一道CMO试题的另解

题目 设锐角△ABC的三边长互不相等，O为其外心，点A＇在线段AO的延长线上，使得∠BA＇A=∠CA＇A．过A＇作A＇A1⊥AC、A＇A2⊥AB，垂足分别为A1、A2，作AHA⊥BC，垂足为HA．记△HAA1A2的外接圆半径为RA，类似地可得RB,RC.求证：1/RA＋1/RB＋1/RC=2/R，其中，R为△ABC的外接圆半径．     

圆外切闭折线的k号界心及其性质

我们知道,三角形的第一界心和第二界心有如下基本性质:[1] 定理0设△ABC的内心为I,重心为G,第一界心为N,第二界心为F,则I、G、F、N四点共线,且 IG:GF:FN=2:1:3.     

关于费马点与重心的距离公式

命题 在△ABC中，F、G分别为费马点和重心，令BC=a，CA=b，AB=c，S为△ABC的面积．则GF=√1/2（a^2＋b^2＋c^2-4√3S）/3.     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

三角形几个“陪心”的向量性质

文[1]讨论了三角形重心与内心的向量性质.本文将进一步探讨三角形＂四心＂的衍生心——＂陪心＂的向量性质.设M为△ABC所在平面上一点,过M点分别在△BMC,△CMA,△AMB中作角     

异曲同工 异“心”同“标”

贵刊文[1]利用向量式给出了三角形“奇心”的定义：若O为△ABC所在平面内一点,且满足1/a·OA＋1/b·OB＋1/c·OC=0（a,b,c分别为内角A,B,C的对边）,则称点O叫做AABC的奇心．     

三角形2号心的几何性质

文[1]研究了三角形2号心的性质,本文做进一步探讨.定理1 设 P 为△ABC 所在平面内任一点,P 关于△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点 D、E、F 的对称点分别为 A′、B′、C′,则(Ⅰ)AA′、BB′、CC′交于一点;     

三角形重心的性质再探

三角形的重心已有许多性质,本文对此将作进一步的探讨。 性质1 设G是△ABC的重心,则 3GA~2 BC~2=3GB~2 CA~2 =3GC~2 AB~2。 证明 设AG的延长线交BC于D,于AD=3/2GA。由三角形的中线长公式,得     

一个几何定理的推广

赵绪昌老师,在文中,应用一个定理简结地解答了三道竞赛题。这定理如下: 定理 设A＇、B＇、C＇分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,若AC＇:C＇B=p,BA＇:A＇C=q,CB＇:B＇A=r,△ABC与△A＇B＇C＇的面积为S_(△ABC)与S_(△A＇B＇C＇)。则     

有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

一组与三角形有关的向量性质及其几何意义

文（1）给出了如下命题1． 命题1 已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,G是△ABC的重心,a·GA＋b·GB＋c·GC=0,则△ABC为正三角形．     

三角形中“四心”的关系

设△ABC的外心、内心、重心和垂心分别为O，I，G，H，如图众所周知，O、G、H三点共线且OG=1/2GH，所以OG=1/3OH．GH=2/3OH．在△IOH中应用斯特瓦尔特定理有∴将它们代入（1）式得这样，我们得到了三角形的四心：外心、内心、重心和垂心间的距离之间的关系式．三角形中“四心”的关系@布仁$内蒙古海拉尔师专     

三角形的1号心及其性质

在△ABC所在的平面内任取一点P,以点P为原点建立直角坐标系xPy,设顶点A、B、C的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy,则点123123(,)Qxxxyyy++++称为△ABC关于点P的1号心. 定理1设△ABC关于点P的1号心为Q,其重心为G,则Q、P、G三点共线,且QG 2GP=. 证明 应用同一法.取线段QP的内分点M,使2QMMP=,那么只需证明点M是 △ABC的重心G就行了. 以点P为原点建立直角坐标系xPy,设顶点A、B、C的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy,则点Q的坐标为12312(,xxxyy+++ 3)y+. 又设点M的坐标为(,)xy,注意到点P为原点(0,0),点M将线段QP…     

三角形重心向量性质的再推广

文[1]提出并证明了三角重心的一个向量性质. 命题,已知a、b、c、分别为△ABC中解A、B、C的对边,G为△ABC重心,且a·GA+b·GB+c·GC=0,则△ABC为正三角形.     

抛物线内接三角形重心与焦点重合的几个结论

<正>本文介绍归纳抛物线内接三角形当重心与抛物线焦点重合时的几个结论,并予以证明,供参考.定理1 设抛物线y²=2px(p>0)的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,则■.证明略.定理2 设抛物线y2=2px(p>0)的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,则■.证明略.定理2 设抛物线y²=2px(p>0)的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,若DABC三边AB、BC、CA所在直线的斜率分别为k_(AB)、k_(BC)、k_(CA),     

一个几何定理的证明及其应用

定理 设A’、B’、C’分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,若AC’:C’B=p,BA’:A’C=q,C’B:B’A=r,△ABC与△A’B’C’的面积为S与S_0.则S_0/S=pqr 1/(p 1)(q 1)(r 1)证 设△AB’C’、△BA’C’、△CB’A’的面积分别为S_1、S_2、S_3、则     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…     

一道向量题的解法与推广

题目 已知G为△ABC的重心,求证：^→GA＋^→GB＋^→GC=0． 解法一 延长CG交AB于D,则D为AB的中点．     

一个图形的性质及应用

本文提出一个常见几何图形的几个特殊性质,并通过若干典型例子说明其应用。 如图,P为△ABC中BC边上一点,PE∥BA,PF∥CA。设当i=1,2,3时,C_i(S_i,R_i,r_i)分别表示△ABC,△FBP,△EPC B的周长（面积,外接圆的半径,内切圆的半径）。S＇表示□AFPE的面积。 显然△ABC∽△FBP,△ABC∽△EPC,分别记其相似比为λ_1,λ_2。则有:     

三角形的旁切圆切点三角形的一个性质

定理设ΔABC的内角A，B，C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA，ΔB，△C，且记BC=a，CA=b，AB=c，p=1/2（a＋b＋c），ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△，R，r，则有