形如a±b c~(1/2)(a>0,c>0)的变形

我们知道:(2~(1/2)±3~(1/2))~2=5±2 6~(1/2),反过来,5±2 6~(1/2)=(2~(1/2)±3~(1/2))~2,这说明5±2 6~(1/2)可以写成一个完全平方式,那么是否所有形如a±b c~(1/2)(a>0,c>0)的式子都可以写成完全平方式呢? 定理:形若a±b c~(1/2)(a>0,c>0),令△=a~2-b~2c,a±b c~(1/2)(a>0,c>0)=     

“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法

本文用分析法确定线段内(外)分点的位置,给出平面几何中形如“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法,此法不但思路单纯、证法简便、易于掌握,而且突破了具有普遍意义的证明这种命题需要添置怎样的辅助线的难点.事实上,欲证线段a·b=c·d±e·f,若能在线段a(或b)上,确定一内外分点x_1、x_2,设分点到线段a(或b)的两个端点的距离分别为x、y,即令a=x±y,则欲证原命题只须证(x±y)·b=c·d±e·f,须证x·b±y·b=c·d±e·f,须证     

不等式1／a＋1／b＋1／c≥9的妙用

这是一道常见的题目:已知a、b、c∈R~ ,且a b c=1,求证:1/a 1/b 1/b≥9(*).灵活利用不等式(*)及其证法,我们可以巧妙地解答与之相关的数学命题.证明1:因为a、b、c∈R~ ,a b c=1.所以1/a 1/b 1/c=(a b c)/a (a b c)/b (a b c)/c=3 (b/a a/b)     

型如a/b±c/d=N的一种几何证法

关于a/b±c/d=N(a、b、c、d表示线段,N是常数)类型的几何命题,在现行教材中占有一定的份量。而教材并没有专门的章节对其证法进行阐述,致使学生对此类问题感到束手无策。其实,我们可将a/b±c/d=N类型的几何题转化为常见的诸如a′/b=c′/d一类的几何命题,然后用相似形等知识即可达到欲证的目的。为节省篇幅,本文仅给出命题的分析。例1 过(?)ABCD的顶点D作一直线,与边BC相交于M点,与边AB的延长线相交于N点,求证 BC/BM-AB/BN=1(图1)。课本p.233.14题) 分析:即证BC/BM=1 AB/BN=(BN AB)/BN=AN/BN 因BC=AD,所以只须证AD/BM=AN/BN这是显然     

数学竞赛中多层根号根式的化简

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …     

学习向量八注意

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.     

不等式的两条特殊性质及其应用

不等式的常见性质有三条.性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.即,若a>b,则a±c>b±c.性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即,若a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c-b/c).性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即,     

不等式|a±b|≤|a|+|b|的补充和应用

六年制重点中学高中《代数》第二册中,我们已经接触了重要的不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)。但是,课本中没有指出不等式取等号的条件,因此学生往往忽视了这个问题的作用。本文把上述不等式作一些补充,并举数例说明其用途。定理1 不等式|a+b|≤|a|+|b|当且     

(a·b)c=a(b·c)成立的充要条件

<正>我们知道,在向量数量积的运算中,不考虑(a·b)·c,这是因为数量积运算符号"·"只适用于两个向量之间,而不适用于数与向量之间,a·b是一个数,故(a·b)·c没有意义.但(a·b)c与a(b·c)都有意义,通常情况下,(a·b)c≠a(b·c),那么(a·b)c=a(b·c)在什么情况下成立呢?成立的充要条件又是什么呢?经探究,得知     

巧算小数的乘减混合运算

问题:计算1990×198.9-1989×198.8=?这是一道小数乘减混合运算的巧算题。解题的关键是熟悉积不变规律和乘法分配律与有关性质,先把两个积改写成具有一个相同因数的式子。规律:如果一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同倍数,那么它们的积不变。即:a×b=c,那么,(a×n)×(b÷n)=c或(a÷n)×(b×n)=c定律:(a+b)×c=a×c+b×c或c×(a+b)=c×a+c×b性质:①(a-b)×c=a×c-b×c②a-(b-c)=a-b+c解题方法:先应用积不变规律把两个积改写成具有一个相同因数或应用字母代换数改写成字母算式。再应用乘法分配律或性质简化计算。解题:方法一:原式=(1990…     

高考对平面向量的考查要点

一、考查平面向量的基本概念和运算律例1设a、b、c是任意的非零平面向量,且互不共线,给出下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②｜a｜-｜b｜<｜a-b｜;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9｜a｜2-4｜b｜2.其中真命题有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析①∵a、b、c互不共线,∴(a·b)c与(c·a)b分别与c、b共线,而c与b不共线,∴(a·b)c≠(c·a)b,故(a·b)c-(c·a)b=0不成立.②∵a、b、c互不共线,∴a、b、a-b可以构成三角形,∴｜a｜-｜b｜<｜a-b｜.③∵犤(b·c)a-(c·a)b犦·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,…     

从(a+b)~n展开式中有多少项说起

我们由二项式定理(a+b)n=C0nan+c1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn,可以知道(a+b)n展开式中有n+1项.那么,(a+b+c)n展开式中有多少个不同的项呢? 先从简单的情况入手,记(a+b+c)n的展开式的项数为un.显然,n=1时,u1=3=(2·3)/2;n=2时,u2=6=(3·4)/2;     

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…     

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)给出的信息

命题1设。、b、c都为非零数,则1 11几一十一=二,下飞一宁-DC“十U十C互为相反数,不妨设a二一方,则l︷少 十l护 +1一尸 一 一一l尸 +l+11a百+b3 1一少·︸3一一,分 r丫的充要条件是a、b、。中至少有两个互为相反数. 证三‘’充分性显然,卞亩证必要性,,若口3十十乃落二j)几于下奋’ 1=云丁, 1一万,1,1,1._—宁一犷~甲一=口口C.浮.a+b+c皓十去、劲“二(一价朵于是,所证等式成立.更一般有: 1一a+b+e1一c 十]一b由题设知“,乙,。子。,得 (a+b.+e)(bc+ac+ab)=abc,去括号整理得a Zb+ab’+aZe+acZ+bZc+beZ+Zabe=0,因式分解得 (a+b)(b+e)(e+a)=0…     

a、b、c的符号与抛物线

我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线,它的顶点坐标是(-2ba,4ac-b24a),对称轴是平行于y轴的直线x=-2ba·而a、b、c的符号与抛物线在坐标系中的位置关系有以下三条规律:1·a的符号与抛物线开口方向的关系:(1)a>0抛物线开口向上;(2)a<0抛物线开口向下·2·a、b的符号与抛物线的对称轴的位置的关系:(1)ab>0对称轴位于原点左侧;(2)ab<0对称轴位于原点右侧;(3)b=0对称轴是y轴(直线x=0)·3·c的符号与抛物线和y轴交点的位置的关系:(1)c>0抛物线和y轴的正半轴相交;(2)c<0抛物线和y轴的负半轴相交;(3)c=0抛物线和y轴的交点就是顶点·…     

线段a+b=c的证明

在初中平面几何中经常遇到证明线段“a+b=c”的问题.对于这一类问题一般有两种思考方法:(1)加长法.将线段 a(或 b)延长,使延长的线段等于 b(或 a),再设法证明延长后的整体线段等于 c;(2)截短法.在线段 c 上截取一段等于 a,再设法证明剩余的     

题设条件a b c=p的隐含关系及应用

命题若a,b,c,p∈R,a b c=p,则存在k∈R,使b=-(k 1)a,c=ka p。而且也存在k’∈ R,使c=-(k’ 1)a,b=k’a p。证明由a b c=p得a b (c-p)=0,以a、b、(c-p)为二次项、一次项的系数和常数项,作一元二次方程 ax~2 bx (c-p)=0(假定a≠0),显然方程有根为1,(因为a b (c-p)=0),若另一根为k,(k∈R)由根与系数的关系得-b/a=k 1,即 b=-(k 1)a,(c-p)/a=1·k,得c=ka p。再作二次方程ax~2 cx (b-p)=0,其一根为1 ,若另一根为k’,则有     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

怎样解形如ax±b±c=d的方程

解方程或求未知数X,在小学数学中占有一定比例。其中形如ax±b±c＝d的方程,对没有接触过正负数的小学生来说,除了某些特殊情况外,一般无法解出。F面就这类方程的解法作一探讨。这样的方程一般可从整体着手,运用加减关系先求axtb,再求ax,然后根据乘除法关系求出五。即由axtbtc二d,得出axtb＝d干c。这里会出现一个问题：当原方程中C前为加号时,如果d＜C,那么d－C将超出小学数学的范围,给学生解题带来困难。怎么办呢？可采用以下两种方法;一是运用交换律;二是根据情况,用关系式a－b＋c＝a－（b－c）或a＋b－c＝a－c＋h二a－（…     

例谈用│a│~2·│b│~2≥(a·b)~2求多元函数最值

本刊文[1]用了10种方法,通过15个例题说明了多元函数最值的求法.受此启发,本文将用向量中的重要不等式a2·b2≥(a·b)2来解决部分多元函数最值问题,权作对文[1]的补充.我们把a和b都看成n维向量(n≥2),它们的坐标表示分别是a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),定义向量a和b的数量积a·b=a1b1+a2b2+…+anbn,则a=a12+a22+…+an2,b=b12+b22+…+bn2,由柯西不等式:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,推得a2·b2≥(a·b)2.下面举例说明其应用.例1已知3a2+2b2=5,试求y=2a2+1·b2+2的最大值.解由题意,将已知条件等价变形为32(2a2…