解析几何教材一例题解法的失误

本文剖析了吕林根、许子道同志编写的《解析几何》第三版第９３页－第９５页例４求维维安尼曲线的参数方程时，由于忽略参数θ的几何意义而导致参数θ的取值范围出现错误的根源所在，纠正了原解答中的错误，并提供了两种避免出现错误的解法。     

容易解错的反三角函数主值问题

六年制代数二册复习参考题五(A组)第237页第8题:“要把两个复数a(cosα+isinα)、b(cosβ+isinβ)的和写成复数r(cosθ+isinθ),应该怎样用a、b、α、β来表示r、θ?”由于学生反三角函数主值概念淡薄的缘故,因而用a、b、α、β表θ时,常发生错误。现对用反正切表θ的两种错误加以剖析、以防患于未然。     

空间曲线方程表示方法中的问题

吕林根、许子道等编《解析几何(第三版)》第93页中有如下的叙述:x=αcosθy=αsinθz=bθ-∞<θ<+∞,(2.4-6’)其中θ为参数,这条曲线叫圆柱螺旋线。从(2.     

异面直线上两点间距离公式的教学改进

异面直线上两点间距离公式的证明．在原《立体几何》(乙种本)第42页用了一页的篇幅。在人教社新版实验修订本《数学》第二册(下B)第50页改用向量给出新颖的证法．公式中θ为异面直线所成的角，在使用中需要确定2mncosθ前的正负号．同学们往往习惯性选取负号，不知何时选用正号，构成教学难     

从一道课本习题看三角公式之间的关系

高中数学(人教版)第一册(下)第88页题19:已知sinθ+cosθ=2/3, 求sin2θ的值．现将sinθ+cosθ=2/3两边平方,易得sin2θ=-5/9．顺水推舟,由2sinθcosθ=-5/9两边乘以-1后再加1得(sinθ-cosθ)2=14/9,解方     

对“加速度不能套用速度分解的模式”一文的商榷

最近读到本刊的2010年高中版第5期的"加速度不能套用速度分解的模式"一文,笔者觉得此文有错误之处,分述如下. 文中第(11)式am=acosθ-(-vt dθ/dt)=acosθ+vt dθ/dt有误,应该改成 am=acosθ-vt dθ/dt.     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

小议一道题的错解

北京海淀区教师进修学校主编的《高一代数辅导与练习》第125页(85年第一版)有这样一道题: 已知:sinθ=(|sint|)~(1/2),cosθ=(|cost|)~(1/2)且0≤θ≤π/2,问当实数t取何值时,θ适合     

高考数学答题失误分析

纵观近年来的高考数学答题情况,发现不少考生临场发挥不佳、失误频频·现将往届高考中的种种错误进行分析归纳,希望能对同学们有所启示·一、知识性错误1·数学概念和性质模糊不清导致错误例1设θ是第二象限角,则必有()(A)tan2θ>cot2θ(B)tan2θcos2θ(D)sin     

立几课本中两个习题的结合运用

立几课本中第33页11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线. 立几课本中第122页第3题:AB和平面a所成角是θ1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB'所成角θ2,设∠BAC=θ,求证:cosθ1·cosθ2=cosθ.(如图1)     

新教材中公式“cosθ=cosθ1cosθ2”的两类应用

新教材第九章(B)中的第44页有如下公式:cosθ=cosθ1cosθ2,它的几何解释如下:如图1,已知OA是平面α的斜线,A为斜足,OB⊥α,垂足为B,AC为α内任一直线.AO与AB所成的角为θ1(线面角);AB与AC所成的角为θ2(面内角);AO与AC所成的角为θ(面外角).     

为什么要将"右倾投降主义错误"改为"右倾机会主义错误"

在人教版《中国近代现代史》(试验修订本·必修)上册第149页中讲“以陈独秀为代表的中共中央和共产国际代表,对蒋介石、汪精卫篡夺革命领导权的活动一再妥协退让,是党在革命后期犯了右倾投降主义错误”,同时在人教版《中国近代现代史》(试验修订本·必修)下册第8页中,讲八七会议时“会议纠正了陈独秀的右倾投降主义错误”。而在2003年6月人教版《中国近代现代史》(必修)上册第137页和2003年12月人教版《中国近代现代史》(必修)下册第7页中则将“右倾投降主义错误”改为“右倾机会主义”。那么为什么要这样改,刚刚出版的《中国共产党历史》第…     

一本错误百出的语文工具书

商务印书馆(1995年北京)出版的《汉语成语小词典》(第四次修订本),是一本错误百出的工具书。一、注音错误:①不落窠臼(jù)(第26页)②不痛不痒(yāng)(第30页)③不以(yì)为然(第31页)④大处落(luó)墨(第57页)⑤凤     

公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2的妙用——利用最小角定理解高考题中的两类角

人教版高中数学第二册(下B)第43页在讲解直线和平面所成角时有如下结论:如图l所示,OA 和平面α所成的角是θ1,AC在平面α内,AC与OA 在平面α上的射影AB所成的角为θ2,设∠OAC= θ,则有cosθ=cosθ1·cosθ2(证明可参照课本)．     

一个公式的深层理解和应用

《全日制普通高级中学教科书(试验修订本)数学》第二册(下B,第44页)在研究平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,以及斜线和平面内任一直线所成的角之间的关系时,给出了二个公式:cosθ=cosθ_1·cosθ_2。就该公式的理解和应用,笔者在教学     

《轨迹问题解法分析》一文的补充和更正

本刊1983年第1期14页例4中,求得的轨迹曲线不够完备,现作如下补充。为了便于讨论,首先假定R≥r>0。若以O_1为中心,x轴沿反时针方向旋转,直到与O_1O_2重合所形成的角θ为参数,那么θ取最小值θ_1时,如图1所示;θ取最大值θ_2时,     

关于一道例题的错解

本刊接到89—10期中《迁移与转换》一文作者和江苏省建湖县钟庄中学卜以军同志来信,都对该文例4的解法提出了修正. 其主要错误在于: ∵K_(OA)·K_(OB)=bsinθ/acosθ·bsin(π/2 θ)/acos(π/2 θ)=-(b/a)≠-1.一般地,弦AC、BD并不满足互相垂直的条件,因而点B的坐标设法上是错误的,产生错误的原因是混淆了椭圆的参数方程中的几何意义与     

从一个错误答案谈起

高中数学第二册P.188,习题二十三第9题化极坐标方程为直角坐标方程的(1)小题:ρ=5tgθ在高中数学第二册教学参考书中P.217的答案是x(x~2+y~2)~(1/2)=5y。这是一个错误的答案。对于原题9(1)ρ=5tgθⅰ) 若以-ρ代ρ,同时以π-θ代θ,方程不变,即     

对一道几何光学习题答案的质疑

《新编高中物理60讲》第289页(教育科学出版社出版)和《高中物理练习》第214页(江苏教育出版社出版)中都有这样一道几何光学习题: 如图所示,ABCD表示一折射率为n的透明长方体,其四周媒质的折射率为1,长方体相对于四周的媒质为光密媒质.一单色细光束以入射角θ入射至AB面上的P点,     

条件等式cosθ=cosθ_1cosθ_2的引伸

立体几何课本第117页有一道习题:如图1,AB和平面α所成角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ(1)。此题证明并不难,利用三垂线定理和直角三角形中的边角关系,即可证得。值得指出的是可以引导学生从这个等式中学到更多的东