球面距离的求法

球是立体几何中的一个重点内容,要学好这部分知识,理解下面几点球的性质是至关重要的:球的截面是圆;球心和截面圆心的连线垂直于截面;     

用球的三心面解密一组连考题

1球的三心面及其性质1.1球的三心面球O被两相交平面所截,其截面分别为圆M与圆N,过球心O及两截面圆心M、N的平面OMN,简称三心面.2.2三心面的空间几何性质球的三心面其实就是球的一个特殊的大圆面,由球的截面性质可知：它是两截面的公垂面,同时还是两截面圆公共弦的中垂面.     

巧用正弦定理证题

题目如图,半圆中,O 为圆心,AB 为直径,P、C 是半圆周上的点,PE⊥AB,PF⊥OC,CD⊥AB.求证 CD=EF.证明∵PE⊥AB,PF⊥OC ∴E、P、F、O 四点共圆,设该圆的半径为 R,则OP=2R.又 OP=OC,∴在 Rt△CDO中,     

一个简单图形的性质及联想

一个圆在半圆的内部，与半圆及其直径都相切．这是一个简单图形，它有两条有趣的性质．如图1，设AB为半圆0的直径，与半圆相内切的o01切AB于E．性质是设no，半评为广．R分直径AB所成的两线段长分别为a，b，则证明如图1，连O；0，O；E．设半圆半径白R，AE—a，EB—b．有a＋b—ZR．不失一般性，设a＞b·性质l的直接推论是在图1中，设EO；交半圆于F，则FE’一E01·AB证明留给读者．性质2在图1中，作与O01相切，且与AB垂直的直线交半圆于C，D为垂足，则4厂一d厂／加阿9＼证明如图2，设O；O交半圆于F，则F为切点．连AF交①Ol于已…     

圆综合知识训练

一、填空题1.在00中,弦AB土CD于点尸,若A尸=4。m,PB=4cm,CP=ZCm,则00的直径为cnL 2.已知圆的直径为13 Cm,圆心到直线l的距离为6。m,那么直线l与这个圆的公共点有-个. 3.如图1,PT切00于T,经过圆心的割线PAB交00于A和B,PT=4,PA=2,则00的半径是 4.如图2,00,、O口:交于点A、B,且点O,在00:上,两圆的连心线交00;于E、D,交0 02于F,交AB于c,请根据图中所给出的已知条件(不再标注其他字母,不再添加辅助线),写出两个线段之间的关系(半径相等除外):(1)_;(2)_. 5.如图3,分别以直角三角形的两直角边AC、AB为直径作半圆,两半圆交于D,cD=1,…     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

寻找突破口 巧解竞赛题

我在解竞赛题时,常遇到一些看似无法求解的难题。但经过仔细分析,往往能从题的巧妙之处,找到解题的突破口,使问题化难为易。例1.如图1,在半圆O的直径AB上任取一点C,分别以AC、BC为直径作半圆,过C作CD垂直于AB交圆周于D,CD的长为h,则圆中阴影部分的面积为多少?     

九年级第一学期期中几何质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.下列命题 ,正确的是 (　　 ) .(A)三点确定一个圆(B)任意三角形都有并且只有一个外接圆(C)经过圆心且平分弦的直线 ,垂直于这条弦(D)直角所对的弦是直径2 .已知AB和CD是同圆上的两条劣弧 ,并且AB=2CD .则 (　　 ) .(A)AB =2CD(B)AB >2CD(C)AB <2CD(D)AB与 2CD的大小无法确定3.⊙O中弦AB⊥CD于E ,AE =2 ,BE =6 ,OE =3.则⊙O的直径等于 (　　 ) .(A) 4 5　　 (B) 6 5　　 (C) 37　　 (D) 2 2 14 .圆的弦长等于它的半径 ,那么 ,这条弦所对的圆周角的度数为 (　　 ) .(A) 30°　 (B) 6…     

用三角函数解平面几何题

<正>下面是陕西省的一道数学竞赛题目,参考答案上已经给出一种证明方法.下面用三角函数的思路给出一种证法,供读者参考.如图1,AB是半圆O的直径,C是半圆弧的中点,P是AB延长线上一点,PD与半圆O相切于点D,∠APD的平分线分别交AC、BC于点E、F.求证:线段AE、BF、EF可以组成一个直角三角形.     

由球面距探究出的不等式

在学习两点间球面距时,老师说球面上两点间的最短连线,是过这两点的某条劣弧(包括半圆),而且是过这两点的大圆上的劣弧,而不是过这两点的小圆上的劣弧．下面我以图1扇形对这个结论进行证明．不难发现弦长AB是个定长,设为l．又设球面上过A、B两点的任意两个圆的半径分别为r1,r2,对应的圆心角分别为     

数学奥林匹克问题

本期问题初179如图1,在正方形ABCD中,以图1边AB的中点O1为圆心、A2B长为半径画半圆⊙O1,半圆⊙O2的圆心O2在边BC上,并与边CD相切,与半圆⊙O1外切于点P.求证:DP是⊙O1和⊙O2的公切线.初180证明:对每一个正整数n,n5-n能被30整除.注:译自国外竞赛题.高179设n为正整数,Sn=sin1-sin4+…+(-1)n-1sin(3n-2).求证:Sn≠0.高180在△ABC中,求证:tan2B·tan2C+1cosA+tan2C·tan2A+1cosB+tan2A·tan2B+1cosC=2.上期问题解答初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB…     

球面俯视原理在月相观测中的应用

在对球面俯视原理的探讨中,我们可以得到以下两个重要的结论。结论1：过球心且垂直于俯视点与球心连线的平面将球面分为可视半球和不可视半球。（如下左图所示）结论2：球面俯视图中,与俯视方向（即视线）在同一平面上的球面弧线呈直线状。（如下右图所示）     

介绍一道有趣的光学题

“在焦距为f的凸透镜前,放一个半径为R的球,R相似文献   

球面上两点间距离的一个证明

在一次数学课外小组活动中,同学们提出这样一个问题:经过球面上任意两点的大圆的劣弧最短(这个劣弧长叫做球面上两点间距离),但怎样证明呢? 为此本文给出以下一个证明: 如图,设过球面上任意两点A、B的大圆和小圆的劣弧分别为ACB和ADB,试证明: ACB相似文献   

两点球面距离的求解方法

两点球面距离的计算是高中数学教材的难点．对它定义的理解及其计算,最能体现球的性质,最能培养学生对空间图形的识别和想象能力．计算两点的球面距离有三个步骤：一是计算线段AB的长：二是计算AB对球心O所张的球心角∠AOB;三是计算大圆弧长AB．下面通过三种不同情况进行例证．     

对一道竞赛预选题的探究

<正>图1题目如图1,在一条直线l的一侧画一个半圆Γ,分别过半圆Γ上两点C,D作Γ的切线与l交于点B,A且使Γ的圆心在线段AB上,AC与BD交于点E,过E作EF⊥l于点F.求证:EF平分∠CFD.这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题.笔者通过探究,发现了几个结论,现介绍如下.一、对预选题的探究在预选题中,A,B是半圆的两切线与直线l的交点,有     

圆的基本性质

圆是平面几何的重要内容之一 ,圆的基本性质具有非常广泛的应用 ,因此 ,它也是数学竞赛命题的热点 .一、基础知识圆的基本性质有 :1 圆是轴对称图形 ,也是中心对称图形 .对称轴是任何一条直径所在的直线 ,对称中心是它的圆心 ,并且具有绕其圆心旋转的不变性 .2 直径所对的圆周角是直角 .3 垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .4 在同圆或等圆中 ,两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中 ,如果其中一组量相等 ,则其它三组量也都分别相等 .5 如果弦长为 2ａ ,圆的半径为Ｒ ,那么弦心距ｄ为Ｒ2 -ａ2 .…     

一道竞赛题的简证

题目:在以O为圆心的圆中,弦CD垂直于直径AB,而弦AE平分半径OC。求证:弦DE平分弦BC。 (第21届俄罗斯数学奥林匹克)。 证明:如图,连结BD,并设OC的中点为F,弦DE与BC交于点G。     

倒过来想比较简单

球是《直线、平面、简单几何球》中基本概念之一,有些同学对于球问题的解决,往往不知从何处入手,为此下面介绍解决球问题的四大策略,供参考.一、突出球心球心是球的灵魂,抓住球心就抓住了球的位置,特别是当球与球相切或球与平面相切时,我们更应该通过球心和切点及球心和球心的连线来构造多面体,使球问题转化为多面体问题来加以解决.【例1】　已知球 O 的半径为 1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为π2,则球心O到平面ABC 的距离为(A)13　(B)33　(C)23　(D)63分析:突出球心 O即可,由于三点 A、B、C在球面上,说明此三点…     

从圆到圆锥曲线的一个结论

圆和椭圆是我们比较熟悉的平面几何图形,无论从几何性质还是代数方程来看,它们都有许多相似点,笔者通过类比圆的一个简单几何性质发现椭圆也具备一个相似的几何性质,而且将结论推广到其他圆锥曲线中.1圆的一个简单几何性质如图1,AB是圆O的一条直径,C,D为圆上任意两个关于直径AB的对称点,则圆在A,B两点处的切线与CD平行.