例谈运用判别式和韦达定理解一元二次方程技巧

一元二次方程x2＋px＋q=0,（ax2＋bx＋c=0,a≠0,可以化成这种形式）的根设为x1,x2,方程本身是一个等式,它反映的是根与p,q之间所具有的数量关系,再由韦达定理得x1＋x2=-p,x1·x2=q．     

研究解方程题的新思路

一、关于一元二次方程根与系数的新思路对于数学求解问题,最主要的解决手段是方程,而方程就需要等式,对于一元二次方程的根与系数问题,可以从方程的角度来认识,我们来看：一元二次方程：x^2＋px＋q=0,（ax^2＋bx＋c=0,a≠0,可以化成这种形式）的根设为x1、x2,方程本身就是一个等式,它反映的是根与p、q之间具有的数量关系,再由韦达定理得：x1＋x2=-P,x1·x2=q．     

利用特征根法求两类数列的通项公式

命题1：在数列{an}中,已知首项a1,且n≥2时,an=pan-1＋q（P≠1,q≠0）,则称方程x=px＋q为数列{an}的一阶特征方程,其特征根为x=q/1-q,数列{an}的通项公式为an=（a1-x）pn-1＋x．     

利用特征根法求两类数列的通项公式

命题1：在数列{a}中a,已知首项a,且n≥2时,a=pa＋q（p≠1,q≠0）,则称方程x=px＋q为数列{a}的一阶特征方程,其特征根为x=,数列{a}的通项公式为a=（a-x）p＋x. 由以上命题可知,对于递推关系形如a=pa＋q（p≠1,q≠0）的数列可以通过解特征方程x=px＋q,构造等比数列{a-x},求{a}的通项.     

方程x~4+px+q=0的根的讨论及应用

利用判别式△=b^2-4ac能判断关于x的一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况,笔者类比发现利用△4=（p/4）^4-（q/3）^3也能判断方程x^4＋px＋q=0的根的情况？不妨约定△4=（p/4）^4-（q/3）^3为方程x^4＋px＋q=0的根的判断式,可以得出下列三个结论：     

相关二次方程的一个问题

由文[1]，不妨记有一根为方程x^2＋px＋q=0，某根n次方的方程（n∈N）为x^2＋pnx＋qn=0，约定p0＋q0=1,p1=p,q1=q，则有     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

韦达定理的巧用

韦达定理,即一元二次方程中根与系数的关系,设x2-px+q=0的两个根为x1、x2,则x1+x2=p,x1·x2=q,是初等代数中的重要内容.     

用特征方程法求数列通项

特征方程法是指：在数列{an}中,给出a1,a2,且an＋2=pan＋1＋qan．其特征方程x2=z＋q的两根为x1与x2．若x1≠x2,则an=A1x1^n＋A2x2^n,若x1=x2,则an=（A1n＋A2）x1^n,其中A1、A2由初始值a1、a2求出．     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

a＋b＋c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果字母系数的和a＋b＋c=0，那么x1=1一定是方程的根，且另一根为x2=c/a；反之如果有一根为x1=1，则a＋b＋c=0．     

“根与系数的关系”的运用

知训链接：设方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1,x2,由求根公式x1=-b＋√b^2-4ac/2a,x2=-b-√b^2-4ac/2a,得根与系数的关系x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a.     

根与系数关系的几种常见应用

一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根是x1、x2,有x1＋x2=-b/a、x1x2=c/a.     

一元二次方程的根与系数的关系

例1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1．韦达定理的内容 如果ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根是x1,x2, 那么x1＋x2=-b/a,x1＊x2=c/a.     

根与系数关系的几种常见应用

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根是x1、x2,有x1＋x2=-b/a、x1x2=c/a．     

一元二次方程公共根定理及其应用

定理 二次方程a1x^2＋b1x＋c1=0和a2x^2＋b2x＋c2=0,有且仅有一公共根x0充要条件是     

未知量为正整数的二次不等式（续）

我们知道,二次函数f（x）x^2＋px＋q的值域不含负数（即f（x）≥0恒成立）的充要条件为判别式△=p^2-4q≤0,即q≥1/4p^2.     

判断充要条件的几种方法

处理充分、必要条件问题时 ,首先要分清条件与结论 ,然后才能进行推理和判断 .判断命题的充要条件通常有以下几种方法 .1 定义法根据充分条件和必要条件的定义 ,直接判断 .例 1　P∶x1、x2 是方程x2 5x -6=0的两根 ,q∶x1 x2 =-5,则p是q的什么条件 ?析 :方程x2 x -6=0的两根为x1=1 ,x2=-6,∴x1 x2 =-5,即p q ,但x1=-2 ,x2 =-3 ,满足q ,而不是方程的根 ,而q / p ,故p是q的充分不必要条件 .2 集合法①表示A为B的充分条件∵Ax∈A x∈B .②表示A为B的必要条件因为想要进入B首先要通过A .③A为B的充要条件 (边界重合 )④、⑤A为B的…     

根与系数关系在中考里的应用

我们知道,若一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为x1,x2,则有x1＋x2=-b/a;x1·x2=c/a。     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根x1、x2,那么x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系．这两个关系式的应用十分广泛．