深入探究 必有所得(高二、高三)

题过定点尸(2,3)作直线l,分别与x轴、y轴的正方向交于A、B两点,求使△AOB的面积最小时的直线方程. 经过求解,我的答案是 3x Zy一12- 若将尸点坐标改为(2,1)线是x Zy一4一0. 于是我猜想:O.,满足条件的直即m:a一n:b. 在一本参考书上有这么一道题: 已知直线x一y一O,x y一O,点尸(1,2).过点尸作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B.当S△AoB面积最小时,求直线l的方程. 如图1所示,直线l过定点尸(m,n),分别与x轴、y轴的正方向交于A(a,o),B(o,b)两点,当△AOB面积最小时, 书上给的参考答案很繁琐,下面我用上述结论和坐标变换来解: 如图2…     

走进直线、射线和线段

一、要准确分清三个概念的含义 1.直线. (1)直线是向两方无限延伸的一条笔直的线,如代数中的数轴,就是一条直线(它只规定了原点、方向和长度单位). (2)一个点可以用一个大写字母表示.一条直线可以用一个小写字母表示.如图1中的直线可以记作l,如果点A、点B在直线l上,那么直线l也可以记作直线AB. (3)一个点P与一条直线l有两种位置关系,如图2,①中:P点在直线l外,②中:P′点在直线l上. (4)两条直线a和b,如果它们只有一个公共点O,这两条直线的位置关系叫做相交,公共点O叫做交点.如图3. (5)经过一点有无数条直线.     

再谈一条美妙性质

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).     

圆的两个切线性质的类比、拓广

<正>问题:过圆x²+y2+y²=r2=r²内的一定点M,作直线与圆交于A、B两点,作直线与圆交于C、D两点,过A、B两点分别作圆的切线交于点P,过C、D两点分别作圆的切线交于点Q,则直线PQ是一条定直线。解:设A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)、M(x0,y0)、P(xP,yP)、Q(xQ,yQ)。则过A点的圆的切线方程为:     

谈谈作截面图

立体几何中,一些截面图的作法是个难点,本文谈谈作截面图的原理与方法。公理:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。定理1:若两个平面有两个公共点,则过这两个公共点的直线就是它们的交线。定理2:过直线a外一点B与直线a平行的直线b,     

作一条直线平分多边形面积

《中小学数学》(初中版)2014年第4期《过任意点都能作一条直线平分三角形面积吗》,文中给出了“过三角形一边上任意点作直线平分三角形面积”的尺规作图方法.文章还提出两个未解决的问题:①过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?②平分三角形面积的直线是否都可以用尺规作出来.本人在平时的教学过程中对这方面问题也积累了一些经验.对于过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?答案是肯定的.其实,不仅对三角形而且对于任意一个平面图形都存在无数条直     

异面直线的几个性质

异面直线的有关知识,除去课本上谈到的外,还有以下性质: 1.经过两条异面直线中的一条,有且只有一个平面与另一条直线平行。 证明: (1)作法:过b上一点A和a作平面α,在α内过A作c∥a,过c和b两条相交直线作平面β即为所求。     

探求一个问题的结论后面的规律

正问题:如图1,已知圆C:x2+y2=r2与直线l:y=kx+m没有公共点,设点P为直线l上的动点,过点P作圆C的两条切线,A、B为切点。证明:直线lAB恒定过点Q。分析:利用我们常用的一个结论:若点P(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点,则过点P作圆的两条切线,切点分别为A、B,则过A、B两点的直线方程为:x0·x+y0·y=r2。     

关于过任意点作一条直线平分三角形面积的猜想

1.原问题呈现.已知△ABC,P为平面内一点,求作一条直线l,使其经过P点,且将△ABC分割成面积相等的两部分.(1)当P点为边的中点时,作中线所在的直线即可.(即三角形的中线将三角形面积等分为两部分)(2)当P点为BC上任意一点,且BP≠CP时.(3)当点P在△ABC的内部或外部时,是不是一定能作一条直线平分三角形的面积?这条直线如何用尺规作出来?     

利用曲线系求解圆锥曲线中斜率和、积为定值的问题

文章利用曲线系的方法解决了过圆锥曲线上一定点P作两条斜率之和、之积为定值的直线PA、PB,证明直线AB过定点或斜率为定值的问题,并推导了一般情形.     

一道解几题引出的四组三点共线问题

现行解几教材中有这样一题“过抛物线焦点的一条直线交抛物线于P、Q两点,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴(见图1)。”对此习题,作一些深层次的探究,我们会发现如下一组令人爽心悦目的结论。1若过点Q作对称轴的平行线交准线于点M,则P、O、M三点共线。——共线(1)     

圆锥曲线的两类定值性的推广与统一

文[1]给出圆锥曲线的一个奇妙性质:过圆锥曲线Г上的一个定点P任作两条互相垂直的弦PM,PN,则直线MN必过定点(有穷点或无穷远点).无独有偶,文[2]也得到圆锥曲线的一个类似的定值性质:过圆锥曲线Г(坐标轴与曲线的对称轴平行)上的一个定点P任作两条角互补的弦PM、PN,则直线MN必有定向.     

一道中考试题的研析

正(一)问题再现(镇江市2013年中考数学第17题)如图1,A、B、C是反比例函数y=k x(k0)图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:1:1,则满足条件的直线l共有()A.4条B.3条C.2条D.1条(二)解答评析大部分解答类似如下:因为点B、C到满足条件的直线的距离相等,这样的直线有两种可能:一种是和直线BC平行,符合的有两条(如图2的直线a、b),还有一种是该直线过线段BC的中点,符合的有两条(如图2的直线c、d),综上共4条,选A.     

数学模拟试题(二)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.两条不相交的直线叫平行线B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C.在同一平面内不相交的两条射线一定平行D.与同一条直线相交的两条直线平行2.如图1所示,点O在直线AB上,OC为射线,∠1比∠2的3倍少10°,设∠1、∠2的度数分别为x、y,那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是()A.xx= yy-=1180’0B.xx= 3y=y-1180’0C.xx= 3y=y 1180’0D.x3=y=3y1-810’03.平面上有10个点,其中4个点在一条直线上,其余再无3点共线,过这些点中的任意2点作直线,总共可以作的直线…     

2014年高考数学必做解答题——立体几何

第1点空间的平行关系()必做1如图1,在空间四边形ABCD中,E是AB的中点.若G为△ACD的重心,试在线段AB上找一点F,使得GF∥平面CDE.图1牛刀小试破解思路解决本题的关键在于找出平面CDE内的一条直线和该平面外过G点的一条直线平行,或作两条平行辅助线,构成辅助平行平面     

浅谈圆锥曲线中的数形结合思想

圆锥曲线中直线和圆锥曲线结合在一起的题目较多,下文主要阐述了用数形结合思想来解决两类问题.一、直线的条数我们在学习圆锥曲线的过程中,遇到了这样的问题:例1过点A(0,2)可以作4条直线与双曲线x~2-y~2/4=1有且只有一个公共点.这个结论可以引申:平面直角坐标系中任     

利用圆锥曲线系解决高考试题

<正>1过直线交点的圆锥曲线系我们知道,平面内任意3点不共线的5点可以确定唯一的一条二次曲线,其方程可以用F(x,y)-ax²+2bxy+cy²+2dx+2ey+f=0(a²+b²+c²≠0)表示,圆锥曲线分为以下类型:(1)椭圆型(包括圆、点和虚椭圆);(2)双曲线型(包括两条直线相交);(3)抛物线型(包括两条直线重合或平行及两条虚平行直线).     

用点确定直线问题分析两例

几何是一门逻辑性强、且抽象的学科。在几何问题中往往一句话、一个字都会产生多种现象或结论。在点与直线的关系中,有一条公理:过两点有且只有一条直线。根据公理分析下面两道选择题:     

高中数学复习知识点测试题(十)

(立体几何之二)姓名一一、单项选择题《75分)1.若a上是异面直线(是a:b的公垂线,d//c,则直线d和a上的公共点的个数是()(A)一个①)两个(C)一个或两个山)最多一个2.从平面a外一点P引与0相交的直线,使得P点到交点的距离等于1,这样的直线可以作()u)两条(B)1条或无数条地)无数条(D)1条或无数条或不能作3.下列命题正确的个数是()①直线a上与平面。所成的角相等,则a//b②直线a上在平面a内的射影平行,则a夕b③直线。和平面目平行,则a和a内的任何直线都平行;④直线且上都和平面a平行,则a才b;⑤垂直于同一直线的两条直线必平行。(A)0个(B)1个(C)2个…     

抛物线中过定点的一个推广

<正>我们知道抛物线中有一个过定点定理:过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作两条垂直的直线OP、OQ分别交抛物线于P、Q两点,则直线PQ必过定点B(2p,0).如果把定理中的"顶点"改为"抛物线上一特殊点A(a,b)",那么直线PQ又会过哪个定点呢?【例题】(2013年吉安市一模考试试题)已知抛物线y2=4x上的一个点A(1,2),过A作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点,则原点O到直线