古典几何中的动力系统问题（续6）

6 垂足三角形的几何极值性质 由于垂足三角形所生成的序列是有丰富内容的混沌序列,由垂足三角形生成的分形又推广了传统的谢尔宾斯基三角形.对垂足三角形的进一步详细研究无疑会使我们对它产生的动力系统和分形有更全面的认识,在这一节我们介绍垂足三角形的两个与几何极值有关的性质.     

古典几何中的动力系统问题（续3）

4 混沌的三角形序列 以上所有的例子,三角形序列或多边形序列都是收敛的,而且一旦几何变换给定之后,序列的极限就已经被确定了,不管我们最初开始的图形是怎样的.然而真正有意思的动力系统是那些多样化、复杂化、什么情形都有可能出现的系统,而且每个序列或轨道的性质都敏感地依赖于初始图形的选取.人们把这一类的动力系统叫做混沌的动力系统.那么,看似简单的初等几何(我更倾向于称之为古典几何)有没有这样复杂、混沌的动力系统的例子呢?有!这就是我们早已熟悉的垂足三角形序列.从前面第二节的例子中我们已经清楚:     

垂足三角形与原三角形的一些关系

所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、     

垂足三角形序列

我们知道,凡不是直角三角形的三角形都有它的垂足三角形,(本文下面所涉及的三角形都不是直角三角形)。垂足三角形的形状及大小由原三角形完全确定;如果垂足三角形不是直角三角形,那么它的垂足三角形又被完全确定下来;…。这样下去,可得到一系列由原三角形完全确定的垂足三角形。(如下图)△A_1B_1C_1是△ABC 的垂足三角形;△A_2B_2C_2是△A_1B_1C_1的垂足三角形;…△A_(n+1)B_(n+1)C_(n+1)是△A_nB_nC_n 的垂足三角形;…。我们称△A_1B_1     

垂足三角形的几个有趣不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.由于直角三角形的垂足三角形退缩为一条线段,所以只需要研究锐角三角形与钝角三角形两种情况.文[1]得到了垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式.本文将给出有关面积、周长、边长的三个等式,由此得到几个似曾相识的不等式.引     

从垂足三角形谈起

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的原三角形的内接三角形称为原三角形的垂足三角形,它的一个有意义的特点是:原三角形的三条高恰为垂足三角形的三条内角平分线.后来,有心人对此深入细致地研究,发现这里有一个问题:是由三条高的条件整体上决定它们恰是垂足三角形的三     

椭圆的“顶焦点三角形”性质探究

在椭圆中,我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形,类似地,我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形.在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特     

古典几何中的动力系统问题

前言 有关动力系统的研究至少可以上溯到十七世纪牛顿在运动方程组方面的工作.上世纪七十年代中期以后,由于计算机技术的日新月异,以及关于混沌、分形的研究使得越来越多的人希望了解动力系统,特别是混沌的动力系统.在许多人看来动力系统研究属于高等数学的范畴,似乎与中学数学学习的内容有很大的距离.事实上,在我们所熟悉的古典几何中有许多动力系统的问题,只是人们尚不习惯把它们称作动力系统罢了.在这里,我想通过一些具体的实例说明:古典几何中的许多问题为人们了解动力系统的概念和思想提供了直观易懂的模型;同时动力系统的方法与结果也反过来为古老的几何学注入新的活力,提供新的研究方法和手段.     

一个有趣的几何不等式

本将给出三角形及其垂足三角形外接圆半径与原三角形面积之间的一个有趣的几何不等式．     

古典几何中的动力系统问题（续4）

C.基本公式 从现在起,为了叙述方便,我们用A1,A2,A3来表示初始三角形T0的三个内角A0,B0,C0,用A1n,A2n,A3n来表示T0的第n个垂足三角形Tn的三个相应的内角.由前面公式(2)和(3)我们有     

怎样证明两条边相等

在几何证明中 ,经常要遇到证明两条边相等的问题 ,学生有时无从下手。本文试图结合实例 ,对证明两条边相等作些探讨。一、两条边若不在同一个三角形中 ,可通过两个三角形全等来证明两条边相等例 1.圆内接四边形ABCD的外角∠ DCH =∠ DCA,DP⊥ AC,垂足是 P,DH⊥ BH,垂足为 H,求证 :(1) CH=CP　 (2 ) AP=BH分析 :要证明 CH=CP,我们发现它们分别在两个三角形△ DCH和△ DCP中 ,只要证明两个三角形全等就可以了。那么要证 AP=BH,这两条线段不在同一个三角形中 ,我们也应首先考虑全等。连结 BP,可把 AD、BH放在△ ADP和△ B…     

“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

由一个简单结论引出的一组有趣性质

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的三角形称为原三角形的垂足三角形.经研究发现,垂足三角形有如下性质.性质设AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,D、E、F分别为三个垂足.则AD平分∠FDE、BE平分∠FED、CF平分∠EFD.证明如图1,设AD与BE交于点H.则B、D、H、F四点共圆.故∠FBH=∠FDH.     

浅谈平行辅助线

在几何证明题中，如果图形过于复杂或过于简单，往往很难看出所给条件和要证的结论之间的因果关系，给我们分析问题和解决问题带来很大的困难。如果我们能够合理地添加辅助线，就可以起到引线搭桥，承上启下，化难为易的作用。笔者从多年的教学中，得出做辅助线以平行线辅助线最为常用，并且最多也最重要，以下举例说明之。例1：如图（l）在rtABC中，AB＝3AC，ZA的平分线交BC于以过B作BE上AD，垂足为E，求证AD＝DE［分析］：从图上看AD与BE所在的三角形并不全等，我们可以添加一条适当的辅助线，构造出新的三角形，证它们全等，问…     

等边三角形填充曲线的符号表达式

从分形曲线的相关性质出发,运用动力学符号系统,给出了一种分形等边三角形填充曲线的符号表达式,同时研究了此等边三角形填充曲线的分形性质.     

浅探垂足三角形的性质

<正>以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形,垂足三角形和原三角形之间存在很多特殊的数学关系,下面我们就来浅探其中之一二。一、构建垂足三角形如图1所示,△ABC是锐角三角形,AD、BE、CF是三角形的三条高,三条高相交于点H,连接DE、EF、FD,△DEF构成垂足三角形。     

关于重心的垂足三角形的性质

设P为△ABC所在平面上的任意一点，A＇，B＇，C＇分别为P到BC，CA，AB各边所作垂线的垂足，则△A＇B＇C＇称为△ABC关于P点的垂足三角形.关于三角形与其垂足三角形面积之间的关系，文［1］，［2]等已给出讨论.但对于象周长、外接圆半径、内切圆半径等不变量，三角形与其垂足三角形之间有什么关系，在作者所见到的国内外文献中均未发现一般性的结论.对于特殊情形，当P为锐角三角形的垂心时，作者在［3］中得到了锐角三角形与其关于垂心的垂足三角形的不变量之间的若干关系式；当P为三角形的内心时，莫颂清在［4］中进行了相应的讨…     

广义垂足三角形的面积关系

由于各种文献的差异,在本文中广义垂足三角形定义为：以锐角三角形内任意一点在其三边上的射影点为顶点的三角形称为该点的广义垂足三角形．例如,我们知道三角形的三条高交于一点（垂心）,以三条高的垂足为顶点的三角形,即是垂心的广义垂足三角形．     

许瓦兹三角形问题

在已知锐角三角形 ABC中求作一个内接三角形 (即顶点分别在△ ABC三边上的三角形 ) ,使所作的三角形的周长最短 .答案是 :当内接三角形是△ ABC的三条高的垂足所成的垂足三角形时 ,周长最短 .这是关于三角形的一个著名的极值问题 ,叫做许瓦兹 ( H.A.Schwarz)三角形问题许瓦兹三角形问题     

垂足三角形的相似比

<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格(J.Neuberg)已证明了第三个垂足三角形与原三角形是相似的.