数学审美直觉及其能力培养

先从一道有趣的试题谈起．有一个三棱锥和一个四棱锥，它们的棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？［１］这是１９８２年美国的一道有８３万人参加的中学生数学竞赛试题．对这个问题，出题者和绝大多数考生都认为正确答案是７个面，但佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是５个面，被评卷委员会否定．后来丹尼尔做了一个模型验证其结论的正确性，并给出了证明，提出了申诉．有关数学家再度仔细考虑才不得不承认他是正确的．实际上，最初丹尼尔直觉地想到，面ＶＡＤ叠合后（如图１），ＳＶ∥ＡＢ，则Ｓ、Ａ、Ｂ、Ｖ共面，同理…     

能否少问学生几个“为什么”

在美国举行的一次全国性数学竞赛中,有这样一道题目：一个正三棱锥和一个正四棱锥,所有棱长都相等,问重合一个面后还有几个面？标准答案为“７个”．但佛罗里达州一位名叫丹尼尔的学生回答为“５个”,结果被教授判为错答,并“驳回”丹尼尔的说理,坚持按标准答案给分．丹尼尔委屈地把想法讲给父亲听,当工程师的父亲动手做了两个实物模型（图１）,重合一个面（ＶＣＢ）后果然有５个面———天才般的直觉（参见文［１］）．图１无独有偶,１９７８年中国科技大学少年班招生有这样一道题：在单位正方形内任取９个点,求证在这９个点组成…     

2005～2006年第一学期月考试题七年级数学（北师大版）

一、认真辨别，谨懊选择(每小题只有一个正确答案，请把正确答案的代号填写在每题后的括 号里，每小题3分，共24分) L用一个平面去截一个正方体，得到的截面，其形状不可能是() A.三角形B.长方形C.五边形D.七边形 2.下列图形中，是正方体的侧面展开图的是() 己召巨田习几盆 3.下列四组数中，不能互为相反数的一组( A.一(一3)和一卜引 C.一3和一 B.(一2)4和一24 D.(一l)娜和1姗 4.在右图中，小于1800的角共有() A.3个B.4个 C .5个D‘6个 5.右图是用14个棱长为Icm的正方体粘接成的几何体，将 它放在地上.现在要将它的表面(与地面接触的…     

敢于质疑

1982年,美国举行了一次“全美初级学术能力测验”,有83万中学生参加,其中有这样一道测验题: 有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们的棱长都相等.问它们重叠一个侧面后,还露出几个面? “标准答案”是:7个面.因为两棱锥分开时共有4+5=9个面,当它们重叠一个面以后,有两个面被遮住了. 可是一位17岁的中学生丹尼尔的回答是:5个面.阅卷者当     

一道不难的难题

在做模拟题的第三轮高三复习中遇到一道题 :棱长都相等的一个正四面体和一个正八面体 ,把它们拼起来 ,使一个面重合 ,所得的多面体有个面 .(注 :正多面体在高中数学新教材中有专门内容 ,其中就讲了正八面体)答案是 7个 ,学生不理解 ,拿着题来让我帮忙 .相对简单的背景 ,并不复杂的关系不容易引起人的重视 ,然而几遍讲解下来 ,看着学生将信将疑的目光 ,连我自己也不得不怀疑解法的简明性和深刻性了 ,于是产生对这个问题作彻底研究的念头 .如图 1,使面ＡＢＣ与面Ａ1Ｂ1Ｃ1重合 ,应先考虑棱长都相等的一个正四面体和一个正四棱锥在重合一个侧面…     

值得商讨的两个中考题

2003年中考试题中两道题目值得商讨,现列举如下: 题目1 如图1,四个半径均为R的等圆彼此相切,则图中阴影部分(形如水壶)的面积为( ) A.4R2 B.πR2 C.2πR2 D.4πR2 题目给出的答案是A,我认为他之所以选A,就是因为命题者默认四边形O1O2O3O4是一个正方形.但无法证明四边形O1O2O3O4一定是正方形,只能证明是一个菱形,如图2所示,因此答案不正确.若将     

关于一道求异面直线距离题的反思

高中数学人教版教材(第二册下B)P51第4 题:已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1, 求直线DA'与AC的距离. 此题是异面直线的距离问题:可作出异面直线的公垂线. 解法1:如图1连结A'C',则AC∥面A'C' D',     

求解高考几何题的向量方法

<正> 向量是一个很有用的数学工具,它的应用非常广泛.在高中数学中运用向量知识解题,特别是几何问题,思路清晰、目标明确、易于掌握.本文举例介绍求解高考几何问题的向量方法.例1 (1988年高考题)在棱长都相等的四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、BC的中点,连接AF、CE(如图1),求异面直线AF与CE的所成角.     

智力测验

麓篓辩右图中有多少个三角形?A.20 B.22 C.24 D.26 E。28(答案本期找)懿根据左图中对应数 字的逻辑关系,填 出所缺的数字。(答案本期找)智力测验答案CB—— 智力测验     

选择题评分标准的注记

近几十年来,多种答案选择法试题的命题方式在国外各类考试中颇为风行.如美国,自七十年代起每年的中学生数学竞赛都是30条选择题,每条均有5个供选择的答案,选对得4分,选错罚1分(即得-1分).现在,这种命题方式虽已被用于国内的一些考试,但仍有人对其科学性表示怀疑,特别担心有人一窍不通而凭运气猜题竟然也能得相当的分数.其实只要评分标准设计得合理,猜题者     

对一道数学试题编制的商榷

合肥市2009年高三第二次教学质量检测(俗称合肥二模)数学试题(文)第10题: 用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体,其主观图、侧视图都是如右图形,对这个几何体,下列说法正确的是( )     

皮卡卡GO! 智力大挑战

有3个装有鱼和水的鱼缸和3个空鱼缸,排列顺序如图A。只触碰一个鱼缸,把它们的排列顺序变成图B所示的状态,该怎么做?把圆柱(如右图)切两刀,分成大小相同的三份,应该如何切?巧移鱼缸切圆柱将下面左图折叠成一个立方体,5个选择中只有一个是可能的,请问是哪一个?你能用四条直线连接     

正方体的表面展开图——实验与研究

实验将一个正方体形状的硬纸盒剪开一个面(如图1,沿着三条棱 AB、BC、AD 剪开,将上底面沿着棱 CD 翻转),然后再如法恰当地剪开其他各个面并翻转、摊平,便得到正方体的一个表面展开图(如图2).     

由欧拉公式所想到的

有这么一道题:如果用形状、大小完全相同的正多边形作为面,所围成的多面体是正多面体,正多面体只有五种:图1请你数一数图1中每一个多面体的顶点数(V),棱数(E)和面数(F),并把结果记入表1中:表1名　称各面形状顶点数(V)面数(F)棱数(E)V+F-E正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体　　表1中其余各项好填,而顶点数和棱数填到正十二面体和正二十面体时,如果直接从立体图形去数,是很容易出错的.事实上,由V+F-E=2,即欧拉(Euler)公式:顶点数+面数-棱数=2,即可正确填出.那么,可否整体考虑正多面体的各面形状,面数(F),棱数(E)和顶点数(V…     

割补法在立几中的应用

正方体截去四个三棱锥后(如图)得到一个以面对角线为棱的正四面体 ABCD,反之,正四面体补上四个三棱锥后则还原为原来的正方体,其面对角线即为正四面体棱长,且这个正四面体的体积的正方体体积的1/3.实际上,这里的“截去”或者“补上”就是典型的割补法.在立几中,割补法的应用很广泛,请看下面例题.     

图形及变换考点分析及复习研究

考点1立体图[知识要点]1.几何体的分类通常按柱、锥、球划分.柱类分圆柱、棱柱(含正方体、长方体、三棱柱……).锥类分圆锥、棱锥(含三棱锥、四棱锥……).球类即球体.2.点动成线,线动成面,面动成体,点、线、面是构成图形的基本元素.典型考题解析例1(2001年南京市)将三角形绕虚线旋转一周,可以得到右边立体图形的是().图1例2(2002年宿迁市)在正方体ABCD A′B′C′D′中,面ABB′A′上△AOA′的实际图形是().52(答案:例1.B.例2.B.)说明对于这样的考题,要发挥我们的空间想象能力.图3例3(2004年贵阳市实验区)棱长为1cm的小立方体组成如图3…     

2001年高考立几解答题解法探讨

在立体几何有关二面角大小的计算中 ,经常会碰到“无棱”二面角 (棱不在图形中出现的二面角 )的情况 .求解此类问题的方法主要有两种 :一种是设法在图形上作出棱 ,再作出二面角的平面角 ;另一种是不作出棱 ,另辟蹊径求解 .本文以今年全国高考立体几何解答题为例 ,给出无棱二面角的常见处理方法 .题目 :如图 1 ,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90°,ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ=ＢＣ =1 ,ＡＤ =12 .(Ⅰ )略 ;(Ⅱ )求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成的二面角的正切值 .解法 1 (直接作出二面角的棱来求解 ) :如图 2所示 ,延长ＢＡ…     

为有源头活水来之——自动冲水器

以冲水器为载体的题目在各地中考命题中屡屡闪亮登场,作为中考压轴题能很好地考查了学生的力学方面的综合能力.题例1图1厕所的坐便器在冲水之后由自来水自动上水,当水箱内的水达到一定深度时,浮标带动杠杆压住进水口,停止上水(左图).有一种水箱的浮标,形状是中间有隔断的圆柱体,隔断的中部有小孔通过塑料管连在一个阀门上(右图).阀门安装在便器坐圈的下面,平时     

几个与完全平方、平方和有关的问题(下)

完美长方体问题推而广之是由欧拉的一个猜想引发的 :是否存在着三个正整数ｘ、ｙ、ｚ,使ｘ2 +ｙ2 、ｙ2 +ｚ2 、ｚ2 +ｘ2 和ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 皆为完全平方数 ?图 1它的几何意义是明显的 :如图 1 ,若长方体的三条棱长分别为ａ、ｂ、ｃ,三个面的对角线长分别为ｅ、ｆ、ｇ ,且体对角线长为ｄ ,它们皆为整数的长方体存在吗 (下称完美长方体 ,这是另外一种意义下的完美 ) ?1 71 9年Ｈａｌｋｅ发现棱长为 ( 4 4 ,1 1 7,2 40 )的长方体三个面对角线皆为整数 :面对角线长为 ( 2 67,2 44,1 2 5) ,只是它的体对角线ｄ =73 2 2 5不是整数 (下称这类仅差一…     

数学创新与实践竞赛

参赛须知本竞赛分命题竞赛和解题竞赛。命题竞赛参加人员身份不限,参赛题目必须为原创,要以实际生活和自然环境为背景。解题竞赛仅限初中在校学生参加,评出学生优胜奖和辅导教师奖。获奖者均颁发证书。参赛作品或答案寄(450004)郑州市顺河路11号《中学生数理化》(初中版)编辑部穆林彬收,也可发E-mail至trie_0377@vip.sohu.com,请注明"创新竞赛"字样。