趣谈无理数e

有一个关于高利贷的故事 .商人向财主借钱 ,条件是每借 1元到一年时归还 2元 ,即年利率为 1 0 0 % .财主想 ,如果半年结一次帐 ,利息岂不更多 ?因为半年的利率是 5 0 % ,即借一元到半年时还 1 .5元 ,又把 1 .5元作为本金借给商人 ,再过半年 ,即到了年底 ,又收利息 1 .5× 5 0 % =0 .75元 .这样 ,一年利息是 1 .2 5元 ,比原来的 1元利息多了 0 .2 5元 .半年结算一次 ,即一年结算两次 ,用算式表示 ,1元钱到一年时归还1 122 =2 .2 5 (元 ) .财主马上又想 ,如果一年结算 3次 ,4次 ,… ,3 65次 ,甚至随时结算 ,岂不发了大财 ?他便让账房先生算一…     

浅谈无理数e

作者针对所教学生的实际情况,生动有趣、深入浅出地介绍了无理数e.     

e和π是无理数的一个统一证法

本文借助定积分理论，对e和π的无理性给了一个统一的证法。     

无理数e和银行业

无理数e的实质其实是一个极限问题,它是数学家欧拉命名的,用来代表一个无理数,其值约为2．71828182846,在今天的银行业里．e是对银行家最有帮助的一个数．假如没有e的发现．银行家要计算今天的利息就要花费大量的时间．无论是逐日地算复利,还是持续地算复利都无法避免复杂的运算．有幸的是,e的出现为银行家助了一臂之力．     

无理数e和银行业

无理数e的实质其实是一个极限问题,它是数学家欧拉命名的,用来代表一个无理数,其值为2.71828182846.在今天的银行业里,e是对银行家最有帮助的一个数.假如没有e的发现,银行家要计算今天的利息就要花费大量的时间,无论是逐日地算复利,还是持续地复利都无法避免复杂的运算.有幸的是,e的出现为银行家助了一臂之力.     

积为无理数的近似数的取值问题

<正>近似数在小学教材中已经有所提及,在初中阶段,随着科学计数法和无理数的引入,近似数再次出现,体现了知识内容的螺旋上升,循序渐进.然而,近似数这个看似很熟悉的知识,对学生来说在解题中很容易犯错.原因在于其计算过程中涉及到近似数的取值问题.为此,本文通过案例探究积为无理数的近似数取近似值的一般方法,以帮助同学们正确理解和掌握这类问题的解决方法.一、案例分析     

π、e和其它一些无理数

π、e等不仅是无理数,而且是超越数,但要证明这一点却比较繁难。中学生对超越数这一概念比较陌生,因此在中学里硬要用长的篇幅给中学生介绍这些数的超越性,很难引起同学兴趣。《美国数学月刊》 (The American Mathematical Monthly)1986年11月号上刊登的一篇文章针对这一情况给出了π、e等数的无理性的证明。由于中学生对无理数的概念比较熟悉,文中所用到的数学工具也只是中学教材里的微积分的内容,证明过程也比较简明,因此很适合中学生阅读。特把它译出,供中学教师参考。由于原文中的一些说理过程过于简单,因此,在忠于原文的基础上,译者添加了一些推理过程,以利读者阅读。     

从一个无理数的证明谈起

<正>1问题呈现命题1若n为正整数,则n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)=a/b,得(n+1)(1/2)=a/b,得(n+1)^(1/2)=a/b-n(1/2)=a/b-n^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2).于是又得     

关于e是无理数的又一证明方法

本文利用一元函数微积分中乘积函数求导数的莱布尼兹公式和定积分的分部积分法,证明e是无理数。     

π是无理数的一个简证

设π是有理数,即它为二正整数a与b的商a/b:作多项式: f(x)=(x~n(a-bx)~n)/n!, F(x)=f(x)-f~((2))(x)+f~((4))(x)-…+(-1)~nf~((2n))(x),这里正整数n将由后面来确定。因为n!f(x)是x的整系数多项式,且各项x的次数都不小于n,故对x=0时,f(x)及其各阶导数f~((i))(x)的值均为整数,又因f(x)=f(a/b-x),故对x=π=a/b时,它们的值也都是整数。于是由初等微积分的知识,我们有     

无理数

无限不循环小数叫无理数． 一个无理数必不能表示成n/m的分数形式，其中m是整数，n是非零整数。也就是说，一个无理数不能表示成两个整数之比。     

无理数

2002年11月3日至6日,中国教育学会中学数学教学专业委员会在昆明举办全国第三届初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动,我区魏莉(呼和浩特市实验中学)、王秀华(包头北方重工第一中学)二位老师参加了说课评比,均获得一等奖。说课是进行课程改革和教学研究的一种形式,魏莉和王秀华老师的说课稿,力求贯彻课程改革的精神,体现《课程标准》的基本要求。(一)选材贴近学生生活实际、知识水平和认知规律;(二)不直接揭示规律、结论,而是通过师生共同探索、猜想过程,让学生从中受到数学思想方法的教育;(三)无理数培养学生的数感意识,轴对称进行数学美的教育;(四)恰当运用多媒体课件,使教学效果最优化;(五)联系生产、生活实际,说明无理数确实存在,对称文化充满现实空间,源源流长;(六)结构严谨,语言简炼,表达清晰有力。     

一个近似公式的应用

近似公式（1＋x）^p=1＋px（｜x｜≤1时）在近年来的物理高考中数次出现．本文通过具体的题目介绍这个公式的应用,以引起大家的重视．     

关于无理数的丢番图逼近的一个注记

得到关于无理数的丢番图逼近的一个定理和一系列重要推论，指出并订正了文章“Ｄｉｏｎｈａｎｔｉｎｅ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍｂｅｒ”（Ｊ· ＮｕｍｂｅｒＴｈｅｏｒｙ，３５（１９９０），５５～５７）中的一个错误．     

无理数的由来

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）。     

论无理数

将完全k方数的概念由N推广到R~ ,从而,得到一个很有用的引理,由之推出一系列有关无理数的命题.此外,关于2~(1/2)~(2~(1/2)),2~(1/2)~(2~(1/2))及α~β(α为≠0,1的代数数,而β乃不为有理数的代数数)的无理性的简单证明,也分别在此地给出.     

一个折叠问题的辅助线作法探究

下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题,需要作辅助线构造相似三角形,才能顺利解决.但辅助线的作法比较灵活,通过探究此例辅助线的作法,能够训练思维的灵活性、深刻性,从而提高数学能力.下面从构造相似三角形的角度出发,探究四种辅助线的作法.例1如图1,Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上,点N在BC上,沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.(1)当P为AB中点时,求证:PA/PB=CM/CN.(2)当P不是AB中点时,PA/PB=CM/CN是否仍然成立?若成立,请给出证明.