浅谈正(余)弦函数单调性的应用

<正>三角函数一直以来都是高考的重点,而正弦函数y=Asin(ωx+φ)或余弦函数y=Acos(ωx+φ)是三角函数中较为常见的形式。正弦函数的单调性主要可分以下两种情况来讨论:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把(ωx+φ)看作一个整体。比如:由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间;由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2     

利用三角函数的图象特征解题

在求解三角函数有关问题时,如果能利用三角函数的图象特征解题,将起到事半功倍的作用.下面举例说明.例1如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π8对称,那么a=.解析:利用正弦余弦函数的图象当自变量取对称轴时函数值取得最大或最小值这一特征得:|sin2.π8+acos2.π8|=a2+1=|22+22a|,解得a=1.例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(A>0,ω>0,-π<φ≤π)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22),与x轴在原点左侧第一个交点为N(-1,0),求函数f(x)的解析式.图1解析:由y=sinx的图象可知,从图象与x轴的交点到达图象最高点(在同…     

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=     

研究怎样求三角函数的角与解析式提高解题能力

一、求有关角例1如图1,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的一段图象,试求它的一个解析式.解由图象易见它的振幅A=2.又由周期T=2π/ω=2(5π/4-π/2)=3π/2,得ω=4/3.此时已得到y=2sin(4/3x+φ)(*).以下是求初相角φ的几种不同方法.方法1(直接代点法)图象过点(π/2,0),可直接把这点坐标代入式子(*)中,有sin(2π/3+φ)=0.但注意到点(π/2,0)是在图象递减的那段上,故有2π/3+φ=2kπ+π(k∈Z).又题目中要求|φ|<π/2,故上式可取k=0,得     

由函数图象确定初相“φ”的四种策略

<正>由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象确定其解析式,是三角函数图象教学中的一个重要组成部分,既是重点又是难点,也是进行逆向思维训练的极好题材,因此在各类考试中常出现φ值的确定和求法.由于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对应关系是"多对一"的映射,为了突破难点,笔者给     

y=Af(ωx+φ)+B型函数的变换作图及原理

y =Af (ωx +φ) +B型函数是高中数学中最普遍的一类初等函数 ,其图象可由基本初等函数 y =f ( x)的图象经过平移和伸缩变换得到 ,从而为把握这类函数图象的基本特征、数形结合解决问题提供“形”的基础 .下面就平移与伸缩变换的实质 ,以及变换程序的改变对变换的量的影响作一些必要的分析 .一、经验总结我们已经知道 ,课本利用三角函数的周期性和“五点法”作出了函数 y =3sin( 2 x +π3)的图象 ,并通过观察、比较和分析 ,总结出了“函数 y =Asin(ωx +φ) ,( A>0 ,ω >0 ) ,x∈ R的图象可以看作是用下面的方法得到的 :先把 y =sinx图象…     

函数图象的对称性问题

函数图象的对称性反映了函数的特性 ,是研究函数性质的一个重要方面 ,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。现将其系统归纳出来 ,以便对此有一个比较清晰的认识。一、同一个函数本身的对称性1.二次函数 y=ax2 + bx+ c(a≠ 0 ,且 a、b、c∈ R)的图象关于直线x=- b2 a对称。2 .奇函数的图象关于原点对称 ;偶函数的图象关于直线 x=0 (即y轴 )对称。3.函数 y=Asin(ωx+ Φ)的图象的对称中心是点 (kπ-Φω ,0 ) ,对称轴是直线 x=1ω(kπ+ π2 -Φ ) (k∈ Z)。函数 y=Acos(ωx+ Φ)的图象的对称中心是点 …     

三角函数最值的几种求法

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…     

怎样求初相角

求初相,要根据具体条件而定,大体有以下思路.1.利用图象与函数式间的联系例1已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)图象的一个最高点(2,(?)),由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6,0),求φ的值.     

利用基本三角函数求周期

周期性是三角函数最重要的性质之一，我们知道三种基本函数y=Asin(ωx+φ)+b、y=Acos(ωx+φ)+b、y=Atan(ωx+φ)+b(A≠0，ω)&;gt;0，φ，b为常数)中系数A，φ，b对于三角函数的周期没有根本的影响，因而考虑y=sinωx、y=tanωx两种最基本函数的周期即可。利用周期的定义，结合三角函数图象，设法化为最基本三角函数的周期，是求(或证明)三角函数周期最基本的方法。     

两类三角函数的奇偶性问题

在三角函数部分经常遇到函数奇偶性问题,本文研究了y= Asin(ωx ψ)y=Acos(ωx ψ)(A、ω、ψ为常数)以及y=asinx bcosx(a、b为常数)型函数的奇偶性,给出了一种解决这类函数奇偶性的方法。1.函数y(?)Asin(ωx ψ)(A、ω、ψ为常数)的奇偶性。(i)若y=Asin(ωx ψ)为奇函数。根据诱导公式只需ψ=kπ(k∈Z)。因为当k=2n(n∈Z时),y=Asin(ωx ψ)=Asinωx为奇函数。当k=2n 1(n∈Z时,y=Asin(ωx ψ)=-Asinωx为奇函数。) (ii)若y=Asin(ωx ψ)为偶函数,根据诱导公式只需     

对函数y=Asin(ωx+φ)的图象几个问题的思考

<正>一、教材摘要北师大版高中数学4(必修)第一章第8节"函数y=Asin(ωx+φ)的图象"的主要内容是函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、与函数y=sinx之间的关系、函数图象的变换.本节重点:由y=sinx通过图象变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象;函数     

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(高一、高二、高三)

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象在物理学,工程技术和日常生活中有比较广泛的应用.就此列举三例.     

例谈三角函数y=sin(ωx+φ)中对称轴类问题的解题方法

由于三角函数y=Asin(ωx+φ)是由正弦函数y=sinu和一次函数u=ωx+φ复合而成的,而正弦函数y=sinu的对称轴是u=kπ+π/2(k∈Z),它的对称轴总是经过图像的最高点或者最低点.所以解决函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴问题应从正弦函数的对称轴方程或函数关于直线对称的性质着手寻找解题思路.     

《函数y=Asin(ωx+ψ)的图象》教学设计

通过学生对函数y=sinx到函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会由感性到理性,由特殊到一般的划归思想;通过对周期变换,平移变换先后顺序的不同对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题;通过对参数A,ω,φ的分类讨论,让学生认识图象变换与函数解析式的内在联系。     

剖析三角函数图象中的五种常见错误

一、求函数解析式时忽视作图法而致错例1函数y=3sin(ωx φ)(ω>0,φ[0,2π))的图象如图所示,试求函数y=3sin(ωx φ)的表达式.错解:由图象知,周期T=2!56π-π3"=π,所以ω=2Tπ=2,即y=3sin(2x φ),而当x=π3,y=0,即0=3sin(2×π3 φ),得23π φ=kπ(k Z),取k=0时,φ=-23π(不合题意);取k=1时,φ=π3;取k=2时,φ=43π,故所求的函数表达式为y=3sin(2x π3)或y=3sin(2x 43π).剖析:在利用“五点作图法”画函数图象时,图象中五个关键点的横坐标自左到右分别是由ωx φ取0、π2、π、32π、2π解得的.三个函数值为零的点自左到右对应的ωx φ…     

一道三角函数问题的错解分析

题目右图是函数y=Asin(ωx φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象.由图中条件,写出该函数的解析式.错解:由图知A=5.由2T=52π-π=32π,得T=3π.∴ω=2Tπ=32.∴y=5sin32x φ,将(π,0)代入该式得5sin23π φ=0,解得23π φ=kπ,φ=kπ-23π(k∈Z).由|φ|<π,得φ=-23π或φ=3π.∴y=5sin     

条件“A＞0，ω＞0”是否多余

题目已知函数y=Asin（ωx+（?））,x∈R（其中A>0,ω>0）的图象在y轴右侧的第一个最高点（函数取最大值的点）为M(2,2 2^1/2),与x轴在原点右侧的第     

初相角有没有取值范围——从教科书例题解答过程的省略谈起

题 普通高中课程标准实验教科书《数学4(必修)》(人教社A版)第60页例1:如图,某地一天从6 ～ 14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这一天6～14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 教科书对第(2)问的解答:从图中可以看出,从6～14的图象是函数y=Asin(ωx +φ)+b(*)的半个周期的图象,所以A=1/2(30-10)=l0,b=1/2(30+10)=20.因为1/2·2π/ω=14-6,所以ω=π/8.将A=10,b=20,ω=π/8,x=6,y=10代人(*)式,解得φ=3π/4.     

由图定φ

根据函数y=Asin(ωx φ)的图象特点,有下列几种确定φ的方法.一、最值法利用函数的最值,得一个特殊的三角方程,解得φ.例1如图1,是函数y=Asin(ωx φ) B(A>0,ω>0)的图象的一部分,求y的表达式.解:由图可见,T/2=4,T=8=2π/ω,得ω=π/4.又A=2,所以y=2sin(π/4x φ) 2.当x=-2时,ymax=4,