“一交二垂三中”解题策略

任何一种策略都是针对某一类或某一个特定的具体问题而言的，现在我们所关心的问题是：对于所给圆锥曲线和一条直线，要求判断圆锥曲线上是否存在两点关于该直线对称及其相关问题．说得更清楚一些是：已知圆锥曲线C的方程为f（x，y）=0，     

韦达定理为何在这里“失灵”

若ax^2＋bx＋c=0（a,b,c∈R,且a≠0）有两实根x1,x2,则x1＋x2=-b/a．我们常用这个韦达定理解决解析几何中的直线和圆锥曲线相交问题,如直线l：y=kx＋t与圆锥曲线C：f（x,y）=0相交于不同两点A,B,     

多姿的焦半径

在圆锥曲线中，焦半径是一个很重要的几何量，它在解题中有着广泛的应用，故值得我们进一步总结和研究．为此，本文介绍形式多样、多姿多彩的焦半径的表达式，供同行参考．形式1P（x0，y0）是圆锥曲线C；：b2x2＋a’y‘一a’b’（a＞b＞o）或C。；b’x’－a‘y’一a’b’（a＞O，b＞O）上的任一点，凤（－c，o），几件，O）是左、右焦点，圆锥曲线的离心率是。，则这种形式是大家都熟悉的，证明从略．形式2设E，F是圆锥曲线Q：卜X‘＋a＊一a’尸（a＞b＞O）或Q·尸。’－a＊一a’尸（a＞O，b＞O）的两个焦点，点P在圆锥曲线上，c，e分…     

圆锥曲线的一个性质的推广

关于圆锥曲线文[1]给出如下一个性质： 定理1设l是圆锥曲线C过焦点F的对称轴。A是l上一定点（A不是C的中心）．过A的直线与圆锥曲线C相交于M,N两点．而以M,N为切点的曲线C的两切线相交于Q点,当M在C上运动时：     

对一个圆锥曲线问题的进一步探究

最近,我校高三数学练习卷上一个圆锥曲线问题引起了笔者的兴趣． 1问题及其解答 已知抛物线C：x^2=4y,过点A（0,4）的直线l交抛物线C于M,N两点,过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q,若MN—NQ,求直线MN的方程．     

圆锥曲线极点与极线的一组性质

1圆锥曲线极点和极线的定义 已知圆锥曲线C：Ax^2＋Cy^2＋2Dx＋ZEy＋F=0（A^2＋C^2≠0）,则称点P（x0,y0）和直线l：Ax0x＋Cy0y＋D（x＋xo）＋E（y＋y0）＋F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线．     

曲线轨迹方程求解中的检验

一、从直观图形分析轨迹范围例１．如图１直角△ABC的两直角边分别是a，b（a＞b），A，B两点分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，求顶点C的轨迹方程．解：设C（x，y），由点O，A，C，B共圆，知∠COA＝∠CBA，∴xy＝ab，即y＝bx．a从直观分析，易知C点的轨迹不是一条直线．考察A、B处于两极端的位置时C点的坐标．当A重合于原点时，C点横坐标x＝aba２＋b２√；当B重合于原点时，C点横坐标x＝a２a２＋b２√．故C点的轨迹方程应是y＝bax，aba２＋b２√≤x≤a２a２＋b２√）．二、从参数变化分析轨迹范围例２．已知关于x的二次方程x…     

构造“关于y/x的二次方程”巧解2007年高考题`

1方法回顾提炼文[1]中提炼出一种解决"直线与圆锥曲线相交弦"有关问题的行之有效的特殊方法——构造"关于y/x的二次方程".其具体方法如下:若直线l与圆锥曲线C相交于不同两点P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2),当求解与k_(OP)、k_(OQ)相关的问题时,可以设直线l的方程为y =kx 6,当b≠0时,可将其化为(y-kx)/b=1,     

让“完美交点”更“完美”

文［1］作者探究发现了圆锥曲线中一个“完美交点”：
　　如图1,椭圆C：x2a2+y2b2=1（a > b >0）的右焦点为F,右准线l与x轴交于点N,AB为垂直于x轴的动弦,设直线AF与BN交于点M,则点M恒在椭圆C上。     

圆锥曲线的动弦过定点或有定向问题的再探

文[1]论述了圆锥曲线的动弦的两端与曲线上定点连线的斜率之积为定值时动弦过定点的性质，本文将探讨斜率之和为定值时动弦过定点与有定向的性质．定理1椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2上定点P（x0，y0）与椭圆上两点A、A'连线的斜率存在，则：（i）动弦AA’所在直线必过定点M（x0＋a/bk·y0,b/ak·x0－y0为）（k≠0）的充要条件是PA、PA’的斜率之和为为定值－2k·b/a；（ii）动弦AA'必有定向（kAA'＝b2/a2·x0/y0)的充要条件是PA、PA'的斜率之和为0．比较（l)、（2）两式可知：直线AA’过定点（定值）所以动弦AA’有定向．推论（i）满足定…     

圆锥曲线中的对称问题

<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y²=x与直线l:     

轴对称中的奇巧

探究轴对称中的奇巧,可提高解题效率．例如：若点A（x0,y0）,A′（x′,y′）关于直线l：y=±x＋b对称,则点（x′,y0）与（x0,y′） 的坐标均满足对称轴的方程．轴对称问题是中学数学中的基本问题,笔者发现当对称轴的斜率为1或-1时,相互对称的两点的坐标之间有非常奇巧的结果,下面让我们来探讨一下．     

对称在直线和圆锥曲线上的运用

数学是一门最基本的自然科学学科,而数学本身就是一门数学美学．特别是中学数学的对称性,给人以美的享受．下面针对直线和圆锥曲线的对称问题作以简单探讨．卫特殊点或线的对称特殊点或线是原点或X轴、Y轴．直线Y＝X及Y＝－X,其列称情况见了表：例1（1990年全国高考试题）如果直线y一ax＋2与直线y—3X－b关于直线y—X对称,那么（）（Aa。H,b。6（Ba＝ler,b＝6（C）a。3,b＝2（D）a＝3．b＝62——”——”－－3一解由曲线f（x．y）一O关于y—x对称的曲线方程＄Jf（y,x）一O可得解为（A）即：闭v——ax＋z二）x——“————…     

由一道高考题引发的思考

2005年湖南高考理科19题（文科21题第1问题同）：已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex＋a与x轴、y轴分别交于A、B、M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM→=λAB→。     

一道椭圆问题引发的思考

题目：（2010上海理23）已知椭圆Γ的方程为x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）．（1）若直角坐标平面上的点M,A（0,-b）,B（a,0）满足PM=1/2（PA＋PB）,求点M的坐标;（2）设直线l2：y=k1x＋p交椭圆Γ于C,D两点,     

圆锥曲线又一统一性质

我们知道,圆锥曲线有统一的定义,还有许多统一性质．比如以下统一性质就是其中的一种．定理点P在圆锥曲线的对称轴l上（点P不过对称中心）,过点P的动直线l（l不垂直圆锥曲线的对称轴）交圆锥曲线予A,B两点,点A关于l对称的点为A’,则过点A’和点B的直线必过定点P’．下面分别从椭圆、双曲线和抛物线3个方面进行论述．若是非标准状态下,我们可以通过坐标变换或移轴等手段,把圆锥曲线的方程变成标准形式后进行论证．     

例谈椭圆与直线的相切问题——2014年浙江省数学高考理科第21题赏析

直线与圆锥曲线的综合问题是高中解析几何的一个重点内容，在历年高考中都是区分题的载体，比如2014年浙江省数学高考理科第21题．据了解，这个满分15分的解析几何题，全省平均分5分左右．2014年浙江省数学高考理科第21题如下：例1如图1，设椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（其中a〉b〉0），动直线2与椭圆C只有1个公共点P，且点P在第一象限．（1）已知直线f的斜率为k，用0，b，k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离最大值为a－b．看到此题，笔者的第一感觉是这个题目很常规、很普通，主要考查了直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，以及对分式的处理、基本不等式的应用等综合能力．考生经历了3年的高中数学学习，特别是高三的复习，应该具备了应对此类问题的能力．但从考生反映及阅卷情况来看，这个题目的完成情况不那么理想，值得推敲．这里笔者将自己的一些体会记录下来，与大家分享．     

一道春季高考试题的开放性探究

2005年北京市春季高考试题第18题为：如图1，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y^2=2px（p〉0）于M（x1,y1）、N（x2,y2）两点．证明：1/y1＋1/y2=1/b;     

巧用直线和圆的位置关系解竞赛题

众所周知,直线l：Ax＋By＋C=0和圆C：（x-a）^2＋（y—b）^2=r^2有公共点的充要条件是圆心（0,b）到直线l的距离d=｜Aa＋Bb＋C｜/√A^2＋B^2≤r．     

解析几何中点和直线的对应

1．从圆说起 1．1点关于圆对应的直线 已知圆C的方程x^2＋y^2=r^2和点P（a,b）（圆心除外）,则点P关于圆C对应的直线为l：ax＋by=r^2．其对应法则如下：（1）若点P在圆C上,则直线l表示过点P的圆的切线;（2）若点P在圆C外,过点P作圆C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,