一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

不识庐山真面目 只缘身在此山中——一道好题的本质探究

一道好的数学题并不在于有多么难,而是能够充分考查解题者对数学问题本质的理解,更应该是可以成为数学探究活动的好题材,本文拟介绍这样一道好题.1.原题已知圆C₁:x²+y²=17和圆C₂:（x-2）²+（y-2）²=5的一个交点是P（1,4）,求过点P的直线l,使l被两个圆截得的弦长相等.2.原题解答2.1用代数方法求解解法1:易知直线l的斜率k存在,因此设直线l的方程为y-4=k（x-1）,即kx-y+4-k=0.设直线l与圆C₁的交点为P₁（x₁,y₁）、P₂（x₂,y₂）,直线l与圆C₂的交点     

椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质

在对圆锥曲线的研究中,笔者得到了关于椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质,介绍如下,以飨读者.图1性质1给定椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),O为E的中心,F是E的一个焦点,l是过E上任意一点P所引的切线,F在l上的射影为Q,则OQ=a.     

圆锥曲线的一个新性质的再探究

文[1]介绍了圆锥曲线的一个新性质,受其启发,笔者通过探究,发现文.[1]中的相关性质可推广到更一般的情形.性质1已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>6>0）,相应于定点F（m,0）（m|2/m.过l上任意一点P作椭圆的两条切线PA,PB,切点为A,B,过PF的中点D且平行于直线1的直线l′与PA,PB分别相交于M,N两点,记AAFM,APMN,ABFN的面积分别为S_△AFM,S_△PFM,S_△BFM,则     

一道高考题的解法、推广及启示

<正>一、试题呈现(2015年四川高考题)如图1,椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率是22=1(a>b>0)的离心率是2^(1/2)/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22(1/2)/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22^(1/2).(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系x Oy中,是否存在     

实验·观察·思考

实验一把长绳的一端固定在天花板上,另一端系上一个铁球,先把铁球拉离竖直方向一定的角度,并让它贴近自己的鼻尖,然后将铁球释放(人站在原地不动). 观察当铁球摆回来时,铁球会不会碰着鼻尖? 思考铁球为何碰不着鼻尖? 铁球的来回摆动涉及到动能和重力势能的相互转化问题.铁球在运动过程中,假若不受空气阻力(理想情况),则它的机械能总量将保持不变,此种情况下,铁球摆回时恰好碰着鼻尖,     

一个高考定值问题的推广及条件探究

题目在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C₁:2x²-y²=1,（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点,若l与圆x²+y²=1相切,求证:OP⊥OQ;（3）设椭圆C₂:4x²+y²=1,若M,N分别是C₁,C₂     

圆锥曲线中的数学思想

1.函数与方程的思想例1过点P(-3^1/2,0)作直线l与椭圆（x²/4）+（y²/3）=1相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值.分析设l:x=my-3^1/2,代入椭圆方程消去x,得（3m²+4）y²-6 3^1/2my-3=0.     

突破定势 另辟蹊径——对一道几何探究题的解法研究

<正>不久前,老师在班级"学习园地"里布置了一道几何探究题,题目如下:如图1,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC、BD为对角线,且AC=2^(1/2)AB,试探究BC(1/2)AB,试探究BC²、CD2、CD²和BD2和BD²之间的数量关系.经过一番热烈的探究,大家发现BC2之间的数量关系.经过一番热烈的探究,大家发现BC²、CD2、CD²和BD2和BD²之间的数量关系为BC2之间的数量关系为BC²+CD2+CD²=2BD2=2BD².此同学给出了如下证明.     

一道南京市高三调研试题的探究

题目(2021年南京市高三数学调研试题第21题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,F是椭圆C的右焦点,且AF=3 FB,AF·FB=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,若k(k₁+k₂)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.     

素养立意 学科育人

<正>1试题呈现(安徽中考第14题)如图1,O是坐标原点,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函数y=k/x(k>0)的图像经过斜边OB的中点C。(1)k=______;(2)D为该反比例函数图像上的一点,若DB∥AC,则OB²—BD²的值为______。2解法探究     

直线与圆锥曲线的位置关系

中点弦问题例1已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率e=3^1/2/2,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为（-a,0）,点Q（0,y₀）在线段AB的垂直平分线上,且（?）·（?）=4,求y₀的值.     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

基于POE策略的数字化实验教学——溶解氧传感器在Fe2+还原性探究中的应用

基于POE策略,将溶解氧传感器运用于Fe²⁺、Fe(OH)₂被O₂氧化的实验探究中。学生通过情境创设、提出问题、现象预测、实验探究、图像分析、建构结论,突破Fe²⁺还原性学习的难点,发展"从特殊到普遍再到特殊"的学科思想。     

一道竞赛题结论的再推广

一、原题结论及其推广题目（2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题）已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）,其长轴为A₁A,P是椭圆上不同于点A₁A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,试证明:以线段MM₁为直径的圆必过椭圆外的一个定点.推广1已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）（或双曲线（x²）/（a²）-（y²）/（b²）=1（a>0,b>0））其长轴（或实轴）为A₁A,P是椭圆（或双曲线）上不同于点A₁、A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,则以线段MM₁为直径的圆必过两定点（（a²-b²）/c,0）和（（a²+b²）/c,0）.     

例谈直线与圆的综合应用

<正>直线与圆是解析几何的基础,高考中一般考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系,也会和三角形的知识综合考查。例1过点(2^(1/2),0)引直线l与曲线y=(1-x(1/2),0)引直线l与曲线y=(1-x²)2)^(1/2)相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

浅谈椭圆的中点弦问题

<正>已知椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)与直线l相交于M,N两点,点P(x_0,y_0)是弦MN的中点,则由点差法可得直线l的斜率k=-(b2)=1(a>b>0)与直线l相交于M,N两点,点P(x_0,y_0)是弦MN的中点,则由点差法可得直线l的斜率k=-(b²)/(a2)/(a²)·(x_0)/(y_0)。这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题,解决这类问题通常用点差法。本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。例1已知椭圆(x2)·(x_0)/(y_0)。这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题,解决这类问题通常用点差法。本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。例1已知椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)的     

抛物线的一条性质在解中考题中的运用

<正>命题如图1,P是抛物线y=1/4x²-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m2-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m²-1,OP=(m2-1,OP=(m²+(1/4m2+(1/4m²-1))2-1))²)2)^(1/2)=1/4m(1/2)=1/4m²+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m2+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m²-1-(-2)=1/4m2-1-(-2)=1/4m²+1,所以PO=PH.