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题目已知A为圆Γ外一点,直线AB、AC分别与圆Γ切于点B、C设P为劣弧BC(不含点B、C)上的一个动点.过P作圆Γ的切线,与AB、AC分别交于点D、E,直线BP、CP分别与∠BAC的平分线交于点U、V.过点P作AB的垂线,与直线DV交于点M;过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N.证明:存在一个与点P无关的定点L,使得M、N、L三点共线. 相似文献
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1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N。设l是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆Γ_2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E,直线AN和CD相交于点P,直线BN和CD相交于点Q。证明:EP=EQ。 证明:令K为MN和AB的交点。根据圆幂定 相似文献
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祁木秀 《中学生数理化(高中版)》2014,(7):34-35
<正>图1题目如图1,在一条直线l的一侧画一个半圆Γ,分别过半圆Γ上两点C,D作Γ的切线与l交于点B,A且使Γ的圆心在线段AB上,AC与BD交于点E,过E作EF⊥l于点F.求证:EF平分∠CFD.这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题.笔者通过探究,发现了几个结论,现介绍如下.一、对预选题的探究在预选题中,A,B是半圆的两切线与直线l的交点,有 相似文献
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第 41届 IMO试题已刊载在《中等数学》2 0 0 0年第 4期上 ,笔者对其中的第 1,2两题给出证明与评注 ,供参考 .1 圆 Γ1 和圆 Γ2 相交于点 M和 N.设 l是圆Γ1 和圆Γ2 的两条公切线中距离 M较近的那条公切线 .l与圆 Γ1 相切于点 A,与圆Γ2 相切于点 B.设经过点 M且与 l平行的直线与圆 Γ1 还相交于点 C,与圆 Γ2 还相交于点 D.直线 CA和 DB相交于点 E,直线 AN和 CD相交于点 P,直线 BN和 CD相交于点 Q.证明 :EP=EQ.图 1证明 连结MA,MB,ME,延长 NM交 AB于F.∵ l是⊙Γ1 ,⊙Γ2 的公切线 ,又CD∥l,∴∠ EAB =∠ C=∠ MAB… 相似文献
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赵春祥 《数理化学习(初中版)》2004,(12)
为扩大读者的视野,特选解分析三角形中的几个典型问题. 例1 如图1,已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高,BE、CF交于点0,求证:∠A=∠OBC+∠OCB. 分析:要证明∠A=图1∠OBC+∠OCB,考虑到∠OBC+∠OCB=∠FOB,只需证得∠A=∠FOB即可,由已知得 相似文献
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证法 5 :如图 5 ,作AC的延长线CE ,则点C处有一周角 ,即∠BCE+∠DCE+∠BCD =36 0° .∵∠BCE =∠ 1+∠B ,∠DCE=∠ 2 +∠D ,∴ (∠ 1+∠B) +(∠ 2 +∠D) +∠BCD =36 0° ,即 ∠BAD +∠B+∠BCD+∠D =36 0° .证法 6 :如图 6 ,若延长BA、CD相交于点E ,则有∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 ,∴∠BAD+∠B +∠C+∠CDA=(180°-∠ 1) +∠B +∠C+(180°-∠ 2 )=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠B+∠C)=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠ 1+∠ 2 )=36 0° .证法 7:如图 7,若CD∥AB时 ,过点D作DE∥AB交BC于点E ,则∠A =180° -∠ 1,∠B =∠ 2 ,∴… 相似文献
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添加适当的辅助线,是解几何题的一个重要手段,也是几何推理入门中的一个难点.本文以一道几何题为例,和七年级同学谈谈添加辅助线解几何题的方法和技巧. 例如图1,已知:AB∥CD,用多种方法求∠B+∠P+∠D的度数. 方法一过点P作PE∥AB(如图2).则PE∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠B+∠1=180(两直线平行,同旁内角互补),∠2+∠D=180(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360(等式的性质). 即∠B+∠BPD+∠D=360. 方法二过点P作PE∥AB(如图3).则PE∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). … 相似文献
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一、填空题1.如图1,若a∥b,∠1=72°,则∠2=.图1图22.如图2,若AB∥CD,∠ABE=110°,∠DCE=35°,则∠BEC=.3.如图3,∠1+∠2+∠3+∠4=.图3图44.如图4,A,O,B在同一直线上,∠AOC=12∠BOC+30°,OE平分∠BOC,则∠BOE=.5.如图5,直线AB,CD交于点O,OE是∠AOD的平分线,∠AOC=50°,则∠DOE的度数是.图5图6186.已知等腰三角形的两边长分别为6cm,3cm,则该等腰三角形的周长是cm.7.如图6,△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD⊥BC,AE为∠BAC的平分线.则∠DAE的度数是.8.已知,如图7,把一张长方形纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD… 相似文献
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8.在圆Г上取四个不同的点A、B、C、D,使∠BCD不为直角.证明: (a)AB、AC的垂直平分线分别与直线AD交于点W和V,且直线CV和BW交于一点T; (b)线段AD、BT和CT中某一条线段的长度是另两条线段长度之和. 证明:(a)记AB、AC的垂直平分线分别为b、 相似文献
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线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,得到的图形我们称之为8字形(如下图所示).显见,8字形有如下性质:∠A+∠D=∠C+∠B.(同学们可以自己证明) 相似文献
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在几何中,基本图形是较复杂图形的基础,抓住一些基本图形的特性,许多几何问题常可迎刃而解,现举一例说明.如图1,线段AB、CD相交于点P,则∠A+∠D=∠B+∠C.这是一个很有用的基本图形,由于这两个三角形有一个角是对顶角,因此我们常称它为对顶三角形.其性质(图1中∠A+∠D=∠B+∠C)很容易得到.应用这一基本图形及其性质可以巧解许多问题.一、寻找基本图形解题例1如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解:显然∠A+∠B=∠2+∠3,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠1+∠3,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.二、构… 相似文献
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张晓枫 《学生之友(初中版)(金视野)》2008,(3)
学习数学,特别是解题时,对习题进行变式,举一反三,常常收到事半功倍的效果.下面给同学们介绍一下数学习题的几种简单变式:一、把题中的部分题设与结论交换位置例:已知:如图1,AB∥CD,请说明∠BED=∠B+∠D成立的理由.解:过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF,所以∠BEF=∠B,∠FED=∠D,所以∠BEF+∠FED=∠B+∠D,即∠BED=∠B+∠D.本题也可以延长BE交CD于点G,再根据平行线的性质及三角形的性质,也可以证出.变式一已知:如图1,∠BED=∠B+∠D,请说明AB∥CD成立的理由.本题是将例题中的题设与结论交换位置,解法如下.过点E作EF∥AB,所以∠BEF=∠B,因为∠BED=∠B+∠D,所以∠BEF+∠FED=∠B+∠D,所以 相似文献
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<正>一、试题呈现设P是△ABC内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP,证明:MK=ML[1].(第51届IMO)证明:如下图,设AC>BC,由切割线定理知SC2= 相似文献
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题目在△ABC中,∠ACB=90°,以B为圆心、BC为半径作圆,点D在边AC上,直线DE切⊙B于点E,过点C垂直于AB的直线与BE交于点F,AF与DE交于点G,作AH//BG与DE交于点H.证明:GE=GH.(2010,中国西部数学奥林匹克)证明如图1,设⊙B的半径为R,AB与DE交于点I. 相似文献
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王翠玉 《华夏少年(简快作文 )》2011,(1)
题目:过M(0,3)作直线l与圆x2+y2=16交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
分析一:作图,本题中需要求的是AAOB的面积,三角形的面积公式中常用的有两个:一个是S=1/2│AB│·│ON│=│NB│·│OM,一个是S=1/2│OA│·│OB│·sin∠AOB.
其中IABI是过定点的直线与已知圆的相交弦长,IONI是弦AB的弦心距,通常的求法为利用RtAAON(或Rt 0 BON)或点0到直线AB 的距离,OA,OB为圆的半径,GAOB是弦AB所对的圆心角,以上分析可以看出无论采用哪个公式来表示三角形的面积都离不开直线AB. 相似文献