函数构造思想解题的几种策略

构造函数解题需要较强的创新意识,是高考改革的方向,本文愿就此抛砖引玉．一、构造一次函数y=kx+b(k≠0) 例1 设a,b,c∈(-1,1),求证:ab+bc+ca>-1. 解析作辅助函数f(x)=(b+c)x+bc+1．因为f(1)=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,所以在(-1,1)上恒有f(x)>0．又-10,即原不等式成立．例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求x     

不等式恒成立问题中的求参策略

含有参数不等式恒等式成立问题在高考试题中经常出现 ,是高考数学的一个重要知识点 .但是由于这类问题涉及知识点多 ,方法灵活多样 ,技巧性强 ,难度大 .是教学中的一个难点 .本文结合教学实例 ,对不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作一些归纳和整理 ,希望有助于学生的复习 .一、分离参数法分离参数法就是把不等式中的参数 t和自变量 x分离出来 ,通过求函数 f ( x)的最值来求参数的取值范围 .例 1　已知 f ( x) =lg( x +1) ,g( x ) =2 lg( 2 x +t) ( t∈ R) ,如果 x∈ [0 ,1]时 ,f ( x)≤ g( x)恒成立 ,求t的取值范围 .解 :由 f ( x…     

数学写作——展现自我的舞台

这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二     

解读数学信息题的五种类型

高考数学信息题是从所给材料中获取信息,并用于新问题解决的一类新题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能突出对考生的阅读理解能力、观察能力、获取信息与处理信息能力和独立研究探索问题能力的考查,因此一直是高考中的热点,备受命题者的青睐.本文结合实例对数学信息题进行分类解读.一、表格型信息题表格能集中给出解题信息,简洁明了.理解表中内容,根据数据特征找出数量关系进行计算或推理,是求解表格信息题的关键.【例1】函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:x-3-2-10123456y-80-2404001660144280则函数y=lgf(x)的定义域为.解析观察表中有三个x值使f(x)=0,联想二次函数的零点解析式y=a(x-x1)(x-x2),因而不难设出f(x)的解析式,进而求之,再解高次不等式即可求出函数y=lgf(x)的定义域.设f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2),而f(0)=4,∴a=2,∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).要使y=lgf(x)有意义,则有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0,由数轴标根法解得-12.∴函数y=lgf(x)的定义域...     

特例法巧解八类高考选择题

特例法是解高考选择题的一种应用频率很高的间接法 .在近几年高考选择题中 ,归纳出以下八类问题常用特例法进行求解 .一、关于不等式解集的问题【例 1】　 ( 2 0 0 2年全国高考 )不等式 ( 1 +x) ( 1 -｜x｜) ≥ 0的解集是 (　　 ) .A {x｜ 0 ≤x <1 }B {x｜x<0且x≠-1 }C {x｜-1 相似文献   

二次函数背景下不等式问题解法探究

函数问题历来是高考命题的重点,考查内容设计新颖,形式多样,综合性强.其中,以函数为背景的不等式问题,是知识网络的一个交汇点,同时也是高考命题的热点问题之一.探求二次函数背景下的不等式问题,实质是将二次函数的有关性质进行适当转化,再归结为不等式问题;其中二次函数性质的基本意义和图像特征,是问题转化的基础.因此,在实际解题中要注重从概念、图像出发,进行逻辑分析、推理和判断,并结合不等式的相关知识求解问题.一、借助不等式性质,实现参数代换转化例1已知函数f(x)=ax2 bx c(a、b、c∈R),当x∈[-1,1]时,f(x)“1.(1)求证:b“1;(2)若g(x)=bx2 ax c(a、b、c∈R),则当x∈[-1,1]时,求证:g(x)“2.分析本题中所给条件并不足以确定参数a、b、c的值,但应该注意到:所要求的结论不是b或g(x)的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”.因此,我们可以用f(-1)、f(0)、f(1)来表示a、b、c.证明(1)由f(1)=a b c,f(-1)=a-b c#b=12[f(1)-f(-1)],从而有b=12[f(1)-f(-1)]“21[f(1) f(-1)].∵f(1)“...     

一次函数性质的应用

1996年全国高考试题第 2 5题 ,是一次、二次函数和不等式的综合性试题 ,当年的考生反应强烈 ,得分率很低 .实际上 ,除试题本身较难、思维层次高外 ,也说明学生对一次、二次函数特别是一次函数的性质掌握得不好 .现将原题及解答抄录于下 :已知 a,b,c是实数 ,函数 f ( x) =ax2 +bx +c,g( x) =ax +b,当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,( 1)证明 :|c|≤ 1;( 2 )证明 :当 - 1≤ x≤ 1时 ,|g( x) |≤ 2 ;( 3)设 a >0 ,当 - 1≤ x≤ 1时 ,g( x )的最大值为2 ,求 f ( x) .解 :由 ( 1)由条件当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,取 x =0得 |c|=|f ( 0 ) |…     

高考导数试题的巧妙解法

<正>全国新课标试卷把函数导数试题作为压轴题,从近年的高考试题可以看出考查不等式恒成立求参数范围的题型较多,基本每题都设计分类讨论,但是分类讨论对学生来说是弱项,鉴于此情况,本文介绍一种巧妙的解题方法.2013年新课标试卷(1)21题:已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都通过点P(0,2),且在点P处有相同的切线     

解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…     

等差数列的两个命题在解题中的运用

下面是等差数列中的两个极其平凡的命题 :命题 1　若 a +c=2 b,则三数 a,b,c成等差数列 ;命题 2　若三数 a,b,c成等差数列 ,设公差为 d,则 :a =b - d,c=b +d.如果我们能适时地引导学生运用上述两个命题 ,不仅可以解决等差数列自身的若干问题 ,而且更重要的是拓宽或推广其它学习过的数学问题 ,对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益的 .一、求函数的值域与实数的范围例 1　求函数 f ( x) =x +1+10 - 3x的值域 .解 :函数 f ( x)的定义域为 [- 1,103] ,且 f ( x) >0 .∵ x +1+10 - 3x =f ( x)∴三数 x +1,f ( x )2 ,…     

函数解析式和函数性质的运用

<正>函数解析式求解问题是考试中的重点问题,我们在练习过程中要有意识地进行反思和归纳总结。1.已知函数类型,求函数解析式时,可用待定系数法,比如,函数是二次函数,可设为f(x)=ax²+bx+c(a≠0),其中a,b,c为待定系数,根据条件列出方程组,解出a,b,c即可。例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。解:设f(x)=kx+b(k≠0)。又因为f[f(x)]=4x-1=f(kx+b)=k(kx+b)     

与抽象函数有关的等式问题

有一类抽象函数问题 ,常把与抽象函数有关的等式作为条件 ,在高考试题中频繁出现 ,怎样利用好这些等式是解决此类问题的关键 .本文介绍处理这类问题的几种解题策略 .一、利用递推关系与抽象函数有关的等式看作递推式 ,利用其递推关系寻找新的等式 .例 1　已知 f ( x)是定义在正整数集上的函数 ,对任意正整数 x,都有 f ( x) =f ( x - 1) +f ( x +1) ,且f ( 1) =2 0 0 2 ,求 f ( 2 0 0 2 )解 :利用 f ( x) =f ( x - 1) +f ( x +1)的递推关系可知 :f ( x +1) =f ( x) +f ( x +2 ) ,和 f ( x +2 ) =f ( x+1) +f ( x +3)两等式联立得 :f ( x +3) …     

浅谈构造法解题

构造法解题在近年高考、竞赛中时有出现常见的有构造函数、构造不等式、构造数列、构造几何图形等,本文将通过具体题目来说明. 一、构造函数 例 1 设f(x)=x3-6x2+9x-14,f(m)=1,f(n)=-1,求m+n的值。 解:f(x)=(x-2)3+3(x-2),∴(m-2)3+3(m-2)=1①(n-2)3+3(n-2)=-1②设F(x)=x3+3x易知F(x)=x3+3x是单调递增的奇函数,∴F(m-2)=-F(n-2)=F(2-n)∴m-2=2-n,∴m+n=4.     

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

误用不等式性质解题的错误分析

不等式是高中数学课程中重要的知识内容,它包括不等式的概念、性质,不等式的证明,不等式的解法和一些含有绝对值不等式的解法。而在解不等式时,我们往往误用不等式的性质进行解题,从而造成解题错误。[例1]:(广州市2005年高中毕业考试数学试题———本题由1996年全国高考数学试题改编而成)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1],时,f(x)1.(1)证明:b1(2)若f(x)的图象经过点(0,-1),(1,1),求a的值。分析:我们不在这里将这一题详解,只是将我们在阅卷过程中发现的错误与同学们共同研究,以防止你们再次发生这样的错误。第(1)小题同学们的错…     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

巧用特殊值法解高考数学题

2004年高考(湖南)数学(文史类)12道选择题中有6道题可以用特殊值法巧解.例1函数y=lg(1-1x)的定义域是()A.邀x｜x<0妖B.邀x｜x>1妖C.邀x｜01妖解析令x=-1,则1-1-1>0,此式有意义;令x=2,则1-12=12>0,此式有意义.选D.例2设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a、b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0解析依题意可令α=3π4,则直线过点(-1,1),(1,-1).将这两点的坐标分别代入直线方程有-a+b+c=0,①a-b+c=0.②②-①得a-b=0.选D.例3设f-1(x)是函数f(x)=x姨的反函数,则以下不等式中恒成立的是()A.f-1(x)≤2x-1B.f…     

规定性题型的思维和解题对策

近年来 ,高考试题中出现了一种新颖的规定性题型 ,这种题型是设计一个陌生的数学情境 ,要求学生在阅读理解的基础上运用所学知识和方法进行解题 .题目中最常见的是定义一种新的运算法则或运算关系 .学生因情境新颖 ,算符陌生而产生畏惧情绪 .现针对此类问题列类几例 ,对其思维和解题对策进行分析 ,以供读者参考 .例 1　对于函数f(x) ,g(x) ,规定当 f(x) g(x)时 ,f(x)※g(x) =f(x) ;当f(x) 相似文献   

一道2012年高考压轴题的思路历程

题目:已知函数f（x）满足f（x）=f’（1）e^x-1-f（0）x+1/2x².（1）求f（x）的解析式及单调区间;（2）若f（x）≥1/2x²+ax+b,求（a+1）b的最大值.此题为2012年全国高考数学新课标卷理科第21题,是一道利用函数、导数、不等式知识解决新问题的压轴题.第（1）小题较基础,相