关于次对称矩阵与反次对称矩阵的一些问题

简记为A=(a_(ii))_n,或A_n,i,j=1,2,…,n. 我们称元素a_(11),a_(22),…,a_(nn)所在直线为矩阵的主对角线;称元素a_1,a_(2n)-1…a,n-i 1,…a_(n1)所在的直线为矩阵的次对角线或副对角线。 定义1,设A=(a_(ii))_(no)若a_(ii)=a_n-j 1,n-1 1,i,j=1,2,…n,则称矩阵A为次对称矩阵;设J=(a_(ii))_n,若a_i,n-i 1,其余元素全为零,则称J为次么阵。 上述定义的直观意义是,次对称矩阵即是以次对角线成轴对称的矩阵。例如:     

关于一个代数不等式猜想

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a>0,i=1,2,…,b,3≤n ∈N,证明或否定:f(a)=a/(1 a_1) a_1a_2 …… a_1a_2…a_(n-2) a_1a_2…a_(n-1)     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

一个不等式的推广

命题:若a,b,c,是正数,且a+b+c=1则: 1/a+b+1/b+c+1/c+a≥9/2这一不等式循环对称,耐人寻味,可推广出如下命题: 命题一:若a_1+a_2+…+a_n=1,a_i>0,(i=1,2,…,n,)则: 当且仅当a_1+a_2=a_2+a_3=…=a_(n-1)+a_n=a_n+a_1时,等号成立。命题二:若a_1+a_2+…+a_n=i,a_i>0 (i=1,2,…,n),则:     

数列a_(n+1)=pa_n+qa(n-1)+r的通项公式的构造模式

模式是学生思维中的一种信息块,用得活,记忆深。例1 已知a_1=a,a_(n+1)=ba_n+c(b、c为常数,且b≠1),求数列{a_n}的通项公式。这可以应用解析几何中的一种模式。在直线y=kx+b上,总存在一点P(n,n)。因为由y-n=k(x-n)可得 y=kx+n(1-k), 则 n=b/(1-k)。则在a_(n+1)=ba_n+c中,视y=a_(n+1),x=a_n,故 a_(n+1)-c/(1-b)=b(a_n-c/(1-b))。这种转换模式具有灵活而易记的特点,于是 a_(n+1)-c/(1-b)=b~n(a_1-c/(1-b))。     

Fuzzy向量的线性无关性

设P~n={X|X=(x_1,x_2…,x_e),x_j∈[0,1],j=1,2,…,n}。称P~n的元素为Fuzzy向量。两个Fuzzy向量A=(a_1,a_2,…,a_n)与B=(b_1,b_2,…,b_n)的和定义为A+B=(max(a_1,b_1),max(a_2,b_2),…,max(a_n,b_n)λ∈[0,1]与Fuzzy向量的数乘定义为λA=(min(λ,a_1),min(λ,a_2),…,min(λ,a_n)。若Fuzzy向量组A_1,A_2,…,A_n中,任何向量均不能用其余向量线性表出,称向量组为线性无关向量组。容易证明,在P_n     

一个不等式的推广与应用

下面不等式是众所周知的:设a、b∈R~+且a+b=1,则ab+1/(ab)≥(17)/4. 本文想对上面不等式作较为一般的推广,并举例说明它的简单应用。设a_k∈R~+(k=1,2,…,n),且a_1+a_2     

一个推广不等式的加强

命题1 设a,b,c>0,则 2/(b+c)+2/(c+a)+2/(a+b)≥9/(a+b+c)。本刊1988年第6期P.8,曹健同志给出命题1的一个推广如下: 命题2 设a_1>0(i=1,2,…,n),m∈N,S=a_1+a_2+…+a_n,则 n-1/(S-a_1)~m+n-1/(S-a_2)~m+…+n-1/(S-a_n)~m≥n~2/S~m ①笔者发现命题2并不比它的特例(命题3)强。     

运用均值不等式的常见错误分析

设ai∈R~ (i=1,2,…,n),则(a_1a_2a_3∧a_n)~(1/2)≤a_1 a_2 a_3 ∧ a_n/n(当且仅当a_1=a_2=a_3=…=a_n时取等号),并且(Ⅰ)如果这n个正数的和为定值S,那么当这几个正数相等时其积最大,等于(s/n)~n;(Ⅱ)如果这n个正数的积为定值P,那么当这几个正数相等时其和最小,等于nP~(1/n)。 以上是平均值不等式及其推论,高中数学中经常要运用它来求最值。在教学实践中本人深刻体会到,在运用均     

整数的多项式表示及其应用

初中课外讲座,作者鲁有专。任给n位整数k,在10进位制中,可表为10的n-1次多项式:k=10~(-1)·a_1 10~(n-2)·a_2 … 10·a_(n-1) a~n,a_i∈{0,1,…,9},i=1,2,…,n,a_1≠0;在b进位制中,又可表为k=b~(n-1)·a_1 b~(n-2)·a_2 … b·a_(n-1) a_n,a_i∈{0,1,…(6-1)},i=1,2,…,n,a_1≠0。整数的多项式表示,在解决某些数学竞赛题时是一个有效的方法,运用时又有若干技巧,本文在这方面将给您以启迪。     

一类绝对值问题的简捷处理方法

其中ai(i=1,2,…,n)均为非负常数,b为任意常数。关于这类函数的一些问题,可先利用它的图象关于直线x=a_1的对称性,写出函数f(x)当x≥a_1时的分段函数,然后逐段讨论,最后根据对称性,求得问题的解。     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2     

1995年中国数学奥林匹克(第10届全国中学生数学冬令营,合肥)

第一天 (1995—01—10上午8:00—12:30)一、设2n个实数a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n(n≥3)满足条件: (1)a_1 a_2 … a_n=b_1 b_2 … b_n; (2)0相似文献   

一道课本习题的启发

<正>课本习题(《普通高中课程标准实验教科书》必修2第88页"探究·拓展"15)已知两条直线a_1x+b_1y+1=0和a_2x+b_2y+1=0都过点A(1,2),求过两点P_1(a_1,b_1),P2(a_2,b_2)的直线的方程.解因为直线a_1x+b_1y+1=0,a_2x+b_2y+1=0都过点A(1,2),所以a_1+2b_1+1=0,a_2+2b_2+1=0.由于P_1(a1,b1),P_2(a_2,b_2)均适合方程x+2y+1=0,且两点确定一条直     

用斜率公式解等差数列问题

等差数列中,通项公式a_n=a_1 (n-1)d=nd (a_1-d),显然,点(n,a_1)是直线y=dx a_1-d)上的点,即(1,a_1)、(2,a_2),(3,a_3)…(n,a_n)是该直线上一系列点,其中d是该直线的斜率,因此公差d可用斜率公式来求:d=(a_n a_m)/(n-m)(m、n∈N、n≠m),运用这公式可简捷地解决等差数列中的某些问题。 [例1] 已知一等差数列的第n项是m,第m     

证明一类分式不等式的一个行之有效的方法

应用柯西不等式,容易得到如下不等式:设 a_i∈R,b_i∈R~ (i=1,2,3,…,n),则有a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n≥(a_1 a_2 … a_n)~2/b_1 b_2 … b_n(当且仅当 b_i=ka_i(k 为常数,i=1,2,…,n)时取“=”号).事实上,由柯西不等式得:(a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n)(b_1 b_2 … b_n)=     

再谈一个条件不等式的推广

文[1]的例6为“若a>O,b>O,a~3 b~3=2,则a b≤2”。 文[2]将它推广为命题:若a_i>0(i=1,2,…,n),且a_1~m a_2~m a_n~m=l(m≥2,m∈N_ ),则a_1 a_2 … a_n≤(mn l-n)/m。     

C_n~k的素数因子

以下凡是用文字来代表的数不加说明均指非负整数.定理1 设p为素数,n=a_0+a_1p+…+a_sp~s (1)(这里0≤a 相似文献   

一个代数不等式猜想的否定

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a_1>0,i=1,2,…,n,3≤n∈N.证明或否定:f(a)a_1/a_1a_2…a_(n-1) a_2aa_2…a_(n-2) … a_1 1 a_2/a_2a_3…a_2a_3…a_(n-1) … a_2 1 … a_n/a_1…a_(n-2) a_na_1…a_(n-3) … a_n 1≤1.文[1]作者指出:当 n=3时已给出初等证明,当 n≥4时仍为猜想.笔者指出:当 n≥4时,此不等式猜想不成     

利用不等式取等号的条件来解题

有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥