有界数列必有单调的收敛子列

本文把体现实数的连续性的定理“有界数列必有收敛数列”加强为“有界数列必有单调的收敛子数列”。     

“单调有界函数必有极限”吗?

由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”的结论,因为数列的极限过程是确定的,而函数的极限过程则是多种多样的。     

单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明

单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论，而柯西收敛准则则以另一种形式表达了这一结论。本就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。     

递归数列极限的一种求法

用迭代稳定域、矩阵的范数讨论递归数列的极限问题,得到一种避免用“单调有界数列必有极限”来证明(求)极限存在的方法。     

关于囿变数列及其特征的若干注记

囿变数列又称为有界变差数列,在函数论中有广泛的应用.本文主要对囿变数列的特征作一些探讨,我们发现:它与单调数列关系密切,而且与有界变差函数十分类似,并得出如下关系:有界数列类(∪)收敛数列类(∪)囿变数列(∪)单调有界数列.     

实数集连续性定理的证明

直接证明单调有界数列必收敛定理与其它实数连续性定理的等价性。     

一类迭代数列敛散性判别的新准则

判别数列收敛性的方法有多种,但对迭代数列一般采用定义或单调有界数列必有极限的定理来判别.用定义法判别是学生最感困难的,用定理证明时,单调性和有界性的证明也并不容易.本文介绍一种判别迭代数列收敛性的方法,在判别收敛性的同时还可得到其收敛值.     

用聚点来描述的数列的敛散性

通过对数列的聚点的讨论,给出并证明了一个判别数列敛散性的结论,然后应用结论证明数列收敛的单调有界定理与柯西收敛准则.     

关于Cauchy收敛原理的几何解释在教学中的应用

微积分(数学分析)的教学中有很多经典的理论,例如实数的完备性的六大定理.其中,确界存在定理、单调有界必有极限、区间套定理、聚点存在定理的几何意义非常明显,教师在教学中配合几何解释可以加深学生的印象.比较有难度的是Cauchy收敛原理,它是六大定理中唯一一个充分必要的结论.与收敛的定义相比,Cauchy收敛准则不需要知道收敛到什么,而是仅从数列本身的性质来判定该数列是否收敛,应该说含金量最高,特别是在研究函数项级数的一致收敛性的问题上具有不可替代的作用.它对后续课程,例如复变函数、泛函分析等也都意义重大.但是由于Cauchy收敛准则的通常证明几何意义不明显(见证明1),所以不太适合几何解释,在教学中不太有利于想象,教学效果也就一直不太理想,无法给学生留下深刻印象.通过多年的教学总结,我们对这个定理的几何意义的解释是,收敛的数列一定有界,有界不见得收敛.但是,有界的数列如果不收敛,一定不止一个聚点,换句话说,一定存在两个不同的聚点.但柯西收敛原理是充分必要条件,所以,有两个不同的聚点的肯定不是柯西列.本文恰恰是根据这个思路,给出了几何解释法证明数列的柯西收敛原理的思路.这种方法比较直观,容...     

数列上下极限的研究

上下极限概念是极限概念的延伸,它们在正项级数收敛性判别、求极限、证收敛等方面有着重要的作用.本文将给出有界数列与上下极限关系的一种新证法,并且更深层次的研究了上极限与数列极限收敛之间的关系.     

收敛函数性态的集合表示

本文以集合的观念介绍了数列的收敛和有界之间的关系.函数在某一点存在极限.连续和可导的关系,以及函数在闭区间的有界,连续,一致连续,可导和可积之间的关系.     

数列的子列及其分类

本对数列的子数列进行分类,给出了余子列等概念,讨论数列收敛与其子列收敛的关系。     

数列极限的几种求法

数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,定积分、二重积分、三重积分、线面积分的定义都是用数列极限定义的。数列极限的求法主要有:定义法、初等变形法、归结原则、夹逼准则、单调有界法、利用两个重要极限计算、施笃兹公式法、泰勒展开式法、定积分定义法、利用微分或积分中值定理计算、级数收敛的必要条件和求级数和函数法。     

压缩映射原理在求数列极限中的应用

压缩映射原理给出了求不动点的迭代法（或逐次逼近法）．在求数列的极限时,由压缩映射得到的数列必收敛于一个不动点．本文利用压缩映射原理得到了有关数列极限的几个结论,并将此结论应用于高等数学中求数列的极限问题中．     

数列的子列及其分类

本文对数列的子数列进行分类,给出了余子列等概念,讨论数列收敛与其子列收敛的关系。     

单调有界数列界的确定方法

在数学分析中 ,利用单调有界收敛原理证明数列收敛是一个难点 ,尤其是界的确定。本文主要介绍单调有界数列界的确定方法     

单调有界数列界的确定方法

在数学分析中，利用单调有界收敛原理证明数列收敛是一个难点，尤其是界的确定。本文主要介绍单调有界数列界的确定方法。     

一类单调数列极限的求法

应用单调有界原理求数列的极限,有时会遇到既可能单调增加也可能单调减少的数列,增减性不容易确定,这里介绍了一种不用确定增减性,只需证明数列的单调性及有界性,应用单调有界原理求极限的方法.并举例说明两种类型数列极限的求法.     

关于Fibonacci数列的一点注记

推广Fibonacci数列为广义Fibonacci数列，研究了这种广义的Fibonacci数列前后项比值的收敛特征．并在行文中展示了一类差分问题通式的特征值求法。     

无穷积分的比值判别法及其推论

借助数列的单调有界定理 ,利用正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界 ,将正项级数的D’Alembert判别法推广到无穷积分