{1＋1/n}^n〈3（n∈N^＊）的又一种证法

不等式{1＋1/n}^n〈3（n∈N^＊）的证明通常是利用二项式定理将{1＋1/n}^n展开，然后结合不等式的放缩技巧完成．笔发现，可以利用导数对此不等式给出一种简捷的证明，其证法如下：[第一段]     

证明极限lim（1＋1／n）^n n→∞存在的三种方法

本文介绍了证明极限lim(1 1/n)^n n→∞存在的三种方法。     

不等式Пi=1^n（1/xi-xi）≥（n-1/n）^的一般化和初等证明

文[1]提出一个猜想:设xi>0(I=1,2,…,n),n≥3,n∑I=1xi=1,则∏n I=1(1/xi-xi)≥(n-1/n)n①. 文[2]用逐步调整法证明了①式.文[3]细致地探讨了①式的证明策略,用拆项法和磨光变换对①式给出了两种初等证明.     

例谈用ln（1＋x）〈x（x〉0）证明数列不等式

首先我们来证明这个不等式．求证：In（1＋x）〈x（x〉0）．证明：当x〉0时,令函数f（x）=In（x＋1）-x,有f^1（x）=ln（x＋1）-x在（0,＋∞）上是单调递减函数．f（x）〈f（0）=0,则有ln（x＋1）-x〈0,所以ln（x＋1）〈x成立。     

数列{（1＋1／n）^n}剑散性的猜想及其证明

数列{(1 1/n)^n}剑散性的猜想是显然而见的，收敛的说明又是多种多样，作者就其可常用的几种方法给予证明，并给个别证法的一个推论，促以证明e的存在性。     

用Bernoulli不等式证明数列{（1＋1／n）^n}极限的存在

通过Ｂｅｍｏｕｌｌｉ不等式证明了数列｛（１＋１／ｎ）＾ｎ｝单调有界,因而存在极限,其方法比现行数学分析教材中所给出的证明方法更为简便。     

证明limn→∞（1＋1／n）^n存在的新方法

文章利用构造不等式b^n 1-a^a 1/b-a＜(n 1)b^n(0≤a＜b)推出数列{(1 1/n)^n}是单调有界数列，从而证明了limn→∞（1 1/n)^n存在。     

不等式的证明（二）

设 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 是两组不成比例的实数,实数 x_1,x_2,…,x_n 满足sum from i=1 to n a_ix_i=0, (1)sum from i=1 to n b_ix_i=1, (2)证明 (3)题中的条件"a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 不成比例"可以省去,因为若 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 成比例,则由式(1)可得 sum from i=1 to n b_ix_i=0,与式(2)矛盾,所以条件(1)和条件(2)已隐含此意.熟悉 Lagmnge 恒等式的人立即可以看出式(3)的分母     

不等式的证明（一）

已知 x,y,z 为正实数,求证:(xy yz zx)[1/(x y)~2 1/(y z)~2 1/(z x)~2]≥9/4 (1)甲:我在一本书上看到这题的解答,看不懂,太复杂了。老师有没有简单的做法?师:左边式子很复杂,我也得试一试.乙:是不是可以设 x y z=1?师:可以这样设,但未必有什么好处,因为∑xy 是比较小的,常见的不等式都是它的上界估计,而现在     

数列{（1＋1／n）^n}收敛性的几种证法

对数列极限中的重要极限limn→∞（1＋1／n）^n的存在性，分别用二项式展开定理、贝努利不等式、平均值不等式、构造不等式等方法，给出了不同的证明。     

一个条件不等式的证明——兼擂题（63—1）解答

本刊 2 0 0 3年第 5期有奖解题擂台 (63 )中 ,邵剑波老师提出了如下一个条件不等式问题 :证明或否定 ,设a >b >c >0 ,x21a2 y21b2 z21c2 =1 ,x22a2 y22b2 z22c2 =1 ,且 (x -x1 x22 ) 2 (y -y1 y22 ) 2 (z -z1 z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 (y1-y2 ) 2 (z1-z2 ) 2 ],则x2 y2 z2 ≤a2 b2 c2 。上述问题中的结论是成立的 ,本文给出一个证明。证明　由x21a2 y21b2 z21c2 =1x22a2 y22b2 z22c2 =1知 ,P1(x1,y1,z1) ,P2 (x2 ,y2 ,z2 )是椭球面 x2a2 y2b2 z2c2 =1上的两点 ,设P1P2 的中点为P0 ,则P0 点坐标为 (x1 x22 ,y1 y22 ,z1 z…     

不等式Π^ni=1（xi＋1／xi）≥（n＋1／n）^n的简证及再推广

本给出了不等式Π^ni=1(xi 1/xi)≥（n 1/n)^n的一种简证，并对其进行了推广，同时提出更进一步的猜想。     

对数列{（1＋1/n）^n}递增有上界的新认识

高等数学《数学分析》的各种版本几乎都是利用数列{（1＋1/n）^n}严格递增且有上界来得出如下极限论中的重要极限：limn→∞（1＋1/n）^n=e.     

教学札记—关于极限limn→（1＋1／n）^n证明的一点建议

本文利用Cauchy不等式给出了极限limn→(1 1/n)^n存在的证明，说明了Cauchy不等式的重要性并摘要给出了该不等式的初等证明。     

在证明极限时对"加强"不等式的探讨

文章采用“加强”不等式的方法，即将不等式适当放大，对不同类型的极限证明进行了探讨。     

高等数学中不等式证明的常用方法

不等式的证明是高等数学中教师和学生都感到比较困难的问题,研究不等式的证明方法对提高教学质量和学生学习效率有十分重要的意义。     

应用两边夹定理，证明重要极限lim（1＋1/n）^nn→∞

设nn=（1＋1/n）^n,则极限limann→∞存在且为e,是众所周知的,该极限通常是应用 单调有界性定理证明,本文应用n个正数常用的不等式An≥Gn,应用两边夹定理,给出数列（1＋1/n）^n极限存在的证明 引理,An和Gn分别为n个正数的算术平均和几何平均,则有：An≥Gn当且仅当各正数相等时出现等号数e极限的证明通常借助于以下两个定理定理1数列an=（1＋1/n）^n＋1严格单调下降,     

例说数列不等式的证明

<正>数列型不等式的证明,其思维跨度大,构造性强,对学生的数学思维素质要求高,能很好的考查学生的学习潜能,具有很好的选拔功能,因而在近几年全国各地的高考试卷或模拟试卷纷纷出现.把这些试题放在一起比较,笔者发现其证明还是有章可循的,在高中阶段主要是四种途径可以解决,下面通过例题来加以说明.1利用放缩法证明利用放缩法证明,其中又有几种分法:1.1放缩成等比数列来求和当可以直接利用等比数列求和时,求和后放缩,否则,先将通项放缩.从某一项开始放缩后,和式转化为等比数列的和,求和后再放缩.在证明过程中从通项公式入手,观察分析,放大或缩