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张存文 《中学数学研究(江西师大)》2003,(9):31-31
我们知道,不等式(x-a)(x-β)<0的解集为a<x<β,(其中a<β),反之,若a<x<β则有(x-a)(x-β)<0成立.这一结论用在某些不等式的证明及求解上会有意想不到的简捷. 相似文献
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在学习或复习均值不等式的证明时,我们很多学生知道均值不等式的使用关键是把握好“一正,二定,三相等”的三要素,但一触及到具体问题我们很多学生对三要素的含义往往就理解不了,使用不上,甚至有时不知道如何入题.事实上,均值不等式仅由“和,积和不等号(关键是不等号中等于号)”三部分组成,为了使同学们更灵活的理解和运用均值不等式,下面笔者谈谈均值不等式使用时的“三凑”。 相似文献
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命题 设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 : 记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a … 相似文献
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略谈一个不等式的应用 总被引:1,自引:0,他引:1
设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1 已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明 由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2 已知实数 a>1 ,b… 相似文献
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平均值不等式是“不等式”一章的重要公式,它是证明不等式的有力工具,而要学好平均值不等式显然应重在“用活”。 相似文献
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设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理 设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明 令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边… 相似文献
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陈茂轩 《中学数学研究(江西师大)》2004,(12):17-18
文[1]建立了一个新的代数不等式: 若a,b,c为不大于1的正数,n为正整数,则 1/n√1 a 1/n√1 b 1/n√1 c≤3/n√1 3√abc. 相似文献
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一个代数不等式的两种初等证法 总被引:1,自引:0,他引:1
湖北杨先义先生在文[1]中提出了一个非常有趣的代数不等式: 已知x,y,z∈R+,x+y+z=1,则 (1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3(1) 相似文献
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一个不等式的下界估计 总被引:2,自引:0,他引:2
文 [1]提出了如下猜想 :设 x,y,z∈R ,则xx y yy z zz x≤ 322 .1文 [2 ]中运用均值不等式和导数知识证明了 1式 .笔者将给出 1的左式的下界估计 :设 x,y,z∈R ,则xx y yy z zz x>1. 2证明 记 M=max{ x y,y z,z x} ,则有xx y yy z zz x>xM yM zM=(x y z ) 2M=(x y z) 2 (xy yz zx)M>x y zM >1.另证 xx y yy z zz x>xx y z yx y z zx y z=(x y z ) 2x y z=1 2 xy 2 yz 2 zxx y z >1.当 x→ 0 ,y→ 0时 ,2的左式→ 1.这说明常数 1是不等式 2的最佳下界一个不等式的下界估计@安振平$陕西省永寿县中学!7134001 刘保乾.试谈发现三… 相似文献
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