尺规作图的教材编排可更人性化

一、课堂再现 1．创设情境,如图1,用四根木条做的仪器ABCD,可用来平分一个角,其中,AB=AD,BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上．沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的角平分线,你能说明其中的道理吗？     

几个能平分角的仪器

怎样平分一个角?除了用量角器,还有其它办法吗?下面介绍几个在日常生活中能见到也能想到的平分角的仪器:如图1,仪器ABCD可以用来平分一个角,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上.沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.(用三角形     

数学问题与解答——2002年第5期问题解答

566.△ABC中,已知∠A=120°,AD、BE是△ABC的角平分线,求证:AB+AE=AD+BD.证:如图1,延长BA到F,使AF=AE;在     

角平分线与全等三角形的构造

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A…     

一个基本图形的应用大全

基本图形往往是问题获解的基本载体.下面就和同学们一起认识下面一种基本图形,并浏览它在解题中的不俗表现.基本图形:如图1,AD是∠BAC的角平分线,DE∥AB,交AC与点E.则AE=ED.证明:因为AD是∠BAC的角平分线,所以∠CAD     

(九)等腰三角形测试卷

一、境空题（每空4分，共44分）：1．在ABC中，若AB=AC，AD是角平分线，则AD与BC的位正关系是＿，BD与DC的大小关系是____．2．在ABC中，若AB=AC，AD是中线，则AD与BC的位置关系是_____，∠DAB与∠DAC的大小关系是___．3．在ABC中，若∠B=∠C，AD是高，则BD与DC的大小关系是____，∠DAB与∠DAC的大小关系是____．4．若等腰三角形两个角之比是1:2，则其项角的度数是_______．5如图1，D、B、C、E在同一直线上，∠ABC=60°，∠ACB=70°，AB=BD，AC=CE，则∠D=___，∠E=____，AD与AE的大小关系是＿6．若等腰三角…     

一个例题的推广与应用

本文对初中课本《几何》第一册P85例1进行剖析,作出推广,然后介绍它们的应用。目的在于启发学生思维、培养创造能力。原命题 AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径。求证:AB·AC=AE·AD。证明:如右图,连结BE。∠ADC=∠ABE=Rt∠,∠C=∠E。∴△ADC∽△ABE∴AC/AE=AD/AB,故AB·AC=AE·AD。通过证明,不难看出,问题关键在于使△ADC∽△ABE。∠C和∠E是AB上圆周     

含角平分线的竞赛题解析

与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的…     

一道平面几何题的几种证法

在数学习题教学过程中,要引导学生对一些题目用不同的思想方法,从不同的思维角度去寻找多种解法,不仅有助于培养学生灵活运用知识的能力,而且也有助于对他们发散思维的训练和创新能力的培养.例:已知AD是△ABC的角平分线,求证:BDDC=ABAC.证法一:如图1,过D作DE∥AB,交AC于E,则BDDC=AEEC.由∠1=∠2,∠1=∠3,得∠2=∠3,∴AE=DE,故AEEC=DEEC,又DEEC=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法二:如图2,过D作DE∥AC,交AB于E,则BDDC=BEAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,得∠1=∠3,∴DE=AE,故BEAE=BEDE,又BEDE=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法三:如图3,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E,则BDDC=ABAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=∠E,得∠3=∠E,故AE=AC,∴BDDC=ABAC.证法四:如图4,过B点作BE∥AD,交CA的延长线于E,则BDDC=AEAC.由∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠E,得∠3=∠E,故AE=AB,∴BDDC=ABAC.证法五:如图5,过B点作BE∥AC,交AD的延长线于E,则BDDC=BEAC...     

四点共圆的又一判定定理及其应用

<正>定理如图1,AZ是∠XAY的平分线,B,C,D分别是AX,AZ,AY上的点,且满足AB≠AD,CB=CD,则A,B,C,D四点共圆.证明因为AB≠AD,不妨设AB>AD,不失一般性.在AB上截取AE=AD,连结EC(如图1).因为AZ是∠XAY的平分线,所以△AEC≌△ADC(SAS),所以∠AEC=∠ADC,CE=CD.因为CB=CD,所以CE=CB所以∠CEB     

研究高或垂心，别漏钝角三角形

平几第二册第65页第2题: 已知:△ABC中,AB=15,AC=20,高AD=12,求角平分线AE的长。人民教育出版社出版的《教学参考书》是这样解答的:如图1,∵AD是高,AB=15,AD=12,∴BD=9,同理求得CD=16,∴BC=25。又AE平分∠BAC,∴AB:AC=BE:EC,解得 BE=75/7,∴DE=BE-BD=12/7,     

用锐角三角函数证明几何题(初二、初三)

1．证两角相等例1 已知在等腰△ABC中,∠A=90°, 在AC上取AE=1/3AC,在AB 上取AD=2/3AB,求证∠ADE =∠EBC.(04年福建南平中考) 图1 证明如图1,设∠ADE=a,∠EBC= β,AE=BD=a,则 AD=EC=2a,AB=AC=3a, 作AP上BC,EF上BC,P、F分别为垂足, 则 EF∥AP, 所以 EF/AP=CE/CA=2/3,     

课时七 综合课（1）

典型例题例1如图，ΔABC中，AB=AC，D、E分别是AB和AB延长线上的点，∠DCB=∠ECB，则AB是AD和AE的比例中项(即AB^2=AD&;#183;AE)，为什么?     

等腰三角形中关于角的一个重要结论

<正>等腰三角形是一种特殊的三角形,适当引进条件,就会得到更精彩的结论,下面的结论就是最好的体现.结论呈现如图1,等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是底边BC上一点,点E是腰AC上的一点,且AD=AE,则∠BAD=2∠CDE.证明因为AB=AC,所以∠B=∠C,根据三角形内角和定理得:∠BAD+∠DAE=180°-2∠C.     

巧解一道“希望杯”培训题(初二、初三)

题已知△ABC中,∠A=60°,AB、AC的长分别为1和2,AD平分∠A,则AD等于_______. (03年第14届“希望杯”初二培训) 1.用重合如图1,过C作CE⊥AB于E.在Rt△AEC中, ∠EAC=60°,Ac=2,所以AE=1. 图1     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

勾股定理和其逆定理的综合应用

勾股定理是初中几何的一个重要定理,它主要是用于求直角三角形的边长;而其逆定理则是用于判定一个三角形中的某一个角是直角.由此看来,勾股定理与其逆定理在应用上有着很大的不同,然而却有不少的几何问题必须非要应用两者“联手”来解决不可,现略举几例说明.一、先用勾股定理再用其逆定理解题1.求证三角形中的某一个角是直角例1如图1,已知△ABC中,AD是BC边上中线,AB=AD=1,AC=5,求证∠BAD是直角.证明:作AE垂直BC于E.因为AB=AD=1,所以BE=ED.设ED=x,则BD=DC=2x,EC=3x,在Rt△AED中,由勾股定理得AE2=AD2-ED2=1-x2,同理在Rt△…     

一道全国初中数学竞赛题的多种证法

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题的第17题如图,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE：请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD=2∠DBE;（2）AD^2-AB^2=BD．DC．     

一个例题的推论及其应用

由几何第二册P85例1知道,当AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆直径时(如图1),它除了有结论AB·AC=AE·AD外,还可以得到 ∠BAE=∠CAD 或∠BAD=∠CAE, 易证这个结论对任何三角形都成立。于是得:图1 推论 过圆内接三角形的一个顶点的高和直径,分别与过这个顶点的三角形两边所成的角相等.     

第42届IMO第五题的推广

第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且　△ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即　∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理　等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的…