第27讲 面积法

几何图形的面积与线段、角等之间有着密切的联系，所以，用面积法不但可求各种几何图形的面积、含面积的等量关系，而且还可以证明线段相等、线段不等、角相等及比例式等多种类型的几何题．其关键是要善于根据题目的特点、分析图形的面积关系，考察几何题的结构，从中发现它们与面积之间的联系．     

有趣的等积分形问题

把一个图形按题目要求分成几个面积相等的图形,往往既是情景题又是开放题,解这类题既要有几何知识又要有丰富的想像力(imaginative power),这对培养同学们的发散思维能力、创新意识及形成用数学的意识都十分有益,现分类举例说明。     

几何证明题的三“掌握”

初学几何证明题时,同学们往往觉得有困难,这主要是因为没有掌握证明题的三个“关键点”. 一、要掌握读题、画图的技巧要认真阅读题目,弄清题目中几何术语的意义,分清题设和结论,然后根据题设、结论的内容画出图形,再结合图形在已知部分写出题设内容,在求证部分写出结论内容.例如:命题“对顶角相等”的题设和结论不明显,为了分清这个命题的题设和结论,可以将它改写成“如果……那么……”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.因此,该命题的题设是两个角是对顶角,结论是这两个角相等.这样,上述命题可以写成下面的形式:如…     

利用面积法解一类线段关系问题

几何图形的面积与线段、角、弧等有着密切关系,借助面积法,不但可证明各种几何图形中的面积等量关系,还可证某些线段相等,角的相等关系以及线段之间的比例式等多种类型的几何题．用面积法证题,关键在于利用题目的特点,分析相应图形面积之间的关系,推出几何题中相应的边角关系．下面通过实例分析,说明如何借助面积找线段关系．     

趣谈拼图问题

题 1　在下面四种正多边形中 ,由同一种图形不能平面镶嵌的是 (　　 )(辽宁省 2 0 0 3年中考题 )题 2　有以下边长相等的三种图形 :①正三角形 ,②正方形 ,③正八边形 .选其中两种图形镶嵌成平面图形 ,请你写出两种不同的选法 (用序号表示图形 ) ;或 .(江苏省徐州市 2 0 0 3年中考题 )题 3　现有足够多的全等的四边形大理石下脚料 ,能用这些大理石铺设地面吗 ?这三道题目 ,题设虽不同 ,但要求是一致的 ,都是要求根据提供的材料正确判断能否拼成平面图形 .认真分析不难发现 ,要将几个完全相等的多边形拼成一个平面图形的关键在于 ,必须满足围…     

浅谈一道反例的构造

九年义务教育初中《几何》第二册第146页有这样一题: 题 一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗?为什么? 这个题目的反例很难构造,许多同学要在教师的指导下才能作出图形。人教版《教师     

立体几何课本中一个错误的图形

六年制重点中学《立体几何》课本P101练习第二题的图形如同十年制学校高中数学课本第二册P73练习的第二题的图形一样,是一个错误的图形。原题及图形抄录于后: 把夹在两条平行线间的两个平面图形面积相等的条件,用祖暅原理的形式叙述出来。并根据矩形的面积公式,求平行四边形的面积公式。     

变形类设计题的思路

设计类问题不仅能反应出掌握知识的能力,而且对动手操作和分析问题、解决问题的能力都提了很高的要求,因此,设计类问题越来越多地出现在试题中. 其中有一类题:根据已知图形,按要求把图形变形成与其面积相等的另一个图形. 这类题不妨叫做变形类设计题,以下就变形类题设计思路举例说明如下.     

巧解多边形面积

有关多边形面积的题目具有灵活性,要解决它,一般要用到割、补、拼等技巧。例1.如图1所示,AD=10厘米,CF=12厘米,求图中长方形的BDEF的面积是多少平方厘米?分析与解:在原图上添加一个完全一样的图形,组合成一个长方形,如图2。根据长方形的对角线把长方形分成面积相等的两部分,则有:三角形ABC     

求解阴影部分的面积考题解析

求解阴影部分的面积是中考中常见的一类题.一般情况下,题目中待求面积的阴影部分都是不规则图形或无法直接用公式求出面积的图形.这类题成了数学中考中的一只“拦路虎”,难倒了不少同学.解答这类题的关键是将待求阴影部分的面积转化为易求     

求面积的常用技巧

求面积是数学竞赛中常见的问题.面积同其他数量关系一样,具有相等和不等两种关系,其中面积相等是极其重要的.在解面积问题时,我们首先要熟练掌握常见的面积公式,其次要灵活运用“等积变形”,就是在不改变图形面积的前提下,把复杂图形变成简单图形,把不规则图形变成规则图形,以便利用已知的面积公式解决面积问题.现以竞赛题为例,说明这类问题的解法.     

证明三角形全等，你准备好了吗？

证明三角形全等是初中几何的重点内容之一,那么,如何证明三角形全等呢?为正确使用三角形全等的条件,要根据题目条件,做好以下三点.一、看图形首先由题设和结论认真分析图形,准确、迅速地找出所证全等三角形的对应边、对应角.如果遇到复杂的图形,可以从中分离提取出“基本图形”加以研究.全等三角形的基本图形大致有以下三个类型:(1)平移全等型.图1所示是较简单的一种平移,即由对应相等的边在同一直线上水平移动所构成的,因此该对应边的相等关系一般是由同一直线上线段的和(或差)证得.(2)对称全等型.其特征是一个三角形沿某一直线翻折成另一…     

证明线段的积相等的两种方法

证明线段的积相等最常用的方法是利用相似三角形的性质和面积法.但在利用相似三角形的性质解题时,面对复杂的图形,要寻找合适的相似三角形会很困难.为了使大家更好地掌握解答此类题目的技巧,现举例分析如下.     

抓通性 寻通法

学生学习几何往往由于静止地孤立地观察图形,死板地片面地分析题意,造成题目解不出来.因此,我们不仅要重视知识的传授,还要重视解题思路的挖掘.我的做法是:分析题目之间的内在联系,找出通性;设计题组层次,加强变式训练,从中找出规律.例如,抓住角平分线性质定理,以“角平分线上的点到角两边距离相等”为解题线索,从静到动变换图形,结合所涉及的基本概念,找出解题规律.例1.已知点O在∠EPF的平分线上,以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B、C、D.求证:AB=CD.(见图1)这是一道基础题.作OM上AB于M,ON⊥CD于N,利用角平分线性质定理及在同圆中弦心距相等则弦相等的性质,即可得出结论.     

变形类设计题的思路

设计类问题不仅能反应出掌握知识的能力,而且对动手操作和分析问题、解决问题的能力都提了很高的要求,因此,设计类问题越来越多地出现在试题中.其中有一类题:根据已知图形,按要求把图形变形成与其面积相等的另一个图形.这类题不妨叫做变形类设计题,以下就变形类题设计思路举例说明如下.例1如图1,已知:两个连体正方形,把它分成三部分,使它们重新组合成一个正方形,用图示表示出组合方法.分析设较小正方形边长为a,较大正方形边长为b(b>a),由于组合后的图形是正方形,根据变形前后面积不变,可以求出该正方形的边长为a2+b2,如图2,在BD上取一点C,…     

一道“面积相等”问题的多种解法

本文从两个不全等的等腰直角三角形共直角顶点"婆罗摩笈多"模型出发,探究解决图形面积相等问题,以"一题多解"展开,探索基本图形的内涵与延伸.实行"一题一课"教学模式,以达到触类旁通的教学效果,让学科素养落地生根.     

巧用等腰三角形的性质进行计算

与等腰三角形有关的计算,主要是求三角形的周长、面积、角的度数等。解这类题时,要会灵活运用等腰三角形的性质及一些相关性质,如等边对等角、三角形内角和为180°等。因而,解这类题时,需要仔细审题,找出题目中直接给出的条件及隐含条件才能正确解答,很多时候认真观察图形或根据题意正确画出图形是解出这类题型的关键。     

平移、对称在平面几何证题中的运用

<正> 在证明几何题中,最感棘手的便是辅助线的添置。本文打算跟第一期中的《旋转在几何证题中的应用》一文一样,出自同一目的,谈谈辅助线的其他添置方法。一、平移与证题平移:有如下性质: 1.对应线段上的点的顺序不变; 2.对应线段相互平行,且长度相等; 3.对应角相等,对应图形所围面积相等。     

面积法在几何解题中的应用

面积法不但可探索各种图形面积的等量关系,而且还可求解某些线段的长度、证明两角相等以及比例式等多种类型的题目.下面举例加以说明.一、利用面积法求解垂线段的长度例1如图1,△ABC是等边三角形,点D     

溯本求源话等积,回归原始作“好线”

<正>一道好的数学习题,不仅要能考查学生对数学知识的掌握程度,更要能考查学生的各种数学能力.它可以给教师以灵感,给学生以启迪,对命题者而言,这才是最成功的杰作.近日,笔者在一份2011年宁波市中考数学模拟试卷上看到一题,深感其精妙,现与各位同仁分享如下.题目如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的"好线".