代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

运用分母代换法证明不等式举例

对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1　分子为常数型例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明　设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2　 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜…     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

谈圆锥曲线中的量的范围及关系的应用

圆锥曲线方程中的两个变量有其固有的取值范围和关系 ,方程中的特征量也有其确定的取值范围和关系 .如椭圆方程ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>ｂ >0 )中的变量ｘ、ｙ满足 -ａ≤ｘ≤-ａ ,-ｂ≤ｙ≤ｂ,方程本身正反映了变量ｘ、ｙ间的这种关系 ;椭圆的特征量间的关系有 0 <ｅ =ｃａ <1,ａ >ｂ>0 ,ａ2ｃ >ａ ,ａ2-ｂ2 =ｃ2 ;椭圆的左、右顶点到相应准线的距离 ａ2ｃ -ａ是椭圆上的点到准线的距离的最小值 ;椭圆上的点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到焦点Ｆ1 (-ｃ,0 )、Ｆ2 (ｃ,0 )的距离分别为｜ＰＦ1 ｜ =ａ+ｅｘ0 、｜ＰＦ2 ｜=ａ -ｅｘ0 ,所以有ｂ2≤｜ＰＦ1 ｜…     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理和其逆定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛中应用也较多 ,现举例如下 .例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ+ｂ2= 1,且ｔ =ａｂ-ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是 (2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 ) .解　由ａ2 +ａｂ+ｂ2 =1,ｔ=ａｂ -ａ2-ｂ2 得 ,ａ2 +ｂ2 =1-ｔ2 ,ａ2 ｂ2 =1+ｔ22 ,则以ａ2 、ｂ2 为根的一元二次方程为 :ｘ2 -1-ｔ2 ｘ+ 1+ｔ22 =0 ( ) ,因为ａ、ｂ为实数 ,所以方程 ( )有实数根 ,即Δ =1-ｔ22 -4 1+ｔ22 ≥ 0 ,得 -3 ≤ｔ≤-13 .例 2　…     

一个优美的不等式及其妙用

定理　若ｘ、ｙ、ａ、ｂ均为实数 ,且ａ>0 ,ｂ >0 ,那么 ｘ2ａ +ｙ2ｂ ≥ (ｘ+ｙ) 2ａ +ｂ (※ )等号成立当且仅当 ｘａ= ｙｂ .证明　不等式 (ｂｘ-ａｙ) 2 ≥ 0显然成立 ,当且仅当 ｘａ =ｙｂ 时取等号 .从而ｂ2 ｘ2 - 2ａｂｘｙ +ａ2 ｙ2 ≥0 ,所以ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 ≥ 2ａｂｘｙ .不等式两边都加上ａｂｘ2 +ａｂｙ2 ,得ａｂｘ2 +ａ2 ｙ2 +ｂ2 ｘ2 +ａｂｙ2 ≥ａｂｘ2+2ａｂｘｙ+ａｂｙ2 ,所以 (ａ+ｂ) (ｂｘ2 +ａｙ2 ) ≥ａｂ(ｘ +ｙ) 2 .因为ａ >0 ,ｂ>0 ,所以 ｘ2ａ +ｙ2ｂ ≥ (ｘ +ｙ) 2ａ+ｂ .不等式 (※ )结构规范 ,对称和谐 ,形式…     

九年级第一学期期末代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1 .若点Ｐ(ｍ ,3-ｍ)在第二象限 ,则ｍ满足下列条件中的 (　　 ) .(Ａ) 0 <ｍ <3　　　　 (Ｂ)ｍ <0(Ｃ)ｍ <0或ｍ >3(Ｄ)ｍ >32 .在平面直角坐标系中 ,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数 ,则这点一定不在(　　 ) .　　 (Ａ)直线ｙ =ｘ上 (Ｂ)抛物线ｙ =ｘ2 上　　 (Ｃ)直线ｙ =-ｘ上 (Ｄ)双曲线ｙ =1ｘ上3.若ａ +ｂ +ｃ≠ 0 ,且 ａｂ +ｃ=ｂｃ +ａ=ｃａ +ｂ=ｋ ,则直线ｙ =ｋｘ +ｋ一定不经过(　　 ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限4 .若二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的函数值不可…     

例谈公式（数）运算的技巧

在近几年的各类数学竞赛中 ,常出现有关分式(数 )运算的问题 .本文结合近几年来各省、市的竞赛题 ,谈谈此类问题的解法技巧 ,供参考 .1　巧用分式的基本性质例 1　 (1998年希望杯初二数学竞赛试题 )已知ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,且 1ａ + 1ｂ =4 ,则求 4ａ + 3ａｂ+ 4ｂ- 3ａ + 2ａｂ- 3ｂ的值 .分析　注意到式中分子或分母的ａ、ｂ项系数相同 ,故分子、分母同除以ａｂ ,即可利用条件式直接求解 .解　注意到ａｂ≠ 0 ,ａ +ｂａｂ =4 ,则原式 =4·ａ+ｂａｂ + 3- 3ａ+ｂａｂ + 2=- 1910 .2　巧用字母代替数例 2　 (1999年北京市初中数学竞赛题 )计算…     

二次函数问题常见错解剖析

一、忽视二次项系数ａ≠ 0所造成的错解例 1　已知二次函数ｙ =ｋｘ2 - 7ｘ - 7的图象和ｘ轴有交点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ)ｋ >- 74 　　 (Ｂ)ｋ≥ - 74 且ｋ≠ 0(Ｃ)ｋ≥ - 74 (Ｄ)ｋ >- 74 且ｋ≠ 0(2 0 0 0年山西省中考题 )　错解　由题意 ,得Δ =(- 7) 2 - 4ｋ·(- 7)≥0 .解得ｋ≥ - 74 .所以选 (Ｃ) .剖析　当ｋ =0时 ,原函数不是二次函数 ,所以ｋ≠ 0 .故应选 (Ｂ) .例 2　已知二次函数ｙ =ａｘ2 +ａｘ +ａ - 1的最小值是 2 .求ａ的值 .　错解　由题意 ,得4ａ(ａ - 1) -ａ24ａ =2 .整理 ,得ａ2 - 4ａ =0 .解得ａ =0或ａ =4…     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

2001年数学中考模拟自测卷

(时间 12 0分钟　满分 12 0分 )一、选择题 (本题共 10小题 ,每小题 3分 ,共 30分 )1 下列计算正确的是 (　　 ) .(Ａ) 2ａ2 +3ａ2 =5ａ4　　　　　 (Ｂ) ( 2ａ2 ) 3=8ａ5(Ｃ) 2ａ3·( -ａ2 ) =-2ａ5 (Ｄ) 6ａ2ｍ÷ 2ａｍ=3ａ22 若ｂ <0 ,则化简ａ3ｂ +ａｂ3的结果是 (　　 ) .(Ａ) (ａ -ｂ)ａｂ (Ｂ) ( -ａ -ｂ)ａｂ(Ｃ) (ａ +ｂ)ａｂ (Ｄ) ( -ａ +ｂ)ａｂ3 某车间有 2 0名工人 ,每人每天可加工甲种零件 5个或乙种零件 4个 ,在这 2 0名工人中派ｘ人加工甲种零件 ,其余加工乙种零件 .已知每加工一个甲种零件可获利 16元 ,每加工一个乙种零…     

对逆二次函数的探讨

定义 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ…… (1)与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ…… (2 )称为对逆二次函数。其中ａ≠ｃ ,ａｃ≠ 0。性质 :1、它们有共同的定义域 ,有共同的判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ ,当ａ、ｃ同号时 ,其图象的开口方向相同 ,当ａ、ｃ异号时 ,其图象的开口方向相反。2、当ｂ =0时 ,函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ都是偶函数。当ｂ≠ 0时 ,都是非奇非偶函数。3、ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ当ａ >0时 ,在区间 (-∞ ,- ｂ2ａ]上是减函数 ,在区间 [- ｂ2ａ,+∞ )上是增函数 ,当ａ <0时则反之。ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ当ｃ <0时 ,在区间 (-∞ …     

双曲线的几个重要性质

性质 1　双曲线的一条准线和任意一条渐近线的交点 ,与这条准线相对应的焦点的连线 ,必垂直于该渐近线 .　　　　　图 1证明　设双曲线为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,如图 1所示 ,准线与渐近线有四个交点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ .任取一交点Ａ ,则Ａ ａ2ｃ,ａｂｃ .∵ｋＡＦ2 ·ｋＯＡ =ａｂｃ - 0ａ2ｃ -ｃ· ｂａ =- 1,∴ＡＦ2 ⊥ＯＡ .其它Ｂ、Ｃ、Ｄ三点类似可以证明 .性质 2　双曲线的一条准线与渐近线的两个交点 ,该准线相对应的焦点 ,以及对称中心这四点共圆 .证明　设双曲线为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,如图 1所示 ,任…     

初三数学综合测试题

一、填空题 (每小题 2分 ,共 30分 )1.16的算术平方根是　　　　。2 .当ｘ =　　　　时 ,分式 ｘ2 -ｘ - 2ｘ2 - 5ｘ + 6的值为 0。3.若一个三角形的三内角之比为 2 3 4 ,则这个三角形的最大内角为　　　　度。4.抛物线 ｙ =ｘ2 - 2ｘ + 1的最低点的坐标是　　　　。5 .如果ａ是锐角 ,且ｃｏｓａ=35 ,则ｓｉｎａ的值是　　　　。6.若ａ- 2ｂａ +ｂ=14,则 ａｂ =　　　　。7.已知ａ >ｂ ,则不等式组 ｘ >ａｘ >ｂ的解集是　　　　。8.方程 2ｘ2 + 6ｘ - 1=0和ｘ2 - 3ｘ - 5 =0的所有根的和是　　　　　　。9.某商品降价 10 %后 ,单价是 10…     

一道解析几何题的多种解法

题目 :已知直线ｌ过点Ｍ( 3,2 )且与ｘ轴正半轴、ｙ轴正半轴交于点Ａ、点Ｂ .当△ＡＯＢ面积最小时 ,求直线ｌ的方程 .解法 1:设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ( 0 ,ｂ) (ａ >0 ,ｂ >0 ) ,易知ａ >3,直线ｌ的截距式方程为ｘａ + ｙｂ =1,以点 ( 3,2 )代入得 3ａ + 2ｂ=1,于是ｂ =2ａａ - 3.Ｓ△ＡＯＢ=12 ａｂ=12 ·ａ·2ａａ - 3=ａ2ａ - 3=ａ2 - 9+ 9ａ - 3=ａ + 3+ 9ａ - 3=ａ - 3+ 9ａ - 3+ 6≥ 2 (ａ - 3)· 9ａ - 3+ 6 =12 .当且仅当ａ - 3=9ａ - 3且ａ >3,即ａ =6时取等号 ,此时ｂ =4 ,直线ｌ的方程为 ｘ6 +ｙ4 =1.解法 2 :同上…… 1=3ａ + 2ｂ ≥ …     

高三数学测试题

一、选择题 (5分 × 12 =60分 )1.设集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙｉ｜=1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙ｜=1},其中ｘ ,ｙ∈Ｒ ,则Ｍ∩Ｎ的元素个数是 (　　 )　 (Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 42 .过点Ｐ(-2 ,1)且垂直于向量ａ=(2 ,1)的直线方程是 (　　 )　 (Ａ) 2ｘ + ｙ=0　　 (Ｂ) 2ｘ + ｙ + 3 =0　 (Ｃ) 2ｘ + ｙ + 4=0 (Ｄ) 2ｘ + ｙ -3 =03 .若ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ都是实数 ,且满足以下三个条件 :①ａ +ｂ=ｃ +ｄ ,②ａ +ｄ<ｂ +ｃ,③ｄ>ｃ,则有 (　　 )　 (Ａ)ａ >ｂ>ｄ >ｃ　 (Ｂ)ｂ>ｄ >ｃ >ａ　 (Ｃ)ａ>ｄ >ｃ>ｂ　 (Ｄ)ｄ >ｃ…     

妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

一类分式不等式的一种证法

在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1　已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证　设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2　设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ…     

有关二次函数、反比例函数中考题选登

一、填空题1 用配方法将二次函数ｙ=4ｘ2 -2 4ｘ+ 2 6写成ｙ=ａ(ｘ-ｈ) 2 +ｋ的形式是 .(河南省 )2 抛物线ｙ=(ｘ-1 ) 2 -7的对称轴是直线ｘ =. (浙江省绍兴市 )3 抛物线ｙ=ｘ2 -2ａｘ+ａ2 的顶点在直线ｙ=2上 ,则ａ的值是 .(浙江省绍兴市 )图 14 已知二次函数ｙ =ｘ2 + (ａ -ｂ)ｘ +ｂ的图象如图 1所示 ,那么化简ａ2 -2ａｂ+ｂ2 + |ｂ|ａ 的结果是 . (辽宁省大连市 )5 二次函数ｙ=2 (ｘ-2 ) 2 -7的顶点为Ｃ ,已知函数ｙ =-ｋｘ -3的图象经过点Ｃ ,则其与两坐标轴所围成的三角形面积为 . (浙江省台州市 )6 对于函数ｙ =-5ｘ,当ｘ >0时 ,…     

高二数学测试题

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 3分 ,共3 6分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .)1 .下列命题正确的是 (　　 )　 (Ａ)ａ2 >ｂ2 ａ >ｂ　 (Ｂ)ａ>ｂ ａ2 >ｂ2　 (Ｃ)ａ >｜ｂ｜ ａ2 >ｂ2　 (Ｄ) ｜ａ｜>ｂ ａ2 >ｂ22 .若圆ｘ2 +ｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0关于直线ｙ =2ｘ对称 ,那么 (　　 )　 (Ａ)Ｄ =2Ｅ　　　　 (Ｂ)Ｅ =2Ｄ　 (Ｃ)Ｅ +2Ｄ =0 (Ｄ)Ｄ =Ｅ3 .已知一个简单多面体各个面都是三角形 ,且它的顶点数为Ｖ ,则它的棱数为 (　　 )　 (Ａ) 3Ｖ (Ｂ) 32 Ｖ　 (Ｃ) 2Ｖ-4(Ｄ) 3Ｖ-64.(ｘ +1 ) ( 2ｘ+1 ) ( …