算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

算术—几何平均值不等式两种新证法

算术——几何平均值不等式的内容是“若干正数的算术平均值不小于它们的几何平均值”。即 1/n(a_1+…a_2+…+a_n)≥(a_1a_2…a_n)~1/n。     

用均值不等式求函数最值的常见错误分析

在中学代数中,均值不等式指的是算术——几何平均值不等式:若a_i＞0(i=1,2,…,n),则(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n,)~(n/(a_1a_2…a_n,))当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,上式取等号(中学只讲二元、三元均值不等式)。     

均差不等式及其应用

若n个正数为a_i(i=1,…,n),则A_n=1/n sum from i=1 to n(a_i)为其算术平均数,G_n=(multiply from i=1 to n(a_i)~1/n为其几何平均数。它们的关系有著名的平均值不等式:A_n≥G_n,当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。 本文研究的是关于算术平均数与几何平均数之差(即A_n-G_n)的不等式,简称均差不等式,并简单地举例说明它的应用。 先介绍一个引理:     

算术平均值——几何平均值定理的一个新证明

在高中数学第三册中我们已知下面的重要定理: 定理 n个(n是大于1的整数)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即如果a_1,a_2,…,a_n为n个正数,则(a_1+a_2+…+a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n成立. 由于这个定理的重要性,人们对它作出了各种各样不同的证明,这些证明体现了很多巧妙的想法.其中很多种证法都使用了数学归纳法,最常见的是法国著各数学家Cauchy提出的两种数学归纳法证法(即《高     

一个分式和不等式的巧用

我们知道,n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.根据这一性质可得: (a_1+a_1…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n))     

谈谈算术—几何平均值定理在解题中的应用

如果a_1,a_2,…a_n都是正数,那么 其中“=”号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立。 这就是著名的算术—几何平均值定理,这个定理的应用是很广泛的,本文仅从四个方面略论它的一些应用。 一、在求(证)函数极值方面的应用     

一个重要不等式的应用举例

统编教材高中数学第三册“不等式的性质和证明”一章中提到:“n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”,即“若a_1,a_2,a_3…a_n表示n个(n是大于1的整数)正实数,则仅当a_1=a_2=a_3=…=a_n时,等号才能适用。”这一重要不等式,在证明有关不等式时,经常直接引用,今举例说明。     

剖析利用“均值定理”求极(最)值的几类错误

我们知道:如果a_i∈R~+ i=1,2,…,n,则((a_1+a_2+…a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)当且仅当a_1=a_2=a_3…=a_n时取“=”号),被称为“均值定理”。许多极(最)值问题,利用这个平均值不等式常常很简洁地得到解决,本文通过数例。对利用其求极(最)值时常见错误进行剖析。     

对一道竞赛题的联想

89年全国高中数学联赛有一试题:“已知a_1,a_2,…,a_n是n个正数,满足a_1·a_2·…·a_n=1,求证(2 a_1)(2 a_2)…(2 a_n)≥3~n。”此题的证明是将每个2拆成1 1,然后运用三个正数的算术平均数不小于几何平均数。这里我们对此题型的特点加以分析,并联想与此形式有关的知识,另辟一条新路。     

费——哈不等式的空间推广

人们对著名的费—哈不等式进行了广泛的探讨,得到了许多推广和加强形式。本文欲将这一不等式移植到空间的四面体中。 引理1.设a_i>0(1G 1/2n Q>G 1/2nsum from i=1 to n (a_i~(1/2)-a_(i-1)~(1/2))~2当且仅当a_1a_n=a_ia_i-1(1相似文献   

等比恒等式与等差恒等式

两恒等式a_n=a_1·(a_2/a_1)……(a_n/a_(n-1))及a_n=a_1+(a_2-a_1)+…+(a_n-a_(n-1))分别被称之为等比恒等式与等差恒等式。在处理很多数列问题时,若能恰到好处地利用这两个恒等式,则会给求解带来很多方便,下面略举几例。 例1 (2002年浙江等21省市高考题)设数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n~2-na_n+1,n∈N~+。 (1)当a_1=2时,求a_2、a_3、a_4,并由此猜想出a_n的一个通项公式。 (2)当a_1≥3时,证明对所有的n≥1有: (i)a_n≥n+2; (ii)1/(1+a_1)+1/(1+a_2)+…+1/(1+a_n)≥1/2。 简解:(1)略。 (2)(i)用数学归纳法:①当n=1,a_1≥3=1+2结论成立。     

三角最值定理及其应用

[定理1] 设a_1,a_2,…,a_n∈(0,π),a_1+a_2+…+a_n=φ_0(定值),则sina_1+sina_2+…+sina_n≤nsinφ_0/n.当且仅当a-1=a_2…=a_2=φ_0/n时取“=”号(n≥2). 证:(1) 当n=2时,sina_1+sina_2=2sin(a_1+a_2)/2cos(a_1-a_2)/2.     

关于较宽一类数列的通项公式

数列的通项公式揭示了这个数列的内在规律。中学教材中,对等差数列、等比数列作了重点介绍,本文想在此基础上作一些推广。首先我们定义:multiply from i=k to n f(i)=1(k>n) 定理一:在数列{a_n}中已知a_1且满足 a_n=f(n)a_(n-1)+g(n) (n=2,3,4…)则a_n=a multiply from i=2 to n f(i)+sum from i=2 to n[g(i) multiply from i=i to n-1 f(i+1)] 证明:1°n=2,右边=f(2)a_1+g(2)=a_2 2°假定当n=k时命题成立即     

应用柯西不等式的几个推广

<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k²·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k²≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)²。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n²,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。     

“大衍求一术”探秘

<正> 一 德国数学家高斯(K·F·Gauss,1777—1855)在1801年出版了《算术探究》一书,内载他对一次同余式理论的研究成果。其中有一条重要定理:设a_1, a_2…,a_n两两互素, M=a_1a_2a_3…a_n=a_1m_1=a_2m_2…=a_nm_n则满足同余式组 x≡b_1(moda_1)≡b_2(moda_2)≡…≡b_n(mcda_n)的正整数解是x≡∑b_ju_jm_j(modM)。(1)其中u_j是满足同余式u_jm_j≡1 (moda_j)的正整数解,i=1,2…,n。 (定理的证明可参看一般的初等数论) 当时欧洲数学家对中国古代数学毫不了解。直到十九世纪七十年代,欧洲数学家才发现     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

算术—几何平均不等式的一个证明

设n是大于1的自然数,a>0。易知a(?)1时,a-1与n-(1+a+…+a~(n-1))总是异号。所以, (a-1)[n-(1+a+…+a~(n-1))]≤0。即(a-1)(n-(1-a~n)/(1-a))≤0。整理,有a(n-a~(n-1))≤n-1。①显然,①式等号成立的充分必要是a=1。如果a_1,a_2,…,a_n是n个正数,在①中令a=(a_1/((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(1/(n-1)),则有a_1~(1/(n-1))·(a_2+…+a_n)/(n-1)≤≤((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(n~(n-1)),即((a_1+a_2+…+a_n)/n)~n≥≥a_1((a_1+a_2+…+a_n)/(n-1))~(n-1)。②再在①中令a=(a_2/(a_2+…+a_n)/(n-))~(1/(n-2)),重复上述步骤,并结合②,有     

平均值不等式的证法分析——数学兴趣小组活动材料之一

在现行高中课本第二册的教学参考书中,介绍了平均值不等式的下列比较一般的形式: 平均值不等式:设a_1,a_2,…,a_n皆为非负实数,则其算术平均数A,必不小于其几何平均数G_n,即     

一次不定方程的换元解法

一次不定方程的一般形式是 a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=c, (1)其中a_1,a_2,…,a_n,c是给定的整数,且a_1a_2…a_n≠0(n≥2). 定理1 不定力程(1)有整数解的充分必要条件是 (a_1,a_2,…,a_n)|c, (2)应用定理1.立即可得