关于三角形的一个定理

定理非等腰三角形一个角的内外角平分线与对边中垂线交于两点,此两点均在外接圆上,且此两点连线即为外接圆一条直径。证明如图,设M,N是这样的交点,则MB=MC,在△ABM与     

利用三角形中一个平面向量定理解题

由平面向量基本定理可知,若已知△ABC内一点P,则向AP→可以用三角形的两边向量唯一表示,     

三角形重心定理的一个推广

<正> 由三角形的重心定理可得如下结果。 引理1 在△ABC中,AD是中线,E是AC边上2等分点,连结BE交AD于P,则|PB|:|PE|=2。     

一个三角形定理的多方位推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了三角形欧拉圆心(即九点圆心)的一个鲜为人知的性质,即     

三角形内角和定理的运用

三角形内角和等于180°.运用这个简单的关系可以解决一些实际生活、生产中的问题.请看:●例1如图1的四边形ABCD是一个工件平面图,它要求AD和BC这两边的夹角应等于30°,甲、乙、丙三个生产工人在检验工件是否合格时,产生了以下的争论:甲:要检验AD和BC的夹角是否为30°?应延长AD和BC,设交于点O,然后检验∠O是否等于30°就可以了.乙:这样太麻烦了,我看只需要分别测量出∠A和∠B的度数就行了;丙:我想量出∠C和∠D的度数也可以检验AD和BC的夹角是否等于30°?甲:分别测量∠A和∠B的度数,或者测量∠C和∠D的度数,两种方法虽然都比分别…     

一个有趣的三角形定理的推广

美国数学家约翰逊在其名著[1]中,介绍了一个有趣的三角形定理,即 定理1 在△A1A2A3的三条边A1A2,A2A3,A3A1上各取一点B1,B2,B3,使得 A1B1:B1A2=A2B2:B2A3=A3B3:B3A1,则△B1B2B3与△A1A2A3有共同的重心.     

一个有趣的三角形面积比定理

本文介绍一个有趣的三角形面积比定理,从中可以看到整体分割思想方法的奇妙之处。题目。已知△ABC,分别延长三边各1,2,3倍,得到△A′B′C′。问△A′B′C′的面积是△ABC面积的几倍?     

三角形面积比的另一个定理

本文介绍三角形面积比的另一个定理,作为贵刊1989年第4期《一个有趣的三角形面积比定理》的续篇,从中可以看到用复数法证几何题的威力.     

一个三角形定理在三维空间的推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了三角形垂心的一个有趣性质,即定理1设△A1A2A3的垂心为H,则⊙HA1A2、⊙HA2A3、⊙HA3A1与⊙A1A2A3是等圆.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的“共球有限点集”中.为此,我们约定:(1)若点集A={A1,A2,,An}中的点都在同一个三维球面上,则点集A称为共球有限点集,这个球面称为点集A的外接球面,其球心称为点集A的外心;(2)从点集A={A1,A2,,An}(n≥3)中任意除去一个点A j(1≤j≤n),其余(n?1)个点组成的集合,称为点集A的最大真子集,记作?j;(3)以点O为球心,R为半径的球面记作S(O,R)…     

一个三角形定理的推广及应用

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下一个优美的三角形命题:定理1设△ABC内接于⊙(O,R),其重心为G,则221(222)OG=R?9AB+BC+CA.本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接闭折线中,并举例说明推广命题的若干应用.为此,我们约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线A1A2A3L An A1.定义设闭折线A(n)内接于(O,R),对任意给定的正整数k,若点Q满足11niiOQ OAuuur=k∑=uuuur,①则点Q称为闭折线A(n)关于点O的k号心.按这个定义,容易验证:圆内接闭折线A(n)关于其外心O的1号心、2号心和n号心,就是A(n)的垂心[2]、欧…     

关于三角形垂心性质的一个定理

一个熟知的命题是:一个锐角三角形的垂心必为它的垂足三角形的内心。 如图,O为锐角三角形ABC的三条高AD、BE、CF的交点,则由 EODC、EFBC、FODB三个四点共圆,可以马上证得∠FDA=∠EDA。 下面给出这个命题的逆命题。先证一个引理。 引理:D、E、F分别为锐角三角形BC、AC、AB上的点,AD、BE、CF交于一点O,若DO平分角FDE,则AD⊥BC。     

三角形的一个边比定理及其应用

相似三角形对应边成比例,这是众所周知的事实。本文将给出一种不相似三角形的对应边比例关系,以及这种三角形在平几证题中的一些应用。定理一双角对应相等,另一双角互补的两个三角形,其第三双角的夹边对应成比例。如图1,∠B=∠B',∠C ∠C'=180°,下面证明:(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')。不妨假设∠A<∠A'(图1),这时可在B'C'上取D,使∠B'A'D=∠BAC,又已知∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'D,     

一个关于三角形的定理及其应用

本文首先介绍一个关于三角形的定理,然后举例说明它在解数学竞赛题时的应用. 定理设A_0,B_0,C_0分别位于△ABC的三边BC,CA,AB上,若AC_0:C_0B=m:n,BA_0:A_0C=p:q,CB_0:B_0A=r:s,△ABC与△A_0B_0C_0的面积分别为△与△_0,则     

关于三角形面积最小值的一个定理

在许多参考书上均有这样一类题:求过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值,及此时直线的方程。该题解法较多,主要有判别式法,基本不等式法。通过研究发现有下面一般性的结论:     

一个有名的几何定理——代沙格三角形定理

本文介绍了著名的代沙格定理的内容及其在初等几何中的应用,而做到灵活应用的关键在于掌握文中对代沙格构形的分析.     

等差三角形中的一个定理及应用

我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理　在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明　由题意知　２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得　２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴　４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵　ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即　２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴　３ｓｉｎＡ２…     

一个三角形线段比定理及其应用

本文介绍三角形线段比中的一个定理,利用它可方便简捷地处理三角形中一类较为复杂的线段比例问题,尤其在解竞赛题中应用广泛．     

三角形面积比一个定理的浅显证明

贵刊文 [1 ]中给出了定理 1　在△ABC中 ,AD、BE相交于F ,若 AEEC=m ,CDDB=n ,则 S△ABFS△ABC=mmn +m +1 。此定理应用较广泛 ,但在证明过程中应用了中学教材中未介绍的梅涅劳斯定理 ,不适合向广大中学生讲授。本文给出一个易被中学生接受的浅显证明 ,并说明其在证明文 [2 ]定理中的应用 ,供参考。 (文 [1 ]中的证明请见文 [1 ],这里略。)证明　如图 1 ,作EH∥BC交AD于点H ,则EHCD =AEAC=AEAE +EC ①BFFE=BDEH=BDDC·DCEH ②图 1∴ BFFE =1n ·1 +mm =1 +mmn ,∴S△ABF ∶S△ABE =1 +m1 +m +mn。又∵S△ABE…     

三角形面积比的一个定理及应用

定理 在△ABC三边BC、CA、AB所在的有向直线上各取分点A＇、B＇、C＇。 此定理所包含的图象关系非常丰富,下面的图1、2、3、4、5列出了其中的几种情形。     

三角形角平分线性质定理的一个推论

恰当地引导学生对教材内容深入思考,作出推论,有助于激发学生的学习兴趣,培养思维能力,提高解题起点。本文介绍怎样从三角形角平分线性质定理出发,进行探索,得出推论。一、问题的提出相似三角形中对应线段成比例,那么在不相似的两个三角形中要找到成比例的四条线段,需要对