用“等量代换”方法解题一例

有些数学题按一般解题思路分析,似乎无从下手。如果把题目中的条件分别用关系式表示出来,再根据它们之间的关系进行等量代换消去一个未知数,然后把化简后时数量关系用线段图表示出来,便能找到解题的途径。 例:甲数是乙、丙二数和的一半,乙数与甲、丙二数和的比是2:3,已知丙数是49,求甲、乙二数。     

用分式代换解题

对于含有约束条件问题,如果我们恰当地竹二几的求流或不等式其’}’成寸“护。,川二那于。,则山一。得:“、/)’,,,‘;了:一。.从l{11分式代涣x,一书兰(二厂‘并。)., 乙、‘的{一’l一不不孟 刀:刀:户.,一长l}’三与“八扫‘/J’:)(lt几十“lJ’i︸听扫班)(八一+--八、有时会给解决问题带来方便,苹个(妇司苞得以顺利析决. 用分式代换可解决如卜几均司题. 一、求值 例、已知f十矿二、、,“+于一l,‘、一,一械一。.求的+.、‘的浪、此题一般足‘;)只角{七换法解决卜还给出的分式·“}色尔才、失为一种好寿汀,.此题「1i二可得出牛二二。、求…     

用三角代换巧解题

三角代换是一种重要的数学方法,在解决数学竞赛试题时常能起到化生为熟、化难为易、化繁为简的作用,现以第17届“希望杯”试题为例说明．     

用增量代换法解题

利用增量代换来解答和处理问题的方法叫做增量代换法。增量代换法是中学教学中的一种重要方法,在解决众多的数学问题中表现出奇妙的作用。一、解方程例1 解方程 (2x~2-3x+7)~(1/2)-(2x~2-3x+2)~(1/2)=1。解;由此方程的特征,可设 (2x~2-3x+7)~(1/2)=1+a, (1)则(2x~2-3x+2)~(1/2)=a(a≥0)。 (2)(1)~2-(2)~2得a=2。∴ (2x~2-3x+2)~(1/2)=2。解得 x_1=2,x_2=-1/2。经检验知,均为原方程的根。二、证不等式例2 设a,b,m∈P~+,且aa/b。证明:由已知不妨设b=a+a(a>0),则     

用等量代换法解题

[题目]一个圆柱形的容器内,放着一个正方体铁块。现在打开一个水龙头往容器里注水,过了2分钟,水恰好没过正方体铁块,又过了20分钟,水刚好注满容器。已知从里面量容器高60厘米,正方体铁块的棱长是20厘米,求容器的最大储水量。     

用等量代换的方法解题

等量思想,是小学简易方程中列方程的基本思想。等量代换的方法,也是数学教学中常用的一种数学思维方法,不仅在求积计算中用到,而且在有些算术应用题的求解中,通过等量代换,使算理容易讲清楚,计算更简便。下面举几例说明。 [例1] 两辆汽车同时从某地出发,运送一批物资到距离165公里的工地上。甲车比乙车早到0.8小时,当甲车到达时,乙车还距工地24公里。甲车行驶全程用了多少小时? 这是一道同向行进的路程问题,解法很多,如可用小数解,也可用分数解,还能用比例解等等。但其中最简便的一种,是用等量代换的观点来解释题目中的数量关系,即甲车行完全程时间与乙车行完(165—24)公里的时间是等量。因此,算出乙车每小时的速度后,用路程除以速度,便能求     

构造“零值代换”求代数式的值

构造“零值”代数式,解一类条件代数式求值问题,整体意识强,简捷明快、现举例说明.例1 已知x=2-5~(1/5),那么x~4-8x~3+16x~2-x+1的值是(?).(第六届“希望杯”初二数学竞赛题)解∵x=2-5~(1/5),∴2-x=5~(1/5).两边平方,整理得x~2-4x-1=0.∴x~4-8x~3+16x~2-x+1=x~2(x~2-4x-1)-4x(x~2-4x-1)+(x~2-4x-1)-x+2=-x+2=5~(1/5)     

学会用和差代换解题

我们知道，对于任意实数ｘ与ｙ，恒有ｘ＝１／２（ｘ＋ｙ）＋１／２（ｘ－ｙ），ｙ＝１／２（ｘ＋ｙ）－１／２（ｘ－ｙ），若令１／２（ｘ＋ｙ）＝ｓ，１／２（ｘ－ｙ）＝ｔ，则ｘ＝ｓ＋ｔ，ｙ＝ｓ－ｔ，我们不妨称这个简单代换为和差代换．如果ｘ＋ｙ＝２ｋ（常数），我们则可引入参数ｔ，分别用ｋ＋ｔ，ｋ－ｔ代换ｘ和ｙ，用和差代换解决某些数学问题，简捷明快，颇具新意，下面我们就来看看这样几道例题。     

常量代换解题几例

例１解方程ｘ＝（ｘ２－２）２－２．解：令２＝ｔ,则ｘ＝（ｘ２－ｔ）２－ｔ,∴ｔ２－（２ｘ２＋１）ｔ＋ｘ４－ｘ＝０．ｔ＝（２ｘ２＋１）±（２ｘ＋１）２,∴ｘ２＋ｘ－１＝０,或ｘ２－ｘ－２＝０,∴ｘ１＝－１＋５２,ｘ２＝－１－５２,ｘ３＝－１,ｘ４＝２...     

用三角代换求最值

在求某些函数的最大值、最小值时,用三角函数代换可巧妙地求解.这里介绍几种求最值时常用的三角函数代换. 1.若|x|≤1,可令x=sinθ. 例1 求函数y=(1-x~2)~(1/x)的最大值和最小值. 解:函数定义域是-1≤x≤1令x=sinθ,θ∈[-π/2,π/2],则(1-x~2)~(1/2)=cosθ,∴ y=sinθcosθ=1/2 sin2θ∴当θ=π/4即x=2~(1/2)/2时,y_(max)=1/2,当θ=-π/4即 x=-2~(1/2)/2时,y_(max)=-1/2.     

用“代换法”巧解题

有些题目用常规方法很难解答,若用“代换法”则可以简繁敏、化难为易。此题若直接计算则很繁琐,不妨用“代换法”解之。设 ａ＝　＋　＋　＋　,ｂ＝　＋　＋　＋　＋则原式＝（１＋ａ）×ｂ—（１＋ｂ）×ａ 例２．化简 此题直接约分很难找出分子、分母的最大公约数。 设 ａ＝５８,ｂ＝８５。 则原式 例３．某人上山每小时行３千米,下山每小时行５千米,求他上、下山的平均速度。 此题没有给出路程这一条件,似乎无法解答,若用“代换法”则可迎刃而解。 设从山顶到山下的路程为ａ千米,则可列式为： 　　　　　　　　　（千米）答（略…     

用特殊值解题

特例情形是一般情形在具体、特殊背景下的表现形式．当题目条件具有可变性,结论具有非确定性,图形具有随意性时,可通过选择特例解题,巧取动（变）中之一瞬,以小见大,以点带面,快速解决问题．现在选取数例加以分析,供同学们参考．     

利用均值代换解题例谈

利用均值代换解题例谈刘尊革（江苏沛县师范学校２２１６００）当ｎ个变量ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）的和为定值ａ时，可设ｘｉ＝ａｎ＋ｔｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），其中ｔ１＋ｔ２＋…＋ｔｎ＝０，我们把这种代换叫做均值代换．均值代换将研究ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ...     

用三角代换妙解几道征解题

<正>~~     

用特殊值法解题

有些选择题或填空题按照常规解法，将不胜其繁甚至陷入困境．这时不妨在允许取值的范围内选择一个或几个特殊的值代人所求问题中，会使问题迅速获解，不仅达到预期的效果，而且简化步骤、方便快捷、简单明了、节省时间，收到事半功倍之效．     

用特殊值法解题

利用特殊位置解题［典型例题］例1如图1,在等边ABC的边AB上任取一点D,又在AC上取一点E,使AE＝BD,BE和CD相交于0．求COE的度数．分析如果动点D逐渐运动到AB的特殊点——端点B,最后B、O、D重合,则A、E重合于A点,ZCOE亦重合于ZABC,放所求的／COJ为gr．解：为等边三角形,例2等腰三角形的腰为5,底为6,P是底边上任意一点,则P到两腰的距离之和为＿．分析rtABC的面积等于从P向两腰所作垂线段的和与一腰的乘积的一半,这里面ABC的面积是一个不变值,与P点在BC上的位置无关,因此可选P点在BC的端点或中点这些特殊…