一道高考函数题的解法及其推广

2013年高考重庆卷文科数字第9题如下：已知函数f（x）=ax3＋bsinx＋4（a,b∈R）,f（lg（log210））=5,则f[lg（lg2）]=（）A.-5 B.-1 C.3 D.4解因为lg[log210]＋lg（lg2）=lg（log210×lg2）=lg1=0,且f（x）＋f（-x）=8,     

“分式方程”典例赏析

例1已知实数x满足x2 1x2 x 1x=0,试求x 1x的值.解析:可将x 1x看作一个整体,设它为y,得y=1或-2,当x 1x=1时方程无解,则x 1x只能等于-2.此题由解分式方程演变而来,暗设陷阱,解题时,若忽视“x是实数”这个条件,将求得的值不加以检验直接写出,则前功尽弃.例2若关于x的分式方程x-1x-2-x-2x 1=2x ax2-x-2有唯一的实根,则()(A)a可为任何实数.(B)a=-7或a=-1.(C)a≠-7且a≠-1.(D)a≠-7或a≠-1.解:将分式方程化为整式方程可得x=a 52,由原方程中x≠-1,且x≠2,得a 5≠-2且a 5≠4,即a≠-7且a≠-1,故选择(C).例3当k为何值时,关于x的分式方程xx 1=4x kx2 …     

取值范围题错解剖析

一、忽略区间端点致误例1已知关于x的不等式ax-5x2-a<0的解集为M,若3∈M且5M,求实数a的取值范围.错解由3∈M且5M得3a-59-a<0,且5a-525-a≥0.这等价于不等式组(a-53)(a-9)>0,(a-1)(a-25)≤0且a≠25 解得a∈犤1,53)∪(9,25).剖析因为当a=25时,x=5恰好不是25x-5x2-25<0的解,即5M,此时却仍有3∈M.所以要找回a=25这个特殊的区间端点值,故a∈犤1,53)∪(9,25犦为所求.二、忽略观察图象致误例2已知logax+3logxa-logxy=3,设x=at(a>1),试用a、t表示y,并求a=16时y的取值范围.错解∵x>0且x≠1,由x=at(a>1)得t=logax(t∈R且t≠0).由换底公式得logax…     

含字母系数的一元一次方程的解法

含字母系数的一元一次方程的解法和数字系数的一元一次方程的解法完全相同,即通过去分母、去括号、移项、合并同类项,将其化成ax=b的形式.当(1)a≠0时,方程有惟一解:x=b/a;(2)a=0,6=0时,原方程成为0·x=0,方程有无穷多个解;(3)a=0,b≠0时,原方程成为0·x=6≠0,方程无解.     

对称换元法求分式值

当题目中的未知数x、y具有对称关系时(即当x、y互换位置时,原式保持不变),如果令x y=a,xy=b,用换元法进行解答,就可以使解题过程更简单.下面通过几道例题,帮助同学们掌握这种解题技巧在分式求值中的妙用.例1若x-1x=1,则x3-1x3的值为().A.3B.4C.5D.6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1,所以x3-1x3=x3-y3=(x-y)3 3xy(x-y)=13 3×1×1=4.故选B.例2若x2-5x 1=0,则x3 1x3=.解:由x2-5x 1=0,可知x≠0,故等式两边同除以x,得x 1x=5.设1x=y,则x y=5,xy=1,所以x3 1x3=x3 y3=(x y)3-3xy(x y)=53-3×1×5=110.例3已知ax a-x=2,那么a2x a-2x的值是().A.4B.3C.2D.6…     

取对数的妙用

在“国王下象棋”的数学趣味题中,计算高次方幂264的方法是设x=264,通过取对数有lgx=64lg2,再利用对数计算.可见,取对数可使计算方便.那么,取对数到底在哪些方面能给运算带来什么好处,什么时候可以取对数呢?下面举例说明.一、估算例1某同学做了10道选择题,每道题四个选项中有且只有一项正确,他每道题都随意地从中选了一个答案,记该同学至少答对9道题的概率为p,则下列数据中与p最接近的是()(A)3×10-4(B)3×10-5(C)3×10-6(D)3×10-7解由题意,p=C190419431 C11004110.设x=410,取对数有lgx=10lg4=20lg2≈20×0.301≈6,则x≈106,故p≈3×10-…     

指数换底公式及简单应用

<正>在学习指数函数、对数函数的有关概念与性质时,指数对称恒等式a^(log_aN)=N、对数换底公式logaN=log_bN/log_ba是我们熟悉的知识.事实上,指数也有换底公式.指数换底公式a(log_aN)=N、对数换底公式logaN=log_bN/log_ba是我们熟悉的知识.事实上,指数也有换底公式.指数换底公式aⁿ=bn=b^(nlog_ba)(a>0,a≠1,b>0,b≠1,n∈R).证明令a=b(nlog_ba)(a>0,a≠1,b>0,b≠1,n∈R).证明令a=b^t,则t=log_ba,at,则t=log_ba,aⁿ=(bn=(b^t)t)ⁿ=b(nlog_ba).推论an=b(nlog_ba).推论a^(log_cb)=b(log_ca)(a>0,a≠1,b>     

中考题中不可忽视的五个条件

一、a0=1中,a≠0例1 当m=_______时,y=(m 3)x~(2m 1) 4x-5(x≠0)是一次函数. 错解:(1)当2m 1=1时,函数为一次函数,解得m=0.     

分式常见错误分类剖析

同学们在学习分式时常常出现这样或那样的错误,现分类剖析如下.一、违背运算顺序致错.例1.计算1-3a2b÷32ba·32ab错解:原式=1-3a2b=2b2-b3a剖析:错解违背了运算顺序,因乘除是同级运算,应从左向右依次运算.正解:原式=1-3a2b·23ba·23ab=1-32ab=3a-2b3a.二、轻易约分致错例2.当x取何值时,分式x2 3x 2x2-x-2有意义错解:∵x2 3x 2x2-x-2=(x 1)(x 2)(x 1)(x-2)=x 2x-2∴当x-2≠0,即x≠2时原分式有意义剖析:在解答分式有无意义的问题时,不能轻易约分,因为把分子和分母的公因式约去,导致分母的取值范围扩大而发生错误.胡怀志正解:由分母x2-x-2≠0…     

不可忽视的五个条件

1a0=1中a≠0 例1 当m=_时,函数y=(m 3)x2m 1 4x-5(x≠0)是一个一次函数。 错解①当2m 1=1时,函数为一次函数, 解得:m=0。 ②当m 3=0时,函数为一次函数,解得m=-3, 所以m=0或-3。 分析因为x≠0,所以当2m 1=0,即m=-1/2时函数也是一次函数,故m的值应为0或-3或-1/2,错解中忽视了x0=1(x≠0)这个隐     

一元一次字母方程(初一)

解一元一次方程,最后要化成ax=b的形式,它的解有三种不同的情况:1.当a≠0时,方程有唯一解:x=a/b.2.当a=0时,有两种不同的情况:(1)若b=0,则方程有无数解,任何实数都是它的解.(2)若b≠0,则方程无解.为什么要对字母a进行讨论,而不是b?因为要求x就必须在等式两边同时除以a.根据等     

一个容易被混淆的问题

笔者最近从几本不同的复习参考书中都看到一道题目 ,此题及解答如下 :问题　已知关于 x的方程 :log2 (x 3)- log4x2 =a的解在区间 (3,4)内 ,求实数 a的取值范围 .解　原方程可化为log2 (x 3) - log2 x=a,因此原方程等价于x 3>0 ,x≠ 0 ,x 3=2 ax x>- 3,x≠ 0 ,(2 a- 1) x=     

对数的一个性质及其运用

对数里有下面这祥一个性质: “若对数式log_ab=c恒成立,一般地有log_(a~n)~(b~n)=c,这里的n∈R,且n≠0”。 [证明] log_ab=c(?)b=a~c■b~n=(a~n)~c 在n≠0时,两边同取以a~n为底的对数, 则有: log_(a~n)~(b~n)=c,n∈R且n≠0 运用上述性质,可解决一些较为复架的对数问题,现举几例如下。 [例1] 已知log_8(x~2+1)~3-log_2xy+log_(2~(1/2))·(y~2+4)/~(1/2)=3 试确定x,y之值 (85年常州初中数学竞赛题) 分析:初中数学竞赛一般不要求换底公式,上述问题即使用换底公式,也颇费周折,若联想到上述性质,则解法较为简捷。     

给定区间上函数恒成立问题的两类解法

给定区间上函数恒成立问题的基本题型是:当m∈M时,F(m,n)>0(或<0或=0)恒成立,求n的取值范围.1利用一次函数的性质一次函数f(x)=ax+b(a≠0),根据一次函数性质,在[m,n]内恒有f(x)>0,等价于f(m)>0且f(n)>0;在[m,n]内恒有f(x)<0,等价于f(m)<0且f(n)<0.例1已知a∈[0,1]时,(a?1)log32x?6a log3x+a+1恒为正数,求实数x的取值范围.分析令2h(a)=(a?1)log3x?6a log3x+a+122=(log3x?6log3x+1)a?log3x+1.当a∈[0,1]时,h(a)>0恒成立,即233(0)0,log10,(1)0,6log20,h xh x???>>???????++>>∴?1相似文献   

利用指数的“换底公式”解题

命题若a、,n、,2任R ,_巨a半l,则了n 109。月=2210日d冲井(关)证明:’:109。nlog。m=loga阴109“,: 109。,nlog·”一109“n场“一 阴109。”=221oga用. 指数的这一“换底公式”貌似平凡,但据此求解一类指、对数混合问题,却有着化繁为简,化难为易之功效.例1求值7152。· 一l一2解:原式~71 吵·(=7·7,92·()l“7·211︸9︸llzA通.7= 一一一一例2若a笋1,解关于二的方程a,gr·xl““一2(a,g,十士,g‘) 3=0.解:由公式(*),得(a 19,)“一4al“工 3=o:.a‘92一一或a,g!=3 刃1=l,xZ=1010‘3经检验:x,一1,x:一1010幼均为原方程的解.例3已知:a、l,.…     

两个定理的推广及其应用

文 [1]的定理 1,2分别为 :定理 1　设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 11+ a+11+ b=1成立的充要条件是 ab=1.定理 2　设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 a1+ a+b1+ b=1成立的充要条件是 ab=1.我们可将定理 1,2推广为 :定理 3　设 xy≠ 0 ,则 ax+ by=1成立的充要条件是 (x- a) (y- b) =ab(证明略 ) .把定理 3中的 a,b,x,y分别换成 1,1,1+ 1+ b,则得定理 1;把定理 3中的 x,y分别换成 1+ a,1+ b,则得定理 2 .用定理 3解某些最值题或证明某些不等式是比较方便的 ,下面举例说明 .1　求最值例 1　已知 x,y∈ (0 ,+∞ )且 2 x+ y=4,求 1x+ 1y的最小值 .(文 [2 ]例 2 )解　…     

一个矛盾的结论

在初等数学里关于零指数幂的定义:a~0=1,其中a≠0,并且强调指出:零的零次幂没有意义.这里因为a~0=a~1·a~(-1)=a/a=1(a≠0),因为零不能做除数.底数a≠0这个事实也有人这样理解:假设当a=0时有意义,那么写成对数形式:log_0=0也是有意义的,对一般的log_0x=0也应该是存在的.这与对数定义:底数a>0,a≠1是相矛盾的.事实上,log_0x=b存在时,即指数形式0~b=X存在时,不论b为任何数,x永远等于零.这时研究x的对数没有任何价值.     

孰对? 孰错?——一道课本习题的解答研究

1问题苏教版数学选修2?1第23页,本章测试第11题:写出命题"若a=b,则lg a=lg b"的逆命题,否命题,逆否命题;并判断它们的真假性.解原命题:若a=b,则lg a=lg b.逆命题:若lg a=lg b,则a=b.逆否命题:若lg a≠lg b,则a≠b.否命题:若a≠b,则lg a≠lg b.其中,逆命题与否命题是真命题.一般认为     

对数问题中的几个注意点

在学习指数函数与对数函数时,不能忽视如下几点.一、对数式与指数式的互化关系指数式与对数式具有关系:指数式aN=b(a>0且a≠1)对数式logab=N(a>0且a≠1),弄清并准确运用它们之间的对应关系是解决指数或对数问题一种常用策略.例1已知3a=5b=A,且1a 1b=2,则A=()(A)15(B)15(C)±15(     

关于分式方程“解”的讨论

众所周知 ,解分式方程最常用的方法是去分母法 ,这样 ,未知数的允许值范围可能扩大 ,解出的未知数的值必须检验 ,以防增根出现 .因此在探讨分式方程的解时 ,应十分注意增根 .下面举例说明 :一、分式方程“有解”情形例 1　 k为何值时 ,分式方程 kx2 + 5x + 4-2x + 4+ 1x + 1=0有负根 .解 :去分母得 :k - 2 ( x + 1) + ( x + 4) =0解得 x =k + 2 .由题意知 :x =k + 2 <0且 x =k + 2≠ - 1且 x =k + 2≠ - 4,故当 k <- 2且 k≠- 3且 k≠ - 6时 ,原方程有负根 .例 2　 k为何值时 ,分式方程 k( k + 2 )2 x - k( k - 1)2 ( x - 1)= 1有两实根 .解…