研究性学习个案研究——曲线x2/5+y2/5=1的性质和图象研究

[提出问题 ]类比全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )第二册上第 97页“椭圆的简单几何性质” ,研究曲线Ｃ :ｘ25 +ｙ25 =1的几何性质并画图 [分析问题 ]1　范围由方程Ｃ可知 ,曲线Ｃ上点的坐标 (ｘ ,ｙ)都适合不等式 ｘ25 ≤ 1,ｙ25 ≤ 1,ｘ2 ≤ 1,ｙ2 ≤ 1,｜ｘ｜≤1,｜ ｙ｜≤ 1.说明曲线Ｃ位于直线ｘ=± 1,ｙ =± 1所围成的正方形里 2　对称性在曲线Ｃ的方程里 ,如果以 -ｙ代 ｙ方程不变 ,那么点Ｐ(ｘ ,ｙ)在曲线Ｃ上时 ,它关于ｘ轴的对称点Ｐ′(ｘ ,- ｙ)也在曲线Ｃ上 ,所以曲线Ｃ关于ｘ轴对称 同理 ,如果以 -ｘ代ｘ方程…     

研究性学习个案研究——曲线x2/5+y2/5=1的性质和图像研究

“研究性学习是学生在比较广泛的教育资源的背景下所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动”.1而类比则是研究性学习的一个方面 .波利亚指出 :“类比是某种类型的相似性……是一种更确定的和更概念性的相似 .”2 波利亚在此所说的“相似性”,是指对象在某些方面的一致性 ,而类比则是指可以清楚定义的一致性 ,由此 ,按照波利亚的观念 ,应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的含糊认识说清楚 .1　提出问题类比全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 .必修 )第二册上第 97页“椭圆的简单几何性质”,研究曲线 x25+ y25=1的几何性质…     

关于∑cos^5A／2的上,下限

继「１」，「２」，探讨并解决ｎ＝５时，ΔＡＢＣ中∑ｃｏｓ＾ｎｂＡ／２的上、下限问题，建立新的几何不等式１＋√２／４〈∑ｃｏｓ＾５Ａ／２〈２，同时解决了ｎ＝７时的上限问题。     

直线方程x0x／a^2—y0y／b^2=1几何意义

文 [1][2]研究了当点P(X0,Y0)分别在圆和椭园上及其内部、外部时，直线方程x0x/a^2 y0y/b^2＝1的几何意义，本文将探讨点P(x0,y0)分别在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1上及其内部，外部时，直线方程x0x/a^2-y0y/b^2＝1的几何意义，并给出了它的一些实际应用。     

抛物线几何性质及其应用

类比椭圆、双曲线的几何性质,我们可从抛物线的标准方程y2=2px(p>0)来研究它的几何性质.一、几何性质怎样由抛物线的标准方程来确定它的几何性质呢?以y2=2px(p>0)为例,请看以下表格.     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

建立坐标系解决直线应用问题

遇到平面几何问题(几何或几何应用问题)时,一般有两种思路.一种是纯几何的思路,即充分挖掘几何性质,利用已知定理、公式(利用公式可建立函数关系)来解决;另一种是解析几何的思路,即建立曲线(图形)的方程,利用方程的代数性质来研究图形的几何性质.直线和圆及它们的方程是新课程高考的热点内容,请同学们阅读下面两篇文章,关注并重视这两类问题.     

函数y=a／sin^2kx＋b／cos^2kx的最小值问题

本文利用几何－算术均值不等式对ｙ＝ａ／ｓｉｎ＾２ｋｘ＋ｂ／ｃｏｓ＾２ｋｘ最小值进行讨论，给出了最小值的统一公式。     

2ep的几何性质

在圆锥曲线中,三个基本量a、b、c都有明确的几何意义,与此相关的一些量也有明确的几何意义,如c/a=e为离心率,b2/c=p为焦点到相应准线的距离,2a2/c为两条准线间的距离等.有时利用这些量的几何意义解决某些问题十分方便.在探究中我们还发现2ep也有明显的几何意义,请看它的几条性质:     

2ep的几何性质

在圆锥曲线中，三个基本量α、b、c都有明确的几何意义，与此相关的一些量也有明确的几何意义，如c/α=e为离心率，b^2/c=p为焦点到相应准线的距离，2α^2/c为两条准线间的距离等．在探究中我们还发现2ep也有明显的几何意义，请看它的几条性质：     

秩2投影集的几何结构

Wigner定理指出Hilbert空间中秩1投影集上的等距满射由酉算子或反酉算子导出,Geher与Semrl将Wigner定理推广到了秩k的情形. Geher与Semrl在证明过程中利用了秩k投影集的几何性质刻画投影的正交性.讨论了4维空间H上秩2投影集P₂(H)的几何结构,指出P₂(H)中两两距离为1的投影至多有6个.     

解a^2／b^2=c／d型几何题的常用方法

在几何中，形如a^2/b^2=c/d的题目是比较复杂的成比例问题．因为等式两边是不同次幂的比，学生在解这类题时往往感到很困难，而在历年的中考试题中经常出现此类问题，下面举例说明解决这类问题的策略和方法，供大家参考．     

高等数学(下)的基本要求及练习题(2)

第十一章 重积分一、基本要求1、了解二重积分定义,理解其几何意义.会用二重积分求简单几何体的体积.知道二重积分的线性性质和区域可加性质.     

数学

正一、试题分析201 3年课标卷数学理科20(文科21)题与近几年的高考题类似,重点考查圆及其几何性质、椭圆的定义及其几何性质以及直线与曲线的位置关系,突出圆的几何性质应用。尽管题目整体难度不是很大,但对学生利用定义求方程、结合圆的几何性质解决问题及数形结合等能力要求较高,考生得分仍然不理想,依然是学生突破高分的一个"瓶颈"。二、学生答题情况与问题分析1.基本概念不过关,定义应用意识不强考生a第(Ⅰ)问的解答:     

《数学爱好者》高二2007年第7-12期编辑计划

期数7月号8月号9月号10月号11月号知识点不等式的性质、算术平均数与几何平均数、不等式的证明、不等式的解法举例、含有绝对值的不等式、(不等式)小结与复习直线的倾斜角和斜率、直线的方程、两条直线的位置关系、简单的线性规划曲线方程、圆的方程、(直线与圆的方程)小结与复习椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质、双曲线及其标准方程、双曲线的简单几何性质抛物线及其标准方程、抛物线的简单几何性质、第八章(圆锥曲线方程)小结复习栏目12月号期末复习专号包括:考点导航(分为1.考点知识归纳,2.考点题型精析);备考复习(有关这学期的综…     

圆锥曲线

一、目标指引1.理解椭圆(中心在坐标原点)、抛物线(顶点在坐标原点)的标准方程和几何性质(范围、对称性、顶点、准线和离心率),了解双曲线(中心在坐标原点)的标准方程和几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线和渐近线);     

圆在求条件最值问题中的妙用

一直接利用已知圆问题直接与圆有关,可利用圆的几何性质,采用数形结合去处理。例1 已知P在椭圆x~2/25+y~2/16=1上移动,Q在圆     

几何中的计数问题

(本讲适合初中)所谓几何计数问题,是指具有某种性质(或结构)的点有多少个,线段有多少条,区域(如三角形、正方形、矩形、圆等)有多少块,有时还要讨论这些数字的界限值以及由此产生的几何性质.显然,这与     

浅谈定积分性质的几何意义

本文应用定积分的几何意义对定积分的五个性质进行几何分析,浅谈了这些性质从几何角度上的理解以及它们的几何意义。     

简单的几何计数问题

近年来数学竞赛中经常出现几何图形的计数问题,所谓几何计数问题,是指具有某种性质(或结构)的点有多少个、线有多少条、区域(如三角形、圆)有多少块,有时还要讨论这些数字的界限值及由此产生的几何性质。综