用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

数学问答

乳1.已知ab护O，求证:a b一1的充要条件是a3 b3 ab一矿一b2一0. (山西阔春梅)解答:(l)充分性.若r 尸 。b一aZ一bZ=o，即(a b)(aZ一ab bZ)一(aZ一。b十bZ)=0，则(aZ一ab bZ)(a b一1)一0.因ab护O，所以a护O，b并o. lb、2 .3，，、_~~.，，_。~:，_，田a’一“。十b’~ta一二犷     

一个恒等变形公式及其应用

由完全平方公式容易得到 矿+夕+护一ab一bc一‘a一喜「(。一。)2+(。一。)2+(二一二)2〕. 乙一一 公式(二)是轮换对称式,应用它解一类竞赛题,简捷明快.下面举例说明. 例1如果a、b、‘是△ABC的三条边的长,且满足a“十夕一劝一c(二+b一c),那么△ABC的形状是(). (哈尔滨市第十五届初中数学竞赛试题) 解将已知条件变形整理得 aZ+bZ+cZ一“b一be一c。=0. 由公式(,),得 (a一b)2+(b一e)2+(c一“)2一0. 由非负数性质,得 a一b一b一‘一‘一a~O。 :。a一b~c. 故△ABC是等边三角形. 例2已知口一b一2+甲厂云-,b一。一2一丫一5-,则矿十夕+护一ab一…     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…     

错在哪里

题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那…     

完全平方公式的变形及应用

由完全平方公式(。士b)2一。2士2二b十夕可推出以下几个等式: ①彭+夕一(。+b)”一Zob一(。一b)2十2“b;二b一告〔(。+。)2一(。2+。2):;(‘+b)2十(“一b)2=2(况2十bZ);(‘十b)2一。一b)2一4口b.②③④ 这几个等式十分重要.在解题中若能灵活应用,往往能收到出人意料的效果. 例i计算1.23452十0.76552+2.469火0.7655.(1991年“希望杯”竞赛试题) 解由等式①,得 1 .23452+0.76552=(1.2345十0.7655)2一2又1.2345只0.7655 =4一2 .469 X 0.7655. 1 .23452~卜0.76552十2.469XO.7655一4. 杯112计算(mZ+二2)“一〔(一、)“一(一m)2]2等于().(1992…     

用判别式求取值范围(高一、高二、高三)

例1求证分析设a,b,c任R,且a b c=1. aZ bZ 。2)采用分析法,要证;把此式看作关于a的一元二次方程.因为a任R,所以。)o,即所以所以同理(。一l)2一4(。2一。 丰、李。, 、任,-aZ bZ eZ一3b2 Zb)0.即证3(aZ bZ十。2))1.结合条件中a十b十。一1,即12=(a b 。)2,代人s(aZ bZ 。2))l中得 3(aZ bZ 。2))(a b 。)2,化简该式,不难得到 (a一b)2 (b一‘)2 (。一a)2)0.此式恒成立,即获证. 如果换一种思路,不妨设“。[。,封。,。。[0,普」·l一3妻采用判别式法确实很精妙,运用到例1依旧可行c=l一(a b),要证aZ 。2 。2一喜李。, j即证。一粤十。, j 1,…     

应用因式分解证题1例

题目若a、b、c为三角形的三边,求证:a’一b,一cZ一Zb二<0. 证矿一护一‘2一Zbc 一aZ一(bZ+Zbc+cZ) 一““一(b+c)2 一(二十b+c)[a一(b十。)工 根据三角形中两边之和大于第三边的性质,a一(b十c)相似文献   

配方法应用2例

例1要使代数式厂+犷一14x+2夕十50的值为O,则二、y的取值为.(1995年重庆等五市联赛题) 解尹+了一14二+Zy+50一o, (工一7)’十(夕十1)2=0. :.x~7,y-一1. 例2怎样的整数a、b满足不等式澎+3b,十6相似文献   

高中数学综合练习题的解答

(1)D,(2)C,(3)C-(4)B,(5)D二、(1)(2)(5)(7,3或6,{△月BC的外心},(3)含了了,言(4)40, (2)因为厂二abc,l=训a么+b“+cZ 由云(aZ+b“+eZ))刃a ZbZe盔得 〔香(aZ+b“+cZ)〕“》a 2 b 2e2,两边开平方,得192二+432/二,1),万一1=(6)(一3,1)乡“一2’”p)abc,4劣一39一5=0或4,+3夕一22“0. 三、图如右下: 四、证设长方体一个顶点上的三条棱长分别为a、石、c,不妨设a>b>e.(1),..(a一b)2+(b一c)2(华共亘二)3即(劫3淤,.’.+(a一e)“)0,即+bZ+e么))Zab+ :aZ+b“+eZ ,’ .212>:即 2(aZ+Zbe+2 ae二12,2(ab+be+ae)“s,s(212 五、证如图2。 (1)丫犷…     

勾股弦立方不等式的证明

命题:直角三角形弦的立方大于勾股立方和. 设勾,股,弦分别为a,b,。,则需证。,)as+b3。证1:’.’ aZ+bz)Zab,3a“b“>aZb“, :,3a‘b’+3a“b峨)Za’b“. .,. a6+3a4b2+3a2b4+bs )a”+Za“b“+b”, 即(aZ+bZ)“>(a3+b3)2,又c名=a“+b“, 亦即e3>a“+乙“. 证2:因e>a,e>b,故 cs=c(a忍+bZ) >a,aZ+b,62=a3+b”. 证3:如图,分别以a,b,c为棱作立方体.那么, bZ=岔e, aZ=ee- 而b3相似文献   

一道数学竞赛题的推广

题目已知a一199ox+1989,b=199ox十1990,e=1990x+1991,求矿+夕十‘2一。b一bc一。的值. (1991年武汉等五市初中数学联赛) 解由已知条件,可得 b一a~1,c一b一1,c一a一乙 “2+bZ+cZ一ab一be一c口一合(Za’+“b’一合仁(b’一“ab+2c2一2口b一Zbc一Zc口)+矿)+(c2一Zbc+夕)+(c2一2c倪+。2)〕一音〔(b一a)2+(C一,)2十(e一a)2」一合(12+12+22) 一3. 通过观察不难发现,本试题可作如下推广: 已知a。一al十1,a3一。,十2,…,。,一al+、是正整数,求川十暇+…+武一久。:一气a3一·一的值. 解由已知条件,可得 a:一。z=1,。3一“2一1,…,口,一“二一i=1,…     

美国数学竞赛题和解答

第七届(1 9 78年),已知。、b、。、d、e为实数,且满足a+乙+c+口+e二8,a:+bZ+c艺+d,+已2== 16试确定己的最大值。 解:对于一切实数二、:,不等式2x,三二2十yZ成立,并且当且只当:二,时取等号。下面,我们要多次用到这个不等式,只不过是将。、乙、c、反来轮流替换二、夕罢了。由题没条件可知 (8一约2二(口十b+‘+d)2 二尹+b名一卜产+d之+2口b+宕a‘ +2‘d十2乡c一于Zb己十Zc叮三(al+乙,+c“+dZ)+(。2+乙“) +(aZ+c“)+(aZ+dZ) +(乙忿+cZ)+(乙“+d名) +(cZ+dZ) =4(aZ+乙2+cZ+dZ) =4(16一e艺),.’. 64一16￡+eZ三64一4。艺,即5e2一16e三0,由…     

关于一元二次方程公共根的一个定理及其应用

定理:两个二次方程ai二“+bix+ci=0(a,a:笋。,i=1,2)有公共根的充要条件是 (a,。:一aZ。;)2=(a 16:一aZ bl)(b,。:-bZel)(‘)且△i)0(i=1,2). 证明:先证必要性,显然△i〕0.设方程的公共根为x。,则a 1 xoZ+6lxo+el=oaZ xoZ+bZxo+eZ=o (2)x al一(l)xa:得:=一(a 1 eZ一aZ。1), (l) (2)(a 1 bZ一aZ bl)xo…(a lb:一aZ乙1)2 xoZ=(al。:一aZ。1)2(3) (l)xb:一(2)x bl得:(alb:一aZbl)xoZ=bleZ一bZe一, …(a 16:一aZ 61)ZxoZ=(a;占:一aZ占1)(bl。2一bZ。,)(4) 比较(3)、(4)得(a,。:一aZ。;)2=(a;bZ一aZb,)(b,。:一bZel). 再证充分性.①…     

怎样用a+b+c=0?(初一、初二、初三)

夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0…     

等腰三角形外角平分线相等的充要条件

我们知道,在△ABC中,如b今。乙A的外角平分线t。二2 bc_:_A!万二万““‘丁,则(*)因此有 定理△ABC为等腰(非等边)三角形的充要条件是其唯一的最大(或最小)边相邻的两角的外角平分线相等. 证明设BC二a为最大(或最小)边, 则a今b,a寺c.由(关)有,刀一2 n CJel2’ n 2口C‘a一‘} Zab}a一bl如西=e,则,b=tc;反之,女[rz,,=/,应月}半角公式及余弦定理夕得 b(Za乡一aZ一bZ e“) (a一b)“ _c(Zae一aZ一eZ b“) 一(a一弄介日lj(b一e)(夕一b一c)(a3一a,b一aZe 3abc一b Zc一bcZ)=0.无论a>b,a>:或a相似文献   

巧用方差性质解题

设夕为一组数二,,x:,…牙一工(xl+x:+…十x,),,x二的方差,则。。1二,。“一万L又工, +(x。一牙)2+(x,一牙),+…一王)’〕工〔(x,青〔(x工+x:十x:十…十x尸)一,尹] 1工十’“十毛一夕一万气xl+xZ十…+x”)“」.n 11易知夕一0<二争x,一x:~···一‘一x.巧用这一性质,可以简解一些非方差问题.(关)例1已知:a十b十c+d~8,矿+夕十产+毋一16,求abc+。‘d十bcd+abd的值.解52=设夕为数组a、b、‘、d的方差,则粤仁(aZ+,,+。,+、2)一李(‘+,+‘+J):」任一任1416一粤x 52 4 一0. 由(,)式知。一b一c一d一2,故ab‘+。‘d+bcd+二bd一2 X 2 X 2 X4一32. …     

数学奥林匹克高中训练题(5,续)

三、因为 (一1)‘一‘·z‘2 .4‘+(一l)‘·2‘一1 (一1)‘一’·2‘=2,‘+‘+(一z)‘·z‘一z (一1)‘一12‘ (2‘+(一l)‘)·(z‘+‘+(一z)‘+,)五、如图,设在时刻t时质点坐标为(x,刃, 2‘2‘+12‘+(一1)‘2‘+‘+(一1)‘+‘)所以,所求的值为专浊菩一告.竺乳.厄耳台了一月砰兴不万{丁斌与歹而不摄兰丽不)l︸3t二。时质点在坐标原点0.由物理学公式得①②=vocosa .t,=妙oslna.,一冬g:,. ‘Xy矛!、|t一粤(2一1)一 j 四、用数学归纳法.当n一1时,命题显然成立. 当n~2时, (a,十b)(aZ+b) 一a:aZ+bZ+(a:+aZ)b )。2+护+2丫石石百b =aZ+bZ+Zab=…     

双曲线的一种参数方程

定理设尸(x,夕)为双曲线述生_卫a名b名二l上任一点,过尸点的切线的倾角为协,则工·=)。二o:记。2一b“ets“功 b艺etg功一tg含<,<一‘。(一号)(I)亿砂二石肠丽项.’是双曲线左支参数方程;X二 a2亿了二石玄币百万二’夕=b Zetg必一二苦<,<一二(一号)(I)认。2一b’ctgZ矿’z!,|少、lse、是双曲线右支参数方程.证明对双曲线答一答=1上一切非顶点P(二,,),设过尸点的切线为,二、+、 UU由}宁厂竺+生、O一劣-一a一沙一二a一O-得 (bZ一a Zk“)xZ一Zk用aZ劣一aZ(阴2+b“)=0由于切点是切线和双曲线的唯一公共点,故得△二(一2吞maZ)“一4(b:一a…     

用几何解代数(初一、初二、初三)

代数和几何是数学的两个分支,但它们并不相互独立,下面的四道代数题用几何图形来解就很精彩. 一‘.、1 .1 1 .1 .1 .1,1 例1求令 舟十资 六 六 六十.涪石 口,’个2’4’8’16’32’64’128旦卫~立2邝2.园区////图口围即的值. 解如图1,画一个边长为1的正方形,则其面积为1.按图所示的方法分割下去,会发现: 例3比较夕厄(a b c)和丫aZ (占 。)2」丫aZ 占2 ‘的大小.(其中a,b,。均为正数) 解构造如图3的正方形,图3月工弓=了aZ (b c)’,BC=了aZ bZ,CD一c,八D一梅(a b十。).AD<月B 刀C CD,即3一4 一一1l~又户寸~一厂乙住 11一,尸 斗1 .1 .1…