号≤a十号≤萼,.·.1≤sin(a+号)≤拒,即所求函数值域为[1,应].例3(1999年“希望杯”高～培训题)设以、b、C>0,ab=2,高中截学教与学2002置a。+b。+f。=6,求口f+bc的最大…