2011年全国初中数学联赛几何证明题证法赏析

题目:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.证法1:过N作NQ⊥AC于Q,NH⊥BC于H,过M作ML⊥AB于L,MR⊥BC于R,连NR交PD于G.因为BM平分∠ABC,所以ML=MR.又PF∥ML,PG∥     

数学问题与解答

2012年第6期问题解答856.ΔABC中,点E、F分别在边AB、AC上,使∠FBC=∠ECB=1/2∠A,BF与CE交于点P.过点P作PM∥AC交AB于点M,作PN∥AB交AC于点N,求证:BM=CN.(401515重庆市合川太和中学袁安全供题)证:如图1,连结MN、MC、NB.     

例说与等腰梯形有关的探索题

近年来的中考中,与等腰梯形有关的探索题屡见不鲜,下面解析两例.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD,BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.(1)求证:四边形MENF是菱形.(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和低边BC的数量关系并说明理由.(2005年广东省中考题)解:(1)在等腰梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴AB=DC,∠A=∠D,∵AM=DM,∴△ABM≌△DCM(SAS),∴BM=CM,∵E、F分别是BM、CM的中点.∴ME=12BM,MF=12CM.∴ME=MF,∵N为BC的中点∴EN,FN都是△MBC的中位线∴EN∥CM,FN∥BM∴四边形MENF是平…     

在不同角度的联想中演绎精彩——以一道几何题的多种解法为例

<正>一、题目如图1,AD为ABC的角平分线,AB>AC,点E是BC的中点,在AB上截取BM=AC,G为AM的中点.求证:EG∥AD.分析本题的难点,从已知条件看,相等线段BM=AC与求证EG∥AD没有直接关联,而BM、AC位置松散,不容易发现它们之间的内在联系.因此解证的关键是通过添加辅     

一题多变 触类旁通

题目已知:如图1,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上任意一点,过点P作DE∥BC,交AB、AC分别于D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵DE∥BC, ∴(PD)/(BM)=(AP)/(AM),(PE)/(MC)=(AP)/(AM),∴ (PD)/(BM)=(PE)/(MC), ∵BM=MC,∴PD=PE. 变式一已知:如图2,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上     

对一道中考数学压轴题试题的研究

【题目】2006年江西省课改试卷的第29题问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.图1图2如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则     

采用套题复习平面几何

采用套题的方法进行平面几何总复习,可使基础知识的掌握与能力的提高有机的联系起来。一、由基本图形发展为复合图形的套题这是经常采用的类型,它是把简单的题目逐渐发展到较为复杂的综合题目。如 (1)已知:DE∥BC 求证:AD∶AB=DE∶BC (2)已知:DE∥BC 求证:DN∶BM=NE∶MC (3)已知:AD∥BC∥MN,MN过AC和BD的交点O。求证:OM=ON (4)已知:AD∥BC∥MN,MN交AC、BD于Q、P。求证:MP=NQ (5)已知:DE∥BC 求证:DN=NE,BM=MC (6)已知:AB为☉O直径,AD和BC切☉O于A、B,DC切☉O于E。EF⊥AB于F,交DB于P。求证:DB平分EF于P点。二、题设与结论互相转化的套题这类题目显示了题目的多样性和灵活性,能提     

简证一道国家集训队选拔考试题

20 0 2年IMO中国国家集训队选拔考试第一题 :设凸四边形ABCD的两组对边所在直线分别交于E、F两点 ,两对角线的交点为P ,过P作PO⊥EF于O .求证 :∠BOC =∠DOA .图 1证明 :如图 1 ,只须证明∠POB =∠POD及∠POC =∠POA .而∠POB=∠POD等价于∠BOE =∠DOF .作BM⊥EF、DN⊥EF、AH⊥EF ,垂足分别为M、N、H .为证∠BOE =∠DOF只须证明△BOM∽△DON ,即只须证 BMDN=OMON.由BM∥PO∥DN知 BMDN=BPPD.由BM∥AH∥DN易知BMDN=BMAH·AHDN=BEEA·AFFD.再对△ABD及共点C的三线AP、BF、DE应用塞瓦定理…     

巧用一道习题的图形

本文以初中几何课本第一册153页的一道习题为例,在题目给出的图形上连结不同的点可得到若干不同的结论。既使学生巩固了平面几何的有关知识,又培养了学生的发散思维。如图1,点C为线段AB上一点,ΔACM、ΔB CN是等边三角形。求证:AN=BM, 证明:(略)。分析:在图1中若设AN与BM、CM分别交于点D、E,BM交CN于F,连     

挖掘例题潜能 扩展学生视野

初中教材的例题具有典型性、示范性、迁移性、再生力强等特点,教师要高度重视,指导学生挖掘,发挥其潜在功能,由题变题,形成套题,以少胜多,扩展学生的视野.下面仅举一例.见几何二册 P124例题如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于点 A,BC 是两圆的公切线,求证:AB⊥AC直径 BM、CN,求证:BC~2=BM·CN