利用几何变换证明不等关系

平面几何中的某些不等关系，可以利用平移、对称、旋转、等积等几何变换，构造有关的三角形，然后运用三角形的三边关系或不等式的性质来证明．现举例说明如下．     

两个三角形不等式猜想的证明

统一证明涉及三角形内部一动点的两个猜想不等式,比较其与已知不等式的强弱关系,然后提出五个相关的猜想．最后运用已知不等式简证Erdos-Mordell不等式．     

如何证明线段不等

有些同学在证明线段相等关系的题目时感到比较顺手，而对证明线段不等关系的题目却觉得无从下手．现在我们就来谈谈如何证明线段不等．首先要熟悉证明线段不等关系的主要依据，它们是：（1）在一个三角形中，大边对大角，小边对小角，或大角对大边，小角对小边；（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（3）三角形两边之和大于第三边，两边的差小于第三边；（4）代数中的不等式的性质等．一、当待证的线段在一个三角形内时，一般是根据已知图形的特点，逐步找出两线段所在三角形的对角的大小关系来解决．例1已知：在ABC中，…     

一个三角形的半对称不等式链及应用

建立了三角形中一个半对称不等式链，应用其证明了４个猜想．     

也谈涉及三角形高线的一个不等式

本刊２０００年第４期介绍了涉及三角形高线的不等式［１］ 受其启发，笔者也得到了如下一个优美不等式． 定理设ｈａ、ｈｂ、ｈｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高，则有当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取“＝”号． 证明记△ＡＢＣ的半周长、面积、外接国半径、内切圆半径分别为ｐ、Ｓ、Ｒ、ｒ．于是有 由恒等式 ａｂｃ＝ ４ＲＳ＝４Ｒｒｐ，得 由欧拉不等式Ｒ≥２ｒ．得 ≥４，即≥４也谈涉及三角形高线的一个不等式@张贇$甘肃省金昌市第一中学!7371001庞耀辉.涉及三角形高线的一个不等式[J].数学 教学研究,2000(4):38.…     

一个与Fermat问题相关的最佳线性不等式

运用三角形的Fermat问题的结论与两个条件不等式，利用导数，证明了涉及平面上任一点到三角形三顶点距离之和的一个最佳线性不等式，提出了一个相关的问题．     

“三角不等式”及解题应用摭谈

<正>“三角不等式”是数学解题的重要工具，在求最值、证明不等式或求取值范围等诸多方面有着很好地渗透应用，重视对“三角不等式”解题应用的挖掘很有必要．为此，从以下几个方面举例说明“三角不等式”在解题中的应用．一、三角不等式把形如|α-|β||≤|α±β|≤|α|+|β|的不等式称为“三角不等式”，其几何背景是“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．“三角不等式”的具体表现形式主要有:     

Weitzenbock 不等式的一个有趣隔离简

1919年，Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式：a2＋b2＋c2≥4胚，当且仅当AABC为等边三角形时，等号成立．关于它的推广与加强被广泛研究，但大多数是增加不等式右边的项数     

余弦定理的一个引伸及应用

本文主要是将余弦定理从等式引伸到不等式,从而产生出揭示三角形边角关系的基本不等式,并通过构造恰当的三角形,为引伸的不等式开辟了一个新的应用领域。     

Polya-Szego不等式的加强

在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，面积为△，则有著名的Polya-Szego不等式：现在仍然利用三边，给出（1）式的一个加强：证明：设三角形的半周长为s，外接圆和内切圆的半径分别为R、r，根据三角形恒等式:abc这是熟知的三角形不等式.于是（2）式成立．又＿因为有基本不等式：说明不等式（2）比不等式（1）强．由于不等式：（1）和（2）组成的不等式链等这就是文[1]中魏琴伯克不等式的再加强的加强：Polya-Szego不等式的加强@裘良$浙江嵊县崇仁中学[1] 梁冲海《魏琴伯克不等式的再加强》《中学教研》1993年第2期…     

有关几何不等式的证法

几何不等式,一般指三角形的边及面积等元素组成的不等式、其证明,一般没有固定方法,必须根据题目的条件应用平几定理和不等式性质及三角等方面的基础知识,才能作出。常用证法如下: 一、应用三角形边之间关系     

一个Milosevic不等式的再研究

三角形是最基本的几何图形,其存在丰富的几何关系和不等式,其中Milosevic不等式就是其重要结论.自Milosevic不等式建立之后,其推广形式层出不穷.本文在前人得出的结论之上,充分应用三角形中的恒等式与Bottema基本不等式推出了Milosevic不等式的一个逆向不等式以及Milosevic不等式的一个加强.另外,本文利用Gerretsen不等式还给出了一个形式更加简洁的不等式链.     

一类三角形不等式的等价定理及其应用

在三角形的不等式中，有一类是关于三角形内部任意一点到三边距离的．近年来，已有一些新的这类不等式出现（参见[1]—[4]）．本文给出与此类不等式相关的一个等价性定理，并阐述它的应用．一、定理及其证明定理设P为△ABC内部任一点，P到边BC，CA，AB的距离分别为PD，PE，上的高分别若有关于次不等式：则此不等式等价于证对于△ABC内部任意P点，显然有恒等式由此即知，存在着小于1的正数λ_1,λ_2,λ_3使以下三式同时成立：由以上三式分别可得代入（l）中即得不等式（2）．反之，在不等式（2）中取则又易得出不等式综上，不等式（l…     

一个三角形不等式及其等价式与相关式

<正>本文通过一个三角形不等式的确立,拟以此为母不等式探求其一系列的等价经典三角形不等式,并因势利导再次确立一系列的相关经典三角形不等式.     

关于三角形的欧拉比的一个不等式

三角形的外接圆半径R与内切圆直径2r的比R/2r称为三角形的欧拉比,由欧拉不等式R≥2r可知,三角形的欧拉剧R/2r不小于1．本文利用三角形的基本元素（边长和面积）给出一个关于三角形的欧拉比的优美不等式．     

关于三角形内特殊点的几何不等式

<正>1．引言几何不等式是沟通代数与几何的重要媒介,它既有几何的直观形象,又有代数的逻辑严密．文[1]讨论了关于三角形内一点作三边对称点得到新三角形的方法．本文借鉴这种方法,分别取该点为外心,垂心,内心,重心,费马点和勃罗卡点,得到一系列优美简洁的表达式,并研究它们之间的不等关系,推导出一个新的几何不等式．     

四法解赛题

分析1由重心的基本性质及勾股定理出发，得到了图中线段之间的度量关系，进而将原三角形三边所隐藏的关系挖掘出来，再运用余弦定理及基本不等式可顺利地求得cosC的最小值，于是sinC的最大值便迎刃而解．     

三角形知识的实际运用

三角形知识主要包括三角形内的有关线段，三角形的三边关系，三角形的内角和及多边形的内角和．本文以三角形的边、角关系为例，谈谈其在实际中的应用．，     

涉及三角形一动点的3个不等式猜想的证明

证明涉及三角形平面上任意一点至三角形三顶点距离与三角形三边之间的3个不等式,确认这3个不等式的强弱关系,最后提出两个相关联的猜想.     

涉及在角形半角正切的一组几何恒等式及其应用

给出了涉及三角形半角正切的一组公式及几个伴生结论，并用其巧妙地证明了一系列曲垢等式或不等式；给出了几个三角形不等式的等价性论证及两个几何不等式的加强。