四面体中线定理

三角形中线定理是熟知的： 如图１,△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,记中线ＡＭ为ｍａ,则有： 定理１　　４ｍ２ａ＝２（ｂ２＋ｃ２）－ａ２① 又设Ｎ是ＢＣ的一个三等分点（如图１）,则有： 推论 １　　９ＡＮ２＝６ｂ２＋３ｃ２－２ａ２② 证明 如图１,延长ＡＭ至Ａ０１６     

初二(下)几何试题

一、填空（每小题３分，共３９分） １．等腰梯形的周长为３０ｃｍ，腰长为７ｃｍ，则中位线长＝＿ｃｍ。 ２．如图（１），ｌ１／／ｌ２／／ｌ３，ＡＤ＝２ｃｍ，ＢＥ＝３ｃｍ，＝，则ＣＦ＝ ３．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是＿。 ４．若 ３ｘ－ ４ｙ＝０，则 ｙ： ｘ＝，（ｘ—ｙ）：（ ｙ＋ ｘ）＝。 ５．已知ａ：ｂ：ｃ＝３：４：５，ａ＋ｂ－ｃ＝４，则ａ＝＿，４ａ＋２ｂ－３ｃ＝＿。 ６．若两个相似多边形的面积之比为４：２５，则它们周长之比为＿。 ７．如图（２），ＡＢＣ…     

制作简易展翅板

我们云南丽江处边疆高原地区,动植物资源相当丰富,为了提高教育教学质量,我校开展了大量的生物课外活动,采集了很多昆虫,需要及时展翅、凉干,制成标本,但我们很难买到标准的展翅板,在这种情况下,我们自己制作了简易的展翅板。ａ．材料。塑料泡沫板,米尺,单面刀片。ｂ．制作方法。找一块长不限,宽约１５ｃｍ的塑料泡沫板,在宽７～８ｃｍ的地方,用单面刀片划出一条宽１ｃｍ、深１ｃｍ的凹槽,然后把槽两边及底部修平即可。如图１所示。图１　昆虫展翅板ｃ．用同样的方法可以制作出各种不同的昆虫展翅板。用以上方法制作展翅板,…     

关于三个几何不等式

关于三个几何不等式江西省永修县第一中学宋庆§１Ｇｕｂａ不等式的推广１９６９年，Ｓ．Ｇ．Ｇｕｂａ建立了如下不等式（［１］中述而未证）：若ａ、ｂ、ｃ、ｓ分别为三角形的三边长及半周长，则ａ－ｂｓ－ｂ＋ｂ－ｃｓ－ｃ＋ｃ－ａｓ－ａ≤０．①推广之，笔者得到定理１...     

液体内部压强演示器

１　实验材料５号胶塞１个、１２号铁丝２８ｃｍ２根、易拉罐２个、三通管２个、木板２．５ｃｍ×２ｃｍ×１．５ｃｍ２块、８０１胶、橡皮膜２块、１ｍ长的粗、细玻璃管、粗细胶管、木板５０ｃｍ×３０ｃｍ、硬塑管长１．５ｃｍ（直径与细胶管同）。２　制作方法２．１　制探头ａ．把易拉罐距底部２ｃｍ处剪断,在底的正中打孔,并将塑料管涂胶后固定在孔中,在罐的上口蒙上橡皮膜并扎紧。见图１－ａ。ｂ．将胶塞横切三段,用刀削成凹槽做２个滑轮。图１　探头ｃ．把易拉罐顶剪成２．８ｃｍ×１ｃｍ长条形,做成图１－ｂ的形状,带孔的一侧…     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

伽利略的理想实验演示仪的新设计

笔者设计了“伽利略的理想实验”演示教具,对教具的使用材料作了一些改进。１　材料ａ．购买铝合金平底低边凹槽３ｍ,分割成８０ｃｍ、１００ｃｍ、１２０ｃｍ的长度各一条。ｂ．９ｃｍ长小边角铝１条。ｃ．３０ｃｍ×１５ｃｍ木底座１块。ｄ．直径约３．５ｃｍ的小铁球１个。２　制作　　ａ．三条铝槽的第一斜面的角度、高度相同,三条铝槽的顶端平均固定在９ｃｍ的角铝上。ｂ．三条铝槽的另一斜面的倾角都不相同,具体的尺寸如图１。ｃ．把３条铝槽固定在木底座上面。制好后的演示仪如图２。新设计的演示仪具有以下优点：①材料容易选购…     

立体磁力线演示器的制作

１　制作材料透明有机玻璃、甘油、环氧体铁粉、蹄形磁铁。２　制作方法ａ．取一蹄形磁铁,先量取其正侧面尺寸及长度后,分别放宽１．５～２ｃｍ,按此尺寸将有机玻璃板锯成长方形的４块,把它们用有机玻璃粘合剂,粘合成中空的长方体盒形状（图１－ａ）。ｂ．按中空长方体盒上下口（内口）尺寸,锯下此盒的底和盖,先将底面一块缩进盒内３ｍｍ粘牢,再用２ｍｍ宽的有机玻璃条加固底面四周,以增加强度和防止甘油渗漏。ｃ．将作盖的一块有机玻璃片的两个对边各画上一条中心线,再将蹄形磁铁的两脚的宽面也分别各画一条中心线,并以磁铁两脚…     

物质导电性试验器

１　制作材料长１８ｃｍ、宽３ｃｍ的五层胶合板一块,用过的音乐贺卡一张,透明塑料胶带一小卷,废旧五号干电池两节,带皮细导线６ｃｍ．２　制作和使用ａ．将贺卡上的集成电路板连同发光二极管、扬声器一起拆下（不可把互相联结的导线扯开）,剪断电路板上用以接通电路的弹簧片,使两个极片断开。ｂ．用塑料胶带将发光二极管、扬声器、电路板以及连接它们的导线固定在五层胶合板上（如图１－ａ）。ｃ．小心地把两节废五号电池敲开,取出碳棒（不要去掉铜帽）,备用。ｄ．用小刀在胶合板的下端竖直刻两条平行的凹槽,长度均为２．５ｃｍ,…     

一套美国中学化学教材中的习题(续8)

第十二章化学周期律课文中的问题１．根据图１２－５写出这些元素的电子排布式。ａ．硼ｂ．镁ｃ．钒ｄ．锶２．写出这些元素的电子排布式。ａ．各周期中的稀有气体元素ｂ．第ⅣＡ族,４周期的元素ｃ．第ⅡＡ族,６周期的元素３．解释氟的原子半径为什么比氧和氯的都要小...     

完全对称式中变元的“公平”处理方法

在含有ｎ个变元（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ）的式子中,若将任意两个变元ｘｉ和ｘｊ（ｉ,ｊ＝１,２,…,ｎ,ｉ≠ｊ）交换位置后,所得结果仍与原式相同,就称该式是关于ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ的完全对称式．如ａｂ＋ｃ＋ｂａ＋ｃ＋ｃａ＋ｂ是关于ａ,ｂ,ｃ的完全对称式,而１ａ－ｂ＋１ｂ－ｃ＋１ｃ－ａ不是关于ａ,ｂ,ｃ的完全对称式（只能称为轮换对称式）．若命题中含有完全对称式的结构,处理这种对称关系的一个十分有趣的方法是“公平”地对待各个对称的变元．本文从三个方面举例说明“公平”处理完全对称式中变元的方法,有时会给问…     

例评合理引参解题之功效

高考数学试题中渗透参数思想,是注重考查学生能力的一个标志,这一思想方法不仅在中学数学中经常应用,而且对研究和解决问题具有普遍意义．本文着重探讨一下合理引参处理问题的优越性．１　优化解题过程合理地引入参数,往往可以优化解题过程、减少运算量．例１　设｜ａ｜＜１,｜ｂ｜＜１,｜ｃ｜＜１,求证：ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ１＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＜１．证明　令ｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ１＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,则原不等式等价于｜ｘ｜＜１－１＜ｘ＜１（ｘ＋１）（ｘ－１）＜０．∵　ｘ＋１＝（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）１＋ａ…     

《相似形》自测题

一、填空题（每题４分．共３６分）１．已知线段ａ＝８１ｃｍ．ｂ＝９ｃｍ．那么线段ａ和ｂ的比例中项３．已知两个相似三角形面积比是２５：３６．那么它们的对应边的比是，周长之比是５．已知线段ａ＝８，ｂ＝４。ｃ＝１０，欲使ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例线段、则应取ｄ＝６．如图１，ＣＤ是ＲｔＡＢＣ斜边上的高．则图中最多有对相似三角形．７．如图２．在ＡＢＣ中，ＤＥ／／ＢＣ，ＡＥ＝１．ＥＣ＝２，则．８．把一个三角形变换为与它相似的三角形．如果面积扩大为原来的１０倍，那么边长应扩大为原来的倍．９．相似三角形对应高的比。对应…     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

高中数学联赛模拟试题

一试一、选择题（满分３６分,每小题６分）１．设ａ＝１０１９９８＋１１０１９９９＋１,ｂ＝１０１９９９＋１１０２０００＋１,ｃ＝１０２０００＋１１０２００１＋１,则ａ、ｂ、ｃ的大小关系是（）．Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ｂ＞ｃ＞ａＣ．ａ＞ｃ＞ｂＤ．ｃ＞ｂ＞ａ２．...     

例说配方法在解题中的妙用

配方法是中学数学中一种重要的数学方法,其应用十分广泛．巧用配方法,可使很多数学问题迎刃而解．举例说明如下：１巧用配方求值例１若ａ＋ｘ２＝１９９７,ｂ＋ｘ２＝１９９８,ｃ＋ｘ２＝１９９９,且ａｂｃ＝１２,求ａｂｃ＋ｂａｃ＋ｃａｂ－１ａ－１ｂ－１ｃ的值．...     

大胆猜想探求最佳形式

高级中学课本《代数》下册必修第３２页的习题９是：已知：ａ＞ｂ＞ｃ，求证：＋＋＞０．此题的习惯证法都是证明它的等价形式＋＞．由于ａ＞ｂ＞ｃ，所以ａ－ｃ＞ａ－ｂ＞０，所以＞，而＞０，从而问题得证．如果就题论题，此问题确实得到了比较好的解决．然而，蕴含在此问题中的规律性知识却被丢弃了．分析一下＋＞，ａ－ｂ＞０，ｂ－ｃ＞０，而ａ－ｃ＝ａ－ｂ＋ｂ－ｃ，即两个分母的和，这是巧合吗能否将ａ－ｂ，ｂ－ｃ换成一般正数ｘ，ｙ呢不妨试一试．于是，我们有猜想１若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，则≥显然，≥≥（ｘ＋ｙ２≥ｘｙｘ２＋ｙ…     

教学二次函数要加强对“a、b、c”的讨论

由于二次函数的内容既是重点又是难点,因此,在教学中必须加大力度,尤其要加强ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中ａ、ｂ、ｃ的讨论,以便让学生在数与形的结合上掌握二次函数的性质。　　一、结合图象,讨论ａ、ｂ、ｃ的性质　　１．关于ａ　　（１）ａ≠０。因为ａ＝０时,函数成为一次函数。这一个条件很重要,需要时刻注意。　　（２）ａ除确定图象的开口方向,函数有最大值或最小值外,还确定了函数的单调性,即ａ＞０当ｘ≥－ｂ２ａ时,ｙ随ｘ的增大而增大;当ｘ＜－ｂ２ａ时,ｙ随ｘ的增大而减小。　　ａ＜０时,则得到和以上相反的…     

一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…