双曲线中点弦性质的应用

性质　设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有　ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１　求中点弦例１　直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解　设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３,　∴　ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴　ｘ０＋ｙ０－２＝…     

双曲线弦中点存在区域的探讨与反思

在直线与双曲线的位置关系的教学过程中,有一类求以某点中点的的弦(称中点弦)所在的直线方程的问题,这类问题对培养学生解决直线与双曲线的位置关系的题目的能力,培养解题的规范性、思维的严密性和思维的深刻性等具有重要的意义:     

中点弦问题的解法探究

中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题．教师学生都曾有过这样的经历：根据问题的条件求直线方程，有时求出后的直线却不存在．学生对此常困惑不解，甚至有些教师也知之不多，言之不清．本文结合平时教学实践，谈点自己的见解与做法，不足之处请大家指正．[第一段]     

双曲线的中点弦什么时候存在

对于中点弦问题同学们习惯用"点差法"解决,首先回忆一下点差法的步骤:1.设点,设出弦的两端点坐标;2.代入,代入圆锥曲线方程;3.作差,两式相减,再用平方差公式展开;4.整理,转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解。     

再谈双曲线的中点弦问题

专著[1]第16-17页的定理1、2解决了如下 问题1 对于怎样的点P,以点P为中点的双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a,b∈R^＋）的弦不存在（存在）？ 近日,笔者翻阅了《日本各大学历年入学试题集数学题解（上册）》^[2],该书第141题是：141．画图表示连结函数Y=1/x的图象上的两点之石线段的中点的全体集合．     

也谈中点弦所在直线方程

很多数学报及兄弟刊物都介绍过中点弦所在直线方程问题.有的甚至给出了公式式的结论,但结论较为复杂不易记忆.本文介绍两种更为行之有效的方法. 我们先证明一个命题:二次曲线F(x,y)=0,以定点P(x0,y0)为中点的弦所在的直线方程为:F(2x0-x,2y0-y)=0.然后便可套用结论,直接得出方程. 证明:设以P(X0,y0)为中点的二次曲线F(x,y)=0的弦的两个端点分别为A、B,且A(x,y),则B(2x0-x,2y0-y),由于A、B均是二次曲线F(x,y)=0上的点,从而可得 F(x,y)=0 ① F(2x0-x,2y0-y)=0 ②     

圆锥曲线中点弦问题解法探究

<正>直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点问题,这类问题一般有以下几种类型:(1)求中点弦所在的直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等,但最常用的方法为点差法和待定系数法.一、求中点弦所在直线方程问题【例1】已知一直线与椭圆x24+y22=1交于A、B     

中点弦问题的解法思考

中点弦问题就是当直线与圆锥曲线相交时,得到一条弦,进一步研究弦的中点的问题.中点弦问题是解析几何中的重点和热点问题,在高考试题中常常出现.解决圆锥曲线的中点弦问题,点差法是一个行之有效的方法,点差法顾名思义是代点作差的办法.其步骤可简要地叙述为:①设出弦的两个端点的坐标;②将端点的坐标代入圆锥曲线方程相减;③得到弦的中点坐标     

由双曲线的中点弦的存在性对双曲线的中点弦问题的探讨

本文通过对一道习题的研究,引出双曲线的中点弦的存在性的探讨。经过演算,分类讨论,推理得出判断中点弦是否存在的判定方法。     

椭圆与双曲线中点弦的存在性研究

为了不失一般性,我们将椭圆与双曲线方程统设为x²/m+y²/n=1,其中m,n不同时为负数,当m>0,n>0且m≠n时,方程表示椭圆;当m·n<0时,方程表示双曲线.首先来熟悉一下椭圆与双曲线的中点弦性质:设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.说明（1）此性质可由"点差法"很容易得     

探究：在细节中萌生--双曲线中点弦之“伪直线”探析

在双曲线中点弦的习题教学中，通过对一道典例的教学过程中，对其中“伪直线”进行了探析，揭开了它的神秘面纱同时，运用探究结论在解决“与弦的中点有关的问题”时，显得即重要而又实用．     

一道中点轨迹问题的七种解法

题目 圆x^2＋y^2=8内有一点P（-1，2），过点P的弦交圆于A、B两点，M为AB的中点，求点M的轨迹方程．     

圆锥曲线的中点弦问题

圆锥曲线的中点弦在平面解几中是一种很常见的问题，解决这类问题的一般方法是由直线方程和圆锥曲线方程组成方程组，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，再利用中点公式解决．当由直线方程、圆锥曲线方程组成的方程组较复杂时，用这种方法就较繁琐，运算量大．此时     

利用中心对称变换求中点弦方程

直线与圆锥曲线的关系是解析几何中知识点覆盖较多，解法较灵活的一类问题，其中求过已知点，并以该点为中点的圆锥曲线的弦的方程是常见题，这类问题的解法一般是用待定系数法，先设斜率为k，再运用韦达定理和中点公式求出k值，请看下面的例子。     

一道“中点弦”问题解法的背景研究

1问题的提出试题已知椭圆C:x²+4y²=16,过点P（2,1）作一直线l交椭圆C于A,B两点,若点P为交点弦AB的中点,求直线l的方程.这是一道我校"圆锥曲线与方程"一章阶段测试的试题,讲评试题时笔者采用的是"点差法"与"设而不求"两种常规方法,课后有一位同学提出教辅材料中介绍的一种简解方法如下:将点P（2,1）代入椭圆的切线方程x₀x+4y₀y=k,得2x+4y=k,点P（2,1）在此直线上得k=8,则直线l的方程为2x+4y=8即     

抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

曲线中点弦所在的直线方程

曲线弦中点所在的直线方程的问题是各类考试的重点和热点,故值得我们总结与研究,为此,本文介绍它的一种求解方法,供参考．