一元二次方程

实系数一元二次方程是初中代数的重要内容之一.根据新大纲要求,我们必须了解有关概念、理解性质、掌握解法,并能灵活应用.☆基础篇课时一一元二次方程及其解法 诊断练习1.填空题(1)当a=__时,关于x的方程(a-4)xa2-14-4ax+5=0是一元二次方程. (2)方程的二次项系数是__,一次项系数是__,常数项是     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

解读一元二次方程

一元二次方程是初中数学的重要内容之一,应用十分广泛.为了帮助同学们学好这部分内容,现将一元二次方程的考点内容归类分析,谈谈学习一元二次方程时应注意的几个问题.一、注意一元二次方程ax~2+bx+c=0的隐含条件(二次项系数a≠0和二次方程有实根的条件判别式△≥0)     

解一元二次方程的常见错误

在解答一元二次方程的问题时,常因考虑问题不全面而出现错误,现把常见的错误加以分析,希望你能从这些错误中吸取教训,从而避免犯类似的错误. 一、忽视二次项系数a≠0 例1 (2014年白银卷)若一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a=_____. 错解:将x=0代入原方程,得a2-1=0,解得a=1或a=-1. 剖析:已知方程是一元二次方程,隐含了二次项系数a+1≠0,即a≠-1,所以a=1.     

课堂教学的实效性及其目标探讨

1　一个真实的课案有机会听了一位青年老师的课 ,课题是用公式法解一元二次方程 .课题从一元二次方程的一般形式ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )入手 ,用配方法得到求根公式 ,老师讲解得很严谨 ,注意到了二次项系数不为零、判别式要大于或等于零 .讲完一般形式 ,老师讲了两个例题 ,概括出解一元二次方程的三个步骤 :( 1 )将原方程化为一般形式 ;( 2 )指出各项系数的值 ,计算b2 -4ac;( 3 )若b2 -4ac≥ 0 ,将各项系数的值代入求根公式x=-b±b2 -4ac2a 中 .紧接着 ,老师又分别分析了当判别式大于零和等于零时解的情况 ,强调判别式小于零时方程无解 .然…     

归类分析初中数学中的易错点

<正>一、关于0和负数1.规定次数的整式中,最高次项系数不能为0;方程中的非常数项系数不能同时为0.如:一次函数y=kx+b,k≠0;函数y=kx+b,k可以为0.一元二次方程ax²+bx+c=0,a≠0;方程ax2+bx+c=0,a≠0;方程ax²+bx+c=0,a可以为0,但a、b不能同时为0.2.一元二次方程与二次函数中,Δ的取值范围根据具体情况确定.     

有关一元二次方程的九个问题

一、辨别一元二次方程例 1　方程x4+ax3-x2 +a2 -1 =0是否是一元二次方程 ?如果是 ,指出各项系数 ;如果不是说明理由 .解　当x为常数时 ,此方程是关于a的一元二次方程 ,化为一般形式是a2 +x3a+x4-x2 -1 =0 ,其中二次项系数为 1 ,一次项系数为x3,常数项为x4-x2 -1 .二、判别根的情形例 2　判别关于x的方程k2 x2 -( 2k+1 )x+1 =0的根的情况 .解　当k =0时 ,方程变为 -x +1 =0 ,原方程只有一个实数根 1 ;当k≠ 0时 ,∵Δ =[-( 2k+1 ) ]2 -4k2=4k+1 .∴当k>-14 ,且k≠ 0时 ,原方程有两个不相等的实数根 ;当k=14 时 ,原方程有两个相等的实数根 ;…     

重在基础 突出能力——中考一元二次方程题赏析

一元二次方程是中考命题的“重头戏” .近年来 ,围绕着“重在基础 ,突出能力” ,中考试题出现了一些精彩的一元二次方程题 .现举几个典型的例子加以说明 ,供同学们学习时参考 .一、设有隐含条件的二次方程解决此类问题要注意 :1 用判别式时不可忽视二次项系数不为零这个隐含条件 ;2 用韦达定理时不可忽视二次项系数不为零和二次方程有实根的隐含条件Δ≥ 0 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程 4ｍ2 ｘ2 (8ｍ 1 )ｘ 4=0有两个不相等的实数根 .(1 )若所给方程的两实数根的倒数和不小于 -2 ,求ｍ的取值范围 .(2 )ｍ为何值时 ,此方程的两个…     

导数和方程根的个数

<正>一次方程ax+b=0(a≠0)与二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数与系数的关系,我们都很清楚.对于大于二次的高次方程根的个数的讨论并没有现成的公式.方程     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

含字母系数的一元二次方程常见错解剖析

一元二次方程是初中代数的重要内容,然而很多同学由于受思维定势的影响,往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件,致使解答陷入误区.具体表现主要有以下几方面:一、忽视二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大例1已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实根,求a的取值范围.错解:因为方程有实根,所以Δ≥0,即4(a+2)2-4(a2-1)≥0,解得a≥-45.剖析:由一元二次方程的定义知:a2-1≠0·而上述解题过程恰恰忽略了这一点,正确解法应为:依题意得:a2-1≠0Δ=4(a+2)2-4(a2-1)≥0解得a≥-54且a≠±1.(注:例1等价于:已知关于x的方程(a…     

重在基础突出能力尝试创新——中考一元二次方程题赏析

一元二次方程是中考命题的“重头戏”,近年来 ,围绕着“重在基础 ,突出能力 ,尝试创新”,中考试题中一元二次方程新题型精彩纷呈。一、设计有隐含条件的一元二次方程问题解决此类问题要注意 :1.用判别式时不可忽视二次项系数不为零这个隐含条件 ;2 .用韦达定理时不可忽视二次项系数不为零这一隐含条件 (a≠ 0 )和二次方程有实数根这一隐含条件 (△≥ 0 )。例 1.已知 x1、x2 是关于 x的方程 (m - 1) 2 x2 - (2 m - 5 ) x+ 1=0的两个实数根。(1)若 p=1x1+ 1x2,求 p的取值范围 ;(2 )问 x1、x2 能否同为正数 ?若能同为正数 ,求出相应的取值范围 …     

含有字母系数的一元二次方程错解例析

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是初中数学的重点内容.解含有字母系数的一元二次方程时,常常会因对字母系数考虑不周,或对判别式运用不当而产生错误.例1求证:关于方程mx2-(m+2)x+1=0有实数根.错解:当m≠0时,Δ=[-(m+2)]2-4m=m2+4,∵m2≥0,∴m2+4>0.即原方程有两个不相等的实数根.分析:含有字母系数的方程不一定是一元二次方程,所以二次项系数也可能等于0,即应对二次项系数进行分类讨论.应补充:当m=0时,原方程变为-2x+1=0,此方程只有一个实数根x=12.例2关于x的方程mx2-(2m+1)x+m=0,有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:根据题…     

解字母系数方程的注意事项

解答一元二次方程问题,初学者的错误主要出现在含有字母系数的一元二次方程这类题目中。所以,历年来各地的中考试卷常常在此设置“陷阱”。为此,本文提出几点注意事项。 1.如果题目中指明是二次方程或有两个实数根,应注意二次项系数不能为零 例1 a为何值时,方程a~2x~2 (2a-1)x 1=0有两个实数根。     

这样的“配方法”更好——评用“配方法”解一元二次方程a~2+bx+c=0(a≠0)

“配方法”是初中代数中的一种重要的解题方法 ,人教版初中《代数》第三册第 13页给出了用“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的过程 ,由此可以归纳为四个步骤 :1.方程两边都除以二次项系数2 .把常数项移到方程右边去3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方4.把方程左边化为完全平方式 ,如果方程右边是非负常数 ,那么再运用“直接开平方法”求解 ,这是一种“传统”的“配方法” ,事实上用下面的“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )更好 .解法一　把方程的两边都乘以ａ ,得ａ2 ｘ2 +ａｂｘ+ａｃ =0 ,移项…     

一元二次方程及列方程解应用题的教学要求及练习

教学要求:(1)使学生理解一元二次方程的概念及一般形式ax~2+bx+c=0(a≠0)中各字母的意义,牢固掌握一元二次方程的三种解法及其根据,熟练、合理地解一元二次方程.(2)使学生理解一元二次方程根的判别式的概念;一元二次方程根与系数的关系;熟练地根据判别式和根与系数的关系讨论一元二次方程根的情况,求解与此有关的问题;能运用求根的方法分解二次三项式以及解决其他有关问题.(3)熟练地解可化为一元二次方程的特殊高次方程、分式方程和根式方程,掌握配方法、换无法、因式分解法和解这类方程的完整步骤,明确增根的道理,熟悉验根方法.(4)明确可解的二元二次方程组的几种简单类型,     

读者来信

编辑同志:初中数学第四册第十八页有这样一道练习题:m 取什么值时,方程(m~2-2)x~2-2(m+1)x+1=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根?教学参考书的答案,忽视了“一元二次方程定义中的二次项系数不等于零”这一条件。正确的答案应为:     

巧用二次方程解求值题

一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).在许多条件中,含有一元二次方程或变形后含有一元二次方程的求值题,有时并不需要解这个二次方程,而只需利用所给方程的形式或变形作代换,即可使问题得到圆满解决.现举例说明.     

一元二次方程题型全貌

一◆一、概念题1.一元二次方程(m-1)x2-3x-2=0 ,其中二次项为,二次项系数为,一次项为_______,一次项系数为,常数项为.(我们首先要做的事情是确定m-1≠0,即m≠1)2.关于x的方程mx2 - nx - mx + nx2 = p,(m+n≠0)可整理为,则二次项为,一次项为,常数项为.而二次项系数为,一次项系数为.3.AB=0圳A = 0或B = 0.请用语言表达其含义:.4.不解方程,判断下列方程实根的个数①x(x-1)+3=0,②x2 - 22姨x+2=0,③23x2- 6=2x.5.一元二次方程2x2 - 3x + 4 = 0,两个根分x1x2 = .◆二、基础题6.用4种不同的方法解方程(x - 2)2 - 4(x +7.…     

构造二次式,解数学竞赛题

利用构造法解题,是较长一段时间来各类数学杂志讨论的热门。笔者认为,这些讨论对于训练思维、培养观察、联想、综合分析能力、提高解题水平,无疑是有益的。本文试图从二次式这一个角度,用构造法探求数学竞赛中有关问题,供同行们参考。二次式通常指二次方程、二次函数及二次不等式等,其主要性质有: Ⅰ.若实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有实数解,则△=b~2-4ac≥0,x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a,反之变然, Ⅱ.二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),