几何比例问题的证明方法

1.a∶ b=c∶ d型这类比例式一般分两种情况 , .成比例线段的前项和后项在一条直线上。即在 a∶ b=c∶ d中 ,a、b在一条直线上 ,c、d在一条直线上。它的证题方法是用平行线分线段成比例定理及其推论证明。 .成比例的线段的前项和后项不在同一直线上。它的证题方法是找两个角相等的相似三角形。例 1.如图 :由△ ABC中 BC边的中点 D引直线交 AC及 BA的延长线交于 E、F。求证 :EA∶ EC=FA∶ FB。分析 :若过 A点作 AG∥ BC交 FD于 G点。则易知 FA∶ FB=AG∶ BD=AG∶ DC=AE∶ EC。2 .an∶ bn=c∶ d型欲证等式 an∶ bn=c∶ d形…     

证明线段成比例的一般规律

证明线段成比例的一般规律包头市第二十四中学罗海德在初中平面几何中，证明线段成比例的问题，是平面几何研究的重要课题之一。总结证明线段成比例的一般规律，对提高学生的解题能力是十分有益的。一、相似三角形法比例式中的前项线段的端点与后项线段的端点不共线，宜采...     

凌驾两台“母机”发展应变素质——关于比例线段的证题规律探析

比例线段是平面几何的重要内容 ,其表达形式又是多种多样的。如 ab =cd ,a·b =c·d ,1a + 1b =1c ,ab + cd =1,a·b =c·d +e·f,b2 =b(b +c) ,a·b·c =d·e·f+ghl等。它们分别是基本比例式、变形比例式与组合比例式。笔者认为“平行线和相似形是制造比例线段的两台母机”。无论何种形式的比例线段 ,必须通过“母机”得出基本比例式 ,或者再根据比例性质、几何性质进行逻辑推理而获证。下面谈谈利用两台母机制造比例线段的方法与应用 ,以供探究。一、一线束被平行线截得比例线段如图 ,L1∥L2 ,截过O的线束于A1B1、A2 B2 、A3 B3 、A4…     

引设参数法巧解一类三角题

在三角问题中,有这样一类问题: 已知Asina+Bcosa=C,AB≠0,|C|/A~2+B~2≤1.求a_1sina+b_1cosa+c_1/a_2sina+b_2cosa+c_2的值。这类问题的一般解法是,先由已知条件求出sina和cosa,然后代入求值.运算非常复杂,解法不太简洁.本文将通过引设参数给这类问题一个巧妙的解法. 设a_1sina+b_1cosa+c_1/a_2sina+b_2cosa+c_2=k,则 (a_1-ka_2)sina+(b_1-kb_2)cosa=kc_2-C_1. 与已知条件联立,将由sina,cosa用k表示,再由sin~2a+cos~2a=1,求出k.从而问题获得解决. 例1 已知sina+3cosa=2.求sina-cosa/sina+cosa的值.     

两个方程有公共根的另三种思考方法

许多刊物都载文指出:两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0,a_2x~2+b_2x+c_2=0(a_1a_2≠0)有一公共根条件是:当 a_1b_2≠a_2b_1时,(a_1c_2-a_2c_1)~2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1);当 a_1b_2=a_2b_1时,a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2有两个公共根.应用这些条件虽可解决一切公共根问题,但较难记忆,有时会带来较繁的运算.本文再提供另外三种思考方法.     

二次函数的叠加性质

对于二次函y_1(x)=a_1x~2+b_1x+c_1与y_2(x)=a_2x~2+b_2x+c_2,(a_1.a_2(/)0),能否找到常数λ,使叠加得到的y_0(x)=y_1(x)+λy_2(x)的函数值不改变符号(定正或定负)? 下面用纯粹初等的方法进行探索: 因y_0(x)=a_1[x~2+b_1/a_1x+c_1/a_1+λa_2/a_1(x~2+b_2/a_2x+c_2/a_2)],若记b_/a_1=b、c_/a_1=c、λa_2/a_1=μ、 b_2/a_2=b_0、c_2/a_2=c_0,即考查y(x)=x~2+bx+c+μ(x~2+b_0x+c_0) 仍记为y(x)=y_1(x)+μy_2(x)〕在哪些情况下可以选取到实数μ使其定号。     

浅谈高考中的两个电磁感应问题

1与平衡条件的综合问题例1 (2004年高考题)图1中a_1b_1c_1d_1和a_2b_2c_2d_2为在同一竖直平面内的金属导轨,处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直导轨所在(纸面)平面向里,导轨的a_1b_1段和a_2b_2段是竖直的,距离为L_1;c_1d_1和c_2d_2段也是竖直的,距离为L_2,     

用待定系数法求一类数列的通项公式——一道高中数列习题的推广

高中代数(甲种本)第二册77页上有这样一道习题: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=b a_(n+1)=ca_n+d(c≠1),证明这个数列的通项公式是 a_n=(bc~n+(d-b)c~(n-1)-d)/(c-1) 我们把这题推广成: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=a a_(n+1)-ba_n=c_0+c_1n+c_2n~2+…+c_mn~m,其中b≠0,求这个数列的通项公式. 这类问题,可以用待定系数法解决.以     

借助圆锥曲线求一类无理函数值域

形如f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)这类无理函数与圆锥曲线有密切联系,本文介绍借助圆锥曲线求其值域的两种方法。 1图象法 对于函数f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2为常数,且a_2≠0),若视f(x)为参数m,则原函数式为a_1x~2 b_1x c_1-m=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2),令y=a_1x~2 b_1x c_1-m和y=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)的图象分别为T_1,T_2,则当a_1=0时。T_1为直线,当a_1≠0时T_1为抛物线,由y=     

具有某些特殊形式的比例线段问题的证明

为叙述和研究的方便 ,我们把ａ∶ｂ =ｃ∶ｄ称为一般形式的线段成比例 ,而把除此以外其他形式的线段成比例统称为特殊形式的线段成比例 .从各地中考题来看 ,特殊形式的线段成比例其类型主要有 :( 1 )ａｂ =ｃｄ +ｅｆ;( 2 )ａｂ=ｋｃｄ ;( 3) ａ2ｂ2 =ｃｄ;( 4 )ａ2 +ｂ2 =ｋｃｄ(以上各式中ｋ均为非零常数 ) .证明特殊形式的线段成比例问题 ,有效的策略是转化 ,有时要用一般形式的线段成比例来进行转化 ,有时要转化成一般形式的线段成比例问题 ,有时则需要综合运用这两种方法来解答 .　图 1例 1　如图 1 ,ＣＢ与⊙Ｏ相切于点Ｂ ,半径ＯＡ⊥…     

处理单因素优选问题的一种新方法

(一) 引入。很久以前曾经流传过这样一个智力测验题:有12个球,外表全然一样,已知其中有一个球的重量异于其他,但不知其较轻或较重。试用无法码天平,称量比较三次,找出这个伪球X~*,并指出它较重或较轻于真球e。问题的解答如下:把12个球分为三组 A:a_1 a_2 a_3 a_4 B:b_1 b_2 b_3 b_4 C:c_1 c_2 c_3 c_4 今用无法码天平对A、B的重量进行一次比较,结果有两种可能 (Ⅰ)A=B 则 X~*∈C,a_1=b_i=e 第二次取c_1、c_2与c_3、e较若 c_1 c_2=c_3e,则 c_4=x~*由第三次比较可得x~*>e或x~*c_3e,比较c_1与c_2,则可断定c_3的真伪,从而定出c_1c_2 的情况,例如c_1>c_2则c_1=x~*>e等等。若c_1c_2相似文献   

平面几何中“a~n/b~n=c/d”型等式的一种证法

把等式a~n/b~n=c/d写成a/b·a/b…a/b=c/d即可知,它成立的一个充分条件是存在线段d_1,d_2,…,d_(n-1),使得 a/b=c/d_1=d_1/d_2=…=d_(n-1)/d。例1.过△ABC的顶点A作其外接圆的切     

探究端点共线的平行线段的性质

<正>一、问题背景如图1,若AB∥EF∥CD,则AE/EC=BF/FD,被称为"平行线截线段成比例定理",该定理是初中数学中很重要的定理之一.新人教版九年级《数学》通过"探究"给出了最基本形式和两个退化的三角形形式,但对截得的平行线段a、b、c并没有相关的关系表达,为此笔者做了一些扩充,并发现这里蕴藏着另一个优美的比例式,现将探究过程与各位同仁分享.     

利用辅助角公式探讨函数y=(a_1sinx b_1cosx c_1)/(a_2sinx b_2cosx c_2)的值域

本文将利用辅助用公式asinx bcosx=(a~2 b~2)～(1/2)sin(x φ)(tgφ=b/a)对函数a_1sinx b_1cox c_1/a_2sinx _2conx c_2的值域进行探讨,并对所对值域的可靠性进行讨论.用此方法求函数y=a_sinx b_1cos c_1/a_2sinx b_2cosx c_2的值域具有一定的广泛性,实用性     

证明线段成比例的方法与技巧

涉及线段成比例的问题大多与相似三角形的性质有关,其解题思路灵活,运用的定理较多,辅助线的添加亦很巧妙．1．三点定形法由要求证明的比例式(或等积式转化的比例式)寻找相似三角形,是证明线段成比例问题最基本的方法之一．一般是先找到以有关的线段为边的两个三角形,再证明这两个三角形相似．     

“a/b=c~2/d~2”证法浅议

形如“a/b=c~2/d~2”的题目,是较复杂的线段成比例的问题,由于求证式两边不是同次幂的比,证明较困难.这里举例说明几种思考方法,以供参考. 一、用线段的积代换c~2或d~2,使问题转化为证明简单的线段比例式例1 已经⊙O的弦AB的延长线和切线EP交于点P,E为切点,C     

特殊值法在分解因式中的应用

分解6x~2 (3 3~(1/2)-10)xy-5 3~(1/2)y~2 7x (2 3~(1/2)-5)y 2(1)的因式是一道较难的题目,但计算(2x 3~(1/2)y 1)(3x-5y 2)却是很容易的。这使我们产生一种想法:若能通过某一方法猜出(1)式的因式,然后再通过逆运算验证它是正确的,那就好了。下面介绍一种猜测方法。若ax~2 bxy cy~2 dx ey f(2)能分解成二个一次因式之积(a_1x b_1y c_1)(a_2x b_2y c_2)那么令y=0代入得ax~2 dx f=(a_1x c_1)(a_2x c_2)令y=1代入得ax~2 (b d)x (c e f)     

比例的灵活运用

初中二年级平面几何(原人教版)相似形一章中关于比例线段的证明题,通常是用平行线分线段成比例定理及其推论和相似三角形的性质来进行推理论证的.对于非一般形式的结论,证明起来就会感到特别困难,若我们把线段比例式进行简单的加、减、乘、除运算或采用一     

《几何》相似形一章比例线段的证明

比例线段的证明在相似形一章中占有重要的位置 ,是否灵活掌握 ,直接影响到后继课程“有关圆的比例线段”的学习 ,所以我们应给以足够的重视 .下面介绍一些常用的作法以供参考 .1　“三点定形法”找出相似三角形找出比例式中 (乘积线段可先化成比例线段 ) ,四条线段所在的两个相似三角形 ,利用相似三角形的性质 (对应边成比例 )得出比例式 .例 1　如图 1 ,己知D是△ABC的边AC上的一点 ,∠ 1 =∠C .求证 :(1 )AB·BD =AD·BC .(2 )AB2 =AC·AD .分析　 (1 )要证AB·BD =AD·BC ,即证 ABAD =BCBD,只须证明两比前项 (分子 )两条…     

线段成比例或乘积相等的证法小结

证明线段成比例或乘积相等是中学平面几何中的常见题目。本文对这类问题的常用证明方法作一小结,可帮助初三学生更好地掌握这类问题的证明方法。 1 证明这类问题常用的几何定理 (1)平行线分线段成比例定理;