公式EF=(d~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2)应用教学的三个层次

<正>高一立体几何42页上的例2提出了一个异面直线上任意两点间的距离公式:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,使A′E=m,AF=n,则EF=(d~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2) (1)     

异面直线上两点间距离公式(d~2 m~2 n~2±2mncosθ)~(1/2)的应用

部颁立体几何课本上有这么一个例题:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设A′E=m,AF=n,求EF。课本上利用图1推出: EF=(d~2 m~2 n~2-2mncosθ)~(1/2)。并指出当点F(或E)在点A(或A′)的另一侧,则     

距离公式EF=√m^2＋n^2＋p^2±2mncosθ的应用举例

引子：已知两条异面直线所成角为θ,如图1所示,在直线a、b上分别取E、F,已知AE=m,A1F=n,a、b的公垂线段AA1=d,则EFEF=√m^2＋n^2＋p^2±2mncosθ,下面通过三个例子说明其应用．     

公式|z|~2=||~2=z在解题中的应用

公式|z|~2=||~2=z涉及到复数的模、共轭复数的概念,它在解决复数的有关问题时,可使复杂问题简单化,陌生问题熟悉化。下面举例说明。     

x~2/a~2±y~2/b~2=1的美妙公式——r_1·r_2±d~2=b~2±a~2

定理:设P为xa22 yb22=1上任意点,P点的两条焦半径为r1及r2;P点到原点距离为d.则:r1·r2 d2=b2 a2证明:设∠POF2=α,则∠POF1=π-α,在△POF2及△POF1中,由余弦定理有:r22=d2 c2-2ac·cosα①,r12=d2 c2 2dc·cosα②二式相加有:r21 r22=2d2 2c2(r1 r2)2-2r1r2=2d2 2c2※∵r1 r2     

关于公式tg2θ=2tgθ/1-tg~2θ

美国华盛顿大学的H·Jorden和加利福尼亚大学的S·Shultz美国《数学教师》杂志撰文介绍三角公式tg2θ=(2tgθ)/(1-tg~2θ)的一种新颖别致的推导方法。此法是在求定半径的球的外切圆锥的最小体积时信手拈来的,颇富戏剧性,又浅显简捷,仅用平几知识及正切函数定义即可,现将原文选译摘编如下. 如图,圆O的半径径为r,设过圆上点H的切线BH的长为x(x>r),过B的另一切线与圆O切于E,令CE=s,CH=h,易知BE=x。     

浅谈公式“cosθ=cosθ_1cosθ_2”的应用

在高中立体几何课本中,有一道习题如下:如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成θ_2角,设∠BAC=θ,求证:cosθ=cosθ_1cosθ_2 (1) 运用公式(1),需具备如下条件: 在三面角中,若两个面角所在的平面成直二面角,那么它所对面角的余弦等于这两个面角的余弦之积。公式(1)是球面三角中三面角余弦定理的特殊情     

解题勿忘公式:cosθ1cosθ2=cosθ

如图1,直线AB和平面α所成的角是θ1,直线AC在平面α内,AC和AB的射影AB’所成的角为θ2,设∠BAC=θ,则cosθ1cosθ2=cosθ.此公式在新教材中列为了必学的内容,大大提高了其地位.下面举例谈谈它的应用.一、用于求直线与平面所成的角     

例析公式cosθ=cosθ1cosθ2的应用

一、证明角之间的不等关系 由cosθ=cosθ1 cosθ2可得:①θ1≤θ,这即是最小角定理;②θ2＜θ,这个结论学生不大会用.     

三角形面积公式S=1／2absinθ——在立几中的类比及运用

AABC中,若口、b边夹角为0,则其面积S=1/2absinθ．类比联想,可发现在立几中有一个类似此公式的三棱锥体积公式：如图1,三棱锥P—ABC中,若P—AB—C为0,     

用公式cosθ=cosθ1cosθ2求空间角

给出公式cosθ=cosθ1cosθ2的证明和公式的一个推论，以2005年部分高考试题为例说明公式的运用。     

应用公式z=|z|~2=||~2解复数问题

我们知道,在解决复数问题时通常的方法是复数问题实数化。这种方法体现了数学的一种基本思想——转化的思想,这当然是可以肯定的,但事实上很多复数问题是难以转化为实数问题,或是不宜转化为实数问题来解决的,而适宜运用复数本身的一些概念、性质和公式加以解决。公式zz=|z|~2=|z|~2中,既含有复     

利用|Z|~2=Z·Z解题

|z|~2=z·z是复数模的一个很重要的性质。利用它解决与复数模有关的问题特别有效。例1 若|z|=1,试证:z/(1 z~2)∈R(z~2≠-1)。证明:∵|z|=1,∴|z|~2=z·z=1, z/(1 z~2)=z·z/(z z~2z)=1/(z z), ∵z z∈R, z/(1 z~2)∈R。例2 已知复数a、b、c的模均为1,且a b c≠0,求证:     

公式cosθ=cosθ1 cosθ2的功能开发及运用

现行全日制高级中学试验修订教材重点介绍了公式cosθ=cosθ1 cosθ2(第二册下BP44)，并由此推出了最小角定理．相应的《教师教学用书》(P21)要求学生“掌握公式cosθ=cosθ1 cosθ2，会用这个公式解决一些问题”．并进一步地指出“在给出这一结论后，应作一些探讨，……，让学生真正体会其变形的目的”。     

巧用公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2解题

巧用公式cosθ=cosθ1·cosθ2能妙解许多问题,下面举例说明.一、用于求空间角例1如图1,PA是平面α的斜线,∠BAC=90°,又∠PAB=∠PAC=60°,求PA与平面α所成的角.     

利用公式cosθ=cosθ3-cosθ1cosθ2/cosθ1cosθ2求二面角

二面角在立体几何教学中有着突出的地位,同时它又是教学的一大难点。因为二面角不能直接度量,只能利用它的平面角来度量的,而平面角的顶点是“活”的,可以在“棱”的任意位置上,它的两边虽然都与“棱”垂直,但空间两线垂直不直观,难以把握．     

例析公式cosθ=cosθ_1cosθ_2的应用

斜线AB与平面α所成的角为θ1,A为斜足,AC在α内,且与AB的射影成θ2角,∠BAC= θ,则有cosθ=cosθ1cosθ2(*). 这个公式在新教材中要求学生掌握.笔者在教学实践中发现,学生对它的应用很不熟悉.本 文试图归纳它的几个应用.     

公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角.对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.图11应用公式求两条异面直线所成的角例1如图1,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别在棱B1C1、C1C上,且EC1=31,FC1=33,求异面直线A1B与EF所成的角.解因为A1B在平面…     

公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角. 对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.     

用(sinx±cosx)~2=1±2sinxcosx解题

在三角函数解题中常用到(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,用这个公式解题,能够达到化繁为简,化难为易的效果. [例1] 已知sina-cosa=1/5,且a∈(π,3/2π),