判定直线与椭圆、双曲线位置关系的一种几何方法

文[1]曾介绍了判定直线与椭圆、双曲线位置关系的两个重要结论: 定理1直线上一点到椭圆两焦点的距离之和的最小值(1)小于长轴长则直线与椭圆相交;(2)等于长轴长则直线与椭圆相切;(3)大于长轴长则直线与椭圆相离.     

判断直线和椭圆位置关系的一种方法

通常,我们是采用“判别式”等法来判断值线和椭圆的位置关系,本文将另辟蹊径给出另一种判断方法。众所周知,平面内在椭圆外、椭圆上、椭圆内的点到椭圆两焦点的距离之和分别大于、等于、小于椭圆长轴长,由此可知,直线和椭圆相离时,直线上任一点到两焦点的距离之和大于长轴长;相切时,仅有一点(切点)到两焦点距离之和等于长轴长;相交时,至少有一点到两焦点距离之和小于长轴长,反之亦然,据此猜测有下列结论: 命题:设直线l上所有点到椭圆C两焦点的距离之和最小值为d,椭圆C的长轴长是2a,则直线l与椭圆C相离、相切、相交的充要条件分     

纠正新教材教案中的一个错误

(人教版)数学第二册(上)教案第171页[四、圆锥曲线的切线方程]中间一段:[若经过圆或椭圆外部一点,双曲线内部(不包含双曲线两焦点的平面区     

圆锥曲线的一类最值问题

<正> 本文探讨在圆锥曲线上求一点,使其到一定点和一焦点(或圆心)的距离之和最小、或距离之差(绝对值)最大的问题. 圆锥曲线将平面分成两部分,我们称含焦点的区域为圆锥曲线的内部,不含焦点的区域为圆锥曲线的外部.以下讨论定点在曲线内     

用圆锥曲线的定义巧解难题

圆锥曲线的定义有两个,我们分别称为第一定义和第二定义。第一定义我们可统一为:设M为圆锥曲线上的任一点,F_1、F_2是椭圆或双曲线的两个焦点,长(实)轴为2a,焦距为2c,F是抛物线的焦点,d是M到准线的距离。则有:     

纠正新教材教案中的一个错误

(人教版)数学第二册(上)教案第171页[四、圆锥曲线的切线方程]中间一段:[若经过圆或椭圆外部一点,双曲线内部(不包含双曲线两焦点的平面区域,如满足x2/a2-y2/b2＜1的点集)一点,抛物线外部(不包含抛物线焦点的平面区域,如满足y2＞2px的点集)一点,都可以分别作圆、椭圆、双曲线、抛物线的两条切线].这段话中,对双曲线内部一点,都可以作双曲线的两条切线是不妥的,如:设双曲线x2/a2-y2/b2=1,根据渐近线的性质,我们知道过原点(0,0)作不出双曲线的切线.     

以高考题为例谈求解离心率问题的通性通法

<正>圆锥曲线的离心率,可以形象地理解为在椭圆的长轴(双曲线的实轴)不变的前提下,两个焦点离开中心的程度,是反映椭圆扁平(双曲线张口)程度的一种量度.椭圆(或双曲线)的离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值,用e表示,即e=c/a(c,半焦距;a,长半轴);圆锥曲线的离心率的统一定义,是曲线上的点到焦点的距离和到准线的距离之比等于离心率.由于离心率的重要     

椭圆定义在解题中的应用

<正>椭圆是圆锥曲线中最重要的内容之一,也是高考命题的热点之一.椭圆有两种定义,第一定义是指平面内任一点到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|=2c)的点的轨迹;其第二定义为平面内任一点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的     

椭圆的一个基本性质的高等几何解释

运用高等几何中二次曲线的度量理论证明了椭圆的一个基本性质：椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为定长；反之满足这一条件的点所构成的二阶曲线一定是椭圆．     

椭园的一个几何性质及其推广

在平面解析几何中,椭圆上任何一点到两焦点的距离之和是不变量,但下面命题中提到的性质却鲜为人知。命题1、从精园中心到精园的任何两条互相垂直的切线的距离平方和,但等于椭圆两根主轴半长的平方和,是一个不变量,证明：没有一椭圆,如图所示,两根主轴半长轴分别为a、b。在直角坐标系oxy中该椭园方程为MN,PQ分别是两条相互垂直切线,切点分别是S．T,椭圆中心到这两条切线的距离分别是则椭圆。任一点法矢量为而在处,法矢量与oy轴垂直即,又因为s在椭圆上,所以,联立解出而均是椭圆不变量,而在椭圆的主坐标系中,有此命题可以推…     

由直线生成圆锥曲线的方法

1问题的提出 在高中数学解析几何的“圆锥曲线”部分，教材一般给出了圆锥曲线的两种定义．以椭圆的定义为例，定义1；平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆；定义2：平面内一动点M与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（大于0小于1）的点的轨迹是椭圆．[第一段]     

用圆锥曲线定义巧解一类最值问题

在平面几何中,我们会在直线上求一点,使它到直线外两定点A、B的距离之和最小和距离之差最大.在解析几何中,很自然地联想到,能否在圆锥曲线上找一点到两定点的距离之和为最小呢?本文将给出当一定点为圆心或焦点时,利用圆锥曲线定义求最小值     

正多边形同心圆锥曲线的两个性质

<正>文[1]研究了正多边形的同心圆(即圆心在正多边形中心的圆)的两个性质:(1)正多边形同心圆上的任意一点到各顶点距离的平方和是定值;(2)正多边形同心圆上任意一点到各边距离的平方和是定值.文[2]推广了文[1]的结论,得到了正多边形的同心椭圆(即椭圆中心在正多边形中心的椭圆)的两个性质:(1)设G为正n边形的中心,则以G为中心的椭圆上任意一点到正n边形的各顶点的距离的平方和与该点到椭圆两焦点距离的乘积的n倍之和为定值;(2)设G为正边形的中心,     

巧用“等底等高”求积

著名数学教育家波利亚说过,“回到定义去”是一项重要的智力活动.圆锥曲线的定义深刻地揭示了圆锥曲线的内涵,对解圆锥曲线问题有着广泛的应用,下面举例说明. 一、利用定义直接解题[例1] 已知椭圆x2/25+y2/16=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为( )     

利用椭圆（双曲线）的定义速解2006年高考题

众所周知,椭圆的定义为:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.我们知道这两个定点叫做椭圆的焦点,常数等于椭圆的长轴长.     

独具魅力的“焦点三角形”

椭圆或双曲线上的一点与其两焦点构成的三角形称为焦点三角形,焦点三角形因其扎根于平面几何与三角函数之上,纵横于圆锥曲线的定义与性质之间,而成为椭圆与双曲线部分众多问题的载体,显示出特有的魅力,下面举例说明其应用.     

圆锥曲线以焦点为顶点的角的一组性质

文[1]的定理4得出了椭圆切线的一个性质,文[2]和文[3]得出了圆锥曲线焦点弦的一组性质,本文研究得出了圆锥曲线以焦点为顶点的角的一组更一般的性质,并由此得到两个推论.     

物理竞赛中的椭圆

在数学中,到两个定点的距离之和等于常数的点的集合为椭圆.当以长轴为x轴时,椭圆的标准方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b).椭圆是一种圆锥曲线,在平面上到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e的点的集合是椭圆.偏心率     

圆锥曲线方程

课时一椭圆的标准方程及几何性质强化主干诊断练习一、填空题:1.椭圆x2 4y2=1的离心率e=.2.椭圆x252 1y62=1上一点P到右焦点F的距离是长轴两端点到右焦点F的距离的等差中项,则点P的坐标为.3.过两点P(3,-2),Q(-23,1)的椭圆的标准方程是.4.椭圆1x020 3y62=1上一点P到它的左焦点距     

椭圆准线上点的有趣性质的简证及新性质

[1]、[2]给出了椭圆准线上点的几个有趣性质，读后深受启发，美中不足的是证明较为繁复．本利用平几知识结合正弦定理给出一种操作性强，易被学生接受的简单证法．使用该法，可以容易证明椭圆准线上点的几个有趣的新性质．需要指出的是，这些有趣的性质已引起一些命题，尤其是高考命题的关注（如本例7）．如无特别说明，下中约定有心圆锥曲线的半长轴长为a，半焦距为c，离心率为e，准线与x轴的交点为Q，点P到长轴的距离为d．