三角形内心的性质及其应用

一、基础知识三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心 ,内心有下列优美的性质 :性质 1　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心 ,则Ｉ到△ＡＢＣ三边的距离相等 ;反之亦然 .性质 2　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心 ,则∠ＢＩＣ =90° 12 ∠Ａ ,类似地还有两式 .性质 3　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心 ,ＢＣ =ａ ,ＡＣ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｉ在ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ上的射影分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ ;内切圆半径为ｒ ,令 ｐ =12 (ａ ｂ ｃ) ,则 (1 )Ｓ△ＡＢＣ=ｐｒ;(2 )ｒ =2Ｓ△ＡＢＣａ ｂ ｃ;(3 )ＡＥ =ＡＦ =ｐ -ａ ,ＢＤ =ＢＦ =ｐ -ｂ,ＣＥ =ＣＤ =ｐ -ｃ ;(4 )ａｂｃｒ=ｐ·ＡＩ·…     

三角形外心的性质及其应用

1　基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 .外心有如下一系列优美性质 :性质 1　三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 ;三角形的外心到三顶点的距离相等 ,反之亦然 .性质 2　设Ｏ为△ＡＢＣ的外心 ,则∠ＢＯＣ =2∠Ａ ,或∠ＢＯＣ =3 60° -2∠Ａ(还有两式 )     

圆内接三角形垂心的两个新性质

定理1设△ABC内接于⊙O,H是△ABC内(或外)的点,则H为△ABC垂心的充要条件是■.证明必要性.图1以BC边所在直线为x轴,BC边上的高AO′为y轴,建立如图1所示坐标系.设A(0,y3),B(x1,0),C(x2,0),H(0,y).由BH⊥CA,BH=(-x1,y),CA=(-x2,y3),得x1x2 yy3=0,y=-x1x2y3,则H(0,-x1x2y3).设外心     

巧用三角形的垂心解题

（本讲适合初中） 众所周知,称三角形三条高的交点为三角形的垂心．由于垂心有着许多美妙的性质,因而在各级各类数学竞赛中屡屡出现．本文采撷几例进行解析．     

关于三角形垂心的探讨

三角形的重心、外心、内心的性质 ,大家都比较熟悉 ,但对于三角形垂心的性质未见介绍过 ,本人在教学中偶有发现 ,在此介绍并证明如下 ,供同行参考并指正。命题　三角形的重心到各顶点的距离与对应顶点内角余弦值的绝对值的比都相等 ,都等于三角形外接圆的直径。设△ABC的垂心为H ,外接圆的半径为R ,设A、图 1B、C为△ABC的三个内角 ,则HA|cosA|=HB|cosB|=HC|cosC|=2R。下面分三种情况证明 :( 1 )设△ABC为锐角三角形 (如图 1 ) ,作直径BD ,连结AD、DC ,则∠BDC =∠BAC①在Rt△BDC中 ,cos∠BDC =DCBD=DC2R ②又DA⊥AB(…     

三角形垂心一个性质的推广

文[1]中给出了关于三角形垂心的一个优美性质,即 定理1三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰好是三角形的九点圆圆心． 笔者研究发现上述性质中的垂心可以推广为平面上任意一点,在行文前,先给出如下定义．     

垂心闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。定义对闭折线A(n),设其顶点全集的最大真子集{A_1,A_2,…,A_(i-1),A_(i 1),…,A_n}的垂心为H_i(i=1,2,…,n),则闭折线H_1H_2H)3…H_nH_1称为A(n)的垂心闭折线,记作H(n)。垂心闭折线具有下列性质:     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

再谈垂心闭折线的有趣性质

在拙文[1]中,我们定义了“垂心闭折线”概念,并揭示了它的几个有趣性质.这里作点补充.为此,先建立如下概念: 定义1 在△OAB所在的平面内,以顶点O为     

三角形的另一组有趣性质及其应用

文[1]给出了三角形的一组有趣性质,即: 定理在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a c=kb(k＞1),则     

三角形垂心的一个性质的推广

众所周知,三角形的垂心有如下性质： 定理1 设△ABC的垂心为H,外接圆半径为R,则AH^2＋BC^2=4R^2． 本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接多边形中．     

共高三角形的两个简单性质及其应用

初中数学竞赛中有不少求面积或有关线段比或面积比的“涉比”型问题．这类问题的常见解法是利用平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质等知识求解．笔者探讨发现，若利用共高三角形的两个简单性质解答，则显得解法十分简捷易懂，就连没有学过相似形知识的初一学生也能毫不费力地看懂和学会。     

有关垂心的一个性质

性质 在非RtΔABC中，H为ΔABC的垂心，P为ΔABC所在平面内的任意一点．求证：[第一段]     

借助三角形的垂心解题

如图1,CF,BE是AABC的高,其交点日是AABC的垂心,则AD必定垂直于BC．     

垂心性质的妙用

我在学习平面几何的初期,感到几何很难学,老师布置的几何题常常难住我的小脑袋.不过,我对几何还是有兴趣的,经常把老师交给我们的题目记在心头,一有时间就琢磨起来.刚接触几何时,老师留给我们的思考题比较简单,很快就完成了.到上一学期末,老师留的几何题就比较难了,常常几天解决不了.     

关于三角形垂心的几个不等式

《数学通报》2001年第1期给出的问题1293是“若三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，面积为S，求证：Rr≥2√3/9S″.