费马定理的逆命题成立吗?——介绍伪素数

众所周知的费马定理是:若p是素数,(a,p)=1,则a~(p-1)≡1(modp). 但它的逆命题:“若(a,p)=1,且a~(p-1)≡1(modp),那么p是素数”是不是成立呢?回答将是否定的.我们看一个例子: 设=1398101,a=2,则(a,p)=1,而因为p-1=2·11·63550,故2~(p-1)-1=2~(2·11·63550)-1;(4~(111·63550)-1=(4~(11)-1)A=(4-1)(4~(10) 4~9 … 1)A=3·1398101·A=3·p·A(A是整数) ∴2~(p-1)-1≡0(modp),即2~(p-1)≡1(modp). 但是p=1398101=23·89,683不是素数.我们称这样的数为伪素数,其一般定义如下: 定义 若2~(n-1)≡1(modn),且n为合数,则称n是伪素数. 在数论上称形如 M_p=2~p-1(p为素数)的数为梅生数,     

自然数方幂的累进和

设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=sum from i=1 to n sum from j=1 to i (j~t)=1~t (1~t 2~t) … (1~t 2~t … n~t),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和。文[1]给出:     

重要极限limn→∞[1＋1/n]^n=e的应用——对数数学用表模型的建立

数e如同π一样是一个十分重要的无理数,同时也是一个超越数。它的应用比如：放射元素的衰变规律为N1=N0e^-λt（N0表示开始的原子数,Nt表示经过时间t后的原子数,λ为衰变常数）;大气压P和高度h的关系Pn=P0e^—Lh;连续复利计算利息A1=A0e^rt（A1表示t年末的本利和,r表示年利率）。     

相似矩阵与变系数线性方程组的解

本文讨论变系数线性方程组戈=A(t)x(l) fx,1 fa,,(‘)a12(‘)1的解,其中x二11,A(t)是2 xZ连续函数矩阵:A(t)二l_、l LxZ JL“21(‘)“二(‘)」 定义1一尸一’通(t)p设A(t)为2x2函数矩阵.若存在非奇异常数矩阵p,使B(t)则称A(t)与B(t)相似.显然,在变换x=py下,方程组(l)可化为方程组夕=B(t)y(2) [y,1其中,y=l卜B(‘)= LyZJp一’双t)尸.只要求出方程组(2)的解,即可求出方程组(l歹的解,反之亦然.因此,认为方程组(l)与(2)是等价的. 引理设通(t)、刀(r)均为2x2函数矩阵.若A(r)与B(r)相似,则中(t)E+A(t)与中(t)E+B(t)相似,其中,E为单位矩…     

2016年高考物理模拟试题(二)

一、选择题(本题共8小题,每小题6分.在每小题给出的四个选项中,第1~5题只有一项符合题目要求,第6~8题有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(原创)图1所示为甲、乙两物体运动的v-t图象,则在0~t2时间内()A.甲乙两物体做相反方向的运动B.若在t1时刻两物体相遇,则t1时刻前乙物体在甲物体前     

一个计算公式的一点推广及应用

已知三角形的三边为a、b、c,则该三角形的外接圆半径为;R=abc/4(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1//2)· (p=(a b c)/2) 现将这个公式作一点推广: 在R=abc/4(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2)中,(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2)是已知三角形三边求其面积的海伦公式。令(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2)=1,则R=abd/4,令R=1,则(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2)=abc/4,故有以下推论: 推论1 面积为1的三角形的外接圆半径等于这个三角形三边之积的1/4     

对《对教科书上分期付款问题算法的质疑》一文的商榷

<正>全日制普通中学教科书(必修)《数学第一册(上)》(2006年人民教育出版社)第144—145页的"研究性学习课题:数列在分期付款中的应用"中,提出问题:一般地,采用等额本息分期付款方式贷款a元,m个月将贷款全部付清,月利率为r,那么每月付款额的计算公式是什么?在配套的《教师教学用书》上,给出以上问题的解答:(1)起初的贷款a元到第m个月末产生的本利和     

2004年福建省高考数学试题（理工农医类）

一、选择题 :每小题 5分 ,共 60分 .1.复数 1-i1 i1 0 的值是 (　　 ) .(A) -1　 (B) 1(C) -3 2　(D) 3 22 .tan 15° cot15°等于 (　　 ) .(A) 2(B) 2 3(C) 4(D) 4333 .命题p :若a、b∈R ,则 |a| |b| >1是 |a b| >1的充分而不必要条件 .命题q :函数y =|x -1| -2的定义域是(-∞ ,-1]∪ [3 , ∞ ) .则 (　　 ) .　 (A)“p或q”为假　 (B)“p且q”为真(C)p真q假 (D)p假q真4.已知F1 、F2 是椭圆的两个焦点 ,过F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点 ,若△ABF2 是正三角形 ,则这个椭圆的离心率是 (　　 ) .(A) 33 　 (B) …     

一道竞赛题的构思浅析

一九八六年全国高中数学联赛试题中,有这样一道选择题: 边长为a、b、c的三角形,其面积等于,且外接圆的半径为1,若s=a~(1/2)+b~(1/2)+c~(1/2), 1/=1/a+1/b+1/c,则s与t的关系是 :(A)s>t,(B)s=t,(C)s相似文献   

关于用狄利克莱级数表示的解析函数的级

考虑在半平而a相似文献   

整体思想在复数中的应用

1整体代入3整体换元 把题目中一些组合式子看作一个整体,并把这个整体直接代人式子,可以简化运算. 例1已知扩一1(z任C且z共1),证明:1 z十扩 尸 矛 护十z6一O 解:设1 z 尸 … 砂~t, 则尸 z 矛 … 砂~t例3数z,(l)z求同时满足下列两个条件的所有复 10_~~.,_10,_十万七K一1又z夭万、饥(2)z的实部和虚部都是整数.z(1 z十尸 … z6)-zt一t,(z一1)t=O因为z并1,所以t一。2整体取模‘ 在解某些复数方程时,可以通过整体取模,化为实数方程求解. 例2已知z任c,解方程1212一3摇~1 31. 分析:按一般思路,设出z~x 少(x,y任R),代人条件,然后再分类讨论,但计算…     

2004年全国初中数学联赛试题解答集锦

第一试　　一、选择题(满分42分,每小题7分)1 .已知abc≠0 ,且a b c=0 ,则代数式a2bc b2ca c2ab的值是(　　) .A .3　　B .2　　C .1　　D .0标准答案:原式=-(b c)·abc -(c a)·bca -(a b)·cab =…=3 ,选A .别解1 :∵a3 b3 c3-3abc =…=(a b c)(a2 b2 c2 -ab-bc-ca) =0 ,∴a3 b3 c3=3abc.∴原式=a3 b3 c3abc =3 .别解2 :取a =b=1 ,c=-2 .下略.2 .已知p、q均为质数,且满足5 p2 3 q =5 9,则以p 3 ,1 -p q ,2 p q -4为边长的三角形是(　　) .A .锐角三角形　　　B .直角三角形C .钝角三角形　　　D .等腰三角形标准答案1 :…     

曲线p=aSin n/mθ的最小正周期

中学教材中极坐标的一般定义规定:ρ≥0,0≤θ<2π。在实际应用中,取消限制,规定ρ、θ可取任何实数,即-∞<ρ<+∞,-∞<θ<+∞。由于(ρ,θ)和(-1)~tρ,θ+tπ](t为整数)在平面上表示同一点,故若F(ρ,θ)=F[(-1)~tρ,θ+tπ]表明极角θ增加tπ时,对应点[(-1)~tρ,θ+tπ]又回复到(ρ,θ),这种特性叫极坐标方程表示曲线的周期性,tπ称为周期,其中最小正值为最小正周期。     

高灵不等式的加强

1981年,高灵得到不等式(1):a′(-a+b+c)+b′(a-b+c)+c′(a+b-c)≥4(3ΔΔ)~(1/2).本文给出一个加强.定理 a,b,c,a′,b′,c′与Δ,Δ′分别表示两个三角形 ABC 和 A′B′C′的边和而积,则a′(-a+b+c)+b′(a-b+c)+c′(a+b-c)≥4(3ΔΔ)~(1/2)+2((ab′)~(1/2)-(a′b)~(1/2))~2等式当且仅当ΔABC 与ΔA′B′C′均为正三角形时成立.应用如下两条引理立得:引理1(2)符号如定理,则     

2005年决胜冲刺试题（四）

一、选择题 :(每小题 5分 ,共 6 0分 .)1.若命题p:a2 <0 ,q :2a +1是奇数 (a∈N) ,则复合命题p且q,p或q,┐p,┐q中真命题个数是 (　　 ) .A .1　　B .2　　C .3　　D .42 .若tan (α +β) =34,tan β - π4 =12 ,那么tanα +π4 的值等于 (　　 ) .A .1011　　B .211　　C .25 　　D .23.将函数y =3x +a的图象C向左平移一个单位后 ,得到y =f(x)的图象C1,若曲线C1关于原点对称 ,那么实数a的值为 (　　 ) .A .1　　B .- 1　　C .0　　D .- 34.如图 1所示 ,某电路中 ,在A、B之间有四个焊接点 ,若焊点脱落 ,则可能导致电路不通 ,今发现A…     

模拟试卷(一)

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=｛x｜｜x-2｜!2,x∈R｝,B=｛y｜y=-x2,-1!x!2｝,则CR(A∩B)等于A.R B.｛x｜x∈R,x≠0｝C.｛0｝D.2.等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知S4=1,S8=3,则a17 a18 a19 a20的值为A.4B.8C.16D.32(理科)3.设随机变量ξ服从二项分布B(n,p),且Eξ=2,Dξ=1.6,则n,p的值分别为A.n=30,p=0.2B.n=20,p=0.1C.n=8,p=0.2D.n=10,p=0.2(文科)3.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为A.f(x)=(x-1)2 3(x-1)B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=…     

关于三角形角平分线的一个不等式

设t:,t、,t。为△ABC止条角平分线长,P二合‘a+“十“,:和R分别为内一切圆和外接圆半径,则,:、,:::,一(一誉一)当且仪当△ABC为正三角形时取等号.证由正余弦定理有乏=白c一 a么bC(b+c)2=吞‘一 a Zbc(ZP一a)2则比十t毛十嵘 =bc+ca+ /a I_+ \(Zp一a)2ab一abc 石(Zp一b)么 c、十~一—一—._ (ZP一c)2/’不妨设a)b)c>O,则 1ZP一召》 土~1——‘弓莽——ZP一b一ZP一c>O由切比雪夫不等式有一一卫一一-十(ZP一a)2 b(ZP一b)名十(ZPC一C))合‘a+”+‘,〔 1(Zp一a)2 1(ZP一b)么(ZP1一c)2〕 1厂1 .1 .1、.__.—-一一字-一一:宁一一—.…     

关于归线性偏差变元微分不等式解的性质及其应用》一文的注记

讨论了偏差变元微分方程x′(t) a(t)x(t) p(t)f[x(g_1(t)),x(g_2(t),…x(g_(?)(t))]=0的振动性,改进了文[1]的结果.     

椭圆平行弦的两个性质

性质1如图,过椭圆22ax2 by2=1(a>b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过椭圆中心O的半弦OP//AQ,则OP2=12AR?AQ.证明:设直线AQ的倾斜角为α,则直线OP的参数方程为:cos,sinx ty tαα???==(t为参数),直线AQ的参数方程为:cos,sinx a ty tαα???==? (t为参数).依题意,可得:22222t P???coasα sinbα???=1,(1)?a t Rcosα=0,(2)b2(?a t Q cosα)2 a2(t Q sinα)2=a2b2.(3)由(1)得:2222P2cos22sin2OP ta b==bα aα,由(2)得:AR=t R=coasα,由(3)得:22222cosQcos sinAQ tabb aα==α α,∴OP2=12AR?AQ.性质2如图,MN是过椭圆22ax2 by2=1…     

2007年高考数学压轴模拟试题(十)

第I卷一、选择题(每小题S分，共计12 XS=60分1 1.若复数z=(aZ一Za) (aZ一a一2):k为纯虚数，则(). A.a护2或a半1 B.a铸2且a半1 C.a~0 D.a~0或“~2于(). 4、、1~9~25 A.六B.资C.一份D.共盛白13一2~5~.41 -~月卜-，卜7.已知点A、B满足O以~(co呱，251诚)，口B= (。。编，251喊)，若前一(c。蛾，51峨)，耐=(cosal，si喊)且满足前.耐一。，则三角形oAB的面积为(). .已知O是V一ABC所在平面的一点，且满足si几A，获长又七、.sillB，只卜~二一下-r-二尸，只又招少口一砚丈气少州-代一石气--二一下一、t人以一Slr口1~卜Sln力SlnD州seSlf…