一类三角级数求和公式的导出

教师如何巧编三角题或论证题?本文对形如cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7、cosπ/5-cos2π/5、cos~2π/5+cos~22π/5、cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的计算和cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)=0、cos~2A+cos~2(60°-A)+cos~2(60°+A)=3/2等证明的常见题,都可看作这里导出的一类三角级数求和公式的简单应用实例。     

余弦函数式定理的应用

定理△ABC中,求证:cos~2A+cos~2B+cos~2C+2cosAcosBcosC=1(*) 此定理结构对称而优美,证法很多,下面给予一个构造法的证明。证明:因为90°-A、90°-B、180°-C之和为180°,可构造成三角形,设角的对边依次为a＇、     

杨乐不等式的又一证法

设 A>0, B>0,A B≤π,0≤λ≤1,则有: cos~2λA cos~2λB-2cosλA·cosλB·cosλπ≥sin~2λπ。（1） 此不等式是我国著名数学家杨乐教授建立的,证法较多。现给出这个不等式的一个浅显易懂的证法: 证明 构造不等式: x~2-2xcosλB·cosλπ cos~2λB-sin~2λπ≥0,（2） 与之对应的方程为: x~2-2xcosλBcosλπ cos~2λB-sin~2λπ=0,（3） ∴△=4cos~2λBcos~2λπ-4cos~2λB 4sin~2λπ     

思维定势与解题——兼谈几种思维能力的培养

我们先来看一个测验题的解法在△ABC中,求证sin~2A+sin~2B-sin~2C=2·sinAsinB·cosC。证明左边=1/2(1-cos2A)+1/2(1-cos2B)-(1-cos~2C)=cos~2C-1/2(cos2A+cos2B)=cos~2C-cos(A+B)·cos(A-B)=cos~2C+cosC·cos(A-B)=cosC[cosC+cos(A-B)]=cosC2cos1/2(C+A-B)cos1/2(C-A+B)=2cosCcos1/2(180°-2B)cos(1/2)(180°-2A)=2cosCcos(90°-B)cos(90°-A)=2sinAsinBcosC=右边     

深挖内在联系,纷繁终归统一——杨乐不等式探幽

1 前言 自从杨乐在[1]中提出不等式 设A>0,B>0,A B≤π,0≤u≤1,则有 cos~2uA cos~2uB-2cosuAcosuBcosuπ≥sin~2uπ (1)后,十余年来,又陆续出现了许多新的证法。最近,文[2]又仿其形,一下给出了15个新的不等式,原是按参数λ(即(1)中的u)的值域分为三组,今依其“形”归为如下四类     

课本变式题库

一、高中部分 我们对高中代数上册P.193例4“求sin~210°±cos~240° sin10°cos40°的值”进行演变。 变式1:cos~280° cos~240° cos80°cos40°=3/4。 变式2:cos~2A cos~2B cosA·cosB=3/4的充要条件是A B=2kπ±(2/3)π或A-B=2kπ±(2/3)π,(k∈Z)。 证明:先对原式进行恒等变形: cos~2A cos~2B cosAcosB =1 1/2(cos2A cos2B) cosA·cosB     

一个简单命题的应用

命题设A,B均为锐角,则(1)A+B>π/2的充要条件是sinA>cosB(或tanA>cotB);(2)A+B<π/2的充要条件是sinA相似文献   

关于三角不等式的一种代换技巧

本文介绍早已被初等数学研究工作看熟练掌握但尚有很多人不了解的关于三角不等式的一种代换技巧.设 A、B、C 是△ABC 的三个内角,则易知(π-A)/2、(π-B)/2、(π-C)/2也是某一个三角形的三个内角.所以,如果已知一个三角不等式f(A,B,C)≥0对任意的△ABC 成立,那么将这一个不等式中的 A、B、C 分别代之以(π-A)/2、(π-B)/2.(π-C)/2以后得出的不等式f((π-A)/2、(π-B)/2、(π-C)/2)≥0     

两道数学竞赛题的统一与拓广

下面两道试题: 1.设α、β皆为税角,且sin~2α sin~β=sin(α β),求证:α β=π/2。(1983年第十七届苏联中学生数学奥林匹克试题)。 2.若A、B∈(0,π/2),试证:等式cos~2A cos~2B=(sin~7(A B))~(1/4)成立的必要条件为A B=π/2。(1990年武汉市高二数学竞赛试题)。虽形貌有异,但(在形式与解法上)能统一     

数学练习题(十八)解答

103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π·     

2006年高中数学竞赛模拟试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( ).A.30° B.45° C.60° D.90°2.如果(1+sin~2θ)sinθ>(1+cos~2θ)cosθ,且θ∈(0,2π),那么角θ的取值范围是( ).A.(0,π/4) B.(π/2,(3π)/4) C.(π/4,(5π)/4) D.((5π)/4,2π)3.定义:离心率 e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆为“黄金椭圆”.对于椭圆 E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),如果 a,b,c 不是等     

三角形中的一个重要结论及应用

结论:在△ABC中,A、B、C为三角形内角,则sin A＞sin B(?)A＞B．证明:(必要性)sin A＞sin B(?)sin A-sin B=2cos(A B)/2sin(A-B)/2＞0．由条件知0＜(A B)/2＜π/2,-π/2＜(A-B)/2＜π/2,所以cos(A B)/2＞0,则必有sin(A-B)/2＞0,可得0＜(A-B)/2＜π/2,即A＞B．(充分性)若A为锐角或直角,由已知A＞B,则0＜B＜A≤π/2,于是     

应用齐次线性方程组理论证明等式三例

齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0。现举例说明如何用这一理论证明等式。例1.在△ABC中,求证 cos~2A+cos~2B+cos~2C+2cosA·cosB cosC=1。考察方程组     

擂台题(26)的评注

擂题(26)在锐角△ABC中,设m=cosA cosB cosC,求证:(1 m)~3≥27(cos~2A m)(cos~2B m)(cos~2C m).     

韦达定理解三角题例说

一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。     

构造对偶式解题

一、三角对偶式例1。化简cos~2α cos~2β-2cosαcosβcos(α β). 设原式为A,设B=sin~2α sin~2β 2sinαsinβcos(α β),则A B=2-2cos~2(α β)=2sin(α β),A-B=cos2α cos2β-2cos(α β)·cos(α-β)=0,故A=B=2sin~2(α β). 类似计算cos~2A cos~2B cos~2C 2cosAcosBcosC(A B C=π),Cos~2θ cos~2(θ 120°) cos~2(θ-120°)等.     

一个三角形不等式的证明--兼擂题(61-1)解答

《中学数学教学》2 0 0 3年第 3期有奖解题擂台( 61 )中 ,严复卓老师提出了如下一个三角形不等式 :在△ABC中 ,求证cosA·cosB·cosC≤ ( 1 -cosA ) ( 1 -cosB) ( 1 -cosC) ,等号当且仅当A =B =C =π3 时成立。本文给出上述不等式的两种证明方法。证法一　设A≤B≤C ,则当C为直角或钝角时 ,cosA >0 ,cosB >0 ,cosC≤0 ,1 -cosA >0 ,1 -cosB >0 ,1 -cosC >0 ,不等式显然成立。当C为锐角时 ,此时△ABC为锐角三角形 ,设A、B、C的对边分别为a、b、c,则a≤b≤c且a2 +b2-c2 >0 ,b2 +c2 -a2 >0 ,c2 +a2 -b2 >0 ,由余弦定理 ,可将问题转…     

高一数学单元测试(三角函数的图象和性质、两角和与差的三角函数)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 )1 .函数 f(x) =sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为 (　　 )　　 (A) π2 　 (B)π　 (C) 2π　 (D) 4π2 .已知x∈ -π2 ,0 ,cosx=45,则tan 2x=(　　 )　　 (A) 72 4　 (B) -72 4　 (C) 2 47　 (D) -2 473 .若方程x2 -sinAcosB·x+sinC =0的两根之和等于两根之积的一半 ,则 ABC的形状是 (　　 )　　 (A)等腰三角形　　 (B)直角三角形　　 (C)等边三角形　　 (D)锐角三角形4.下列不等式中正确的是 (　　 )　　 (A)sin 57π>sin47π　　 (B)tan1 58π >tan -π7　　 (C)sin -π5>si…     

杨乐不等式的简单证明

我国著名的数学家杨乐教授曾建立下列三角不等式: 设A>0,B>0,A B≤π,0≤λ≤1。则有: cos~2λA cos~2λB-2cosλAcosλBcosλπ≥sin~2λπ (1) 《中学数学》(湖北)及贵刊曾给出多种不同的初等证法,但都较繁,本文用因式分解法给出它的极简单的证明。     

关于三角函数和向量的测试题

一、选择题(每小题4分,共48分)1.下列函数值是负值的是()A.sin4B.tan8C.sin(-987°)D.cos(-18π10)2.若sin(π+A)=-12,则cos(3π2-A)的值为()A.-12B.12C.-3姨2D.3姨23.若｜cosx｜=cos(-x+π),则x的取值范围是()A.2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(kZ)B.2kπ+π2≤x≤2kπ+3π2(kZ)C.2kπ+π2相似文献