构造递推关系解决排列计数问题

排列计数问题是组合数学中主要而又基本的问题,一般的排列计数问题采用映射、分类、分步、捆绑、插空等方法即可解决,但有些问题（特别是数学竞赛中涉及到的问题）用构建递推关系的方法会更为简洁．本文将通过几个经典问题,讲解用递推方法求排列计数问题的基本策略．     

一道93年数学联赛题的推广

九三年全国高中数学联合竞赛第一试中有一个题：“集合A、B的并集视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有多少个．”现将此题推广为；N）的集合A、B的组（A，B）的个数．解：对集合A中的元素个数进行分类，A中元素个数可以是n个，当A中元素个数为k个时，集合B中元素至少要包含集{x_1,x_2,x_3,…,x_n}中的另个元素此时集B的种数为所以当集A的元素个数为k个时，共有的（A，B）对的个数为因此满足对的总个数为：显然满足的集A、B的对数为3~3=27个．一道93年数学联赛题的推广@徐民江$浙江绍兴平水中学…     

谈谈初中数学竞赛中的整数几何问题

数学学科中2门最古老的分支为平面几何与整数问题，这2门分支的有机结合指平面几何中的某些基本量（边长、角度、周长、面积等）为整数的几何问题，或几何问题中的计数问题等．这些问题历来是初中数学竞赛的热点问题之一．     

强拉丁方和强拉丁矩的计数

B.Alspach在1989年给出了这样一个问题；对阶数为2m 1的Walecki竞赛图计数，为了解决这个问题，本引入了强拉丁方和强拉丁矩的概念，我们把Alspach的计数问题变成了强拉丁方和强拉丁矩的计数问题，我们给出了两个猜想。     

自主招生考试中的组合计数问题

组合计数问题是初等数学中一类非常重要的问题，也是高等数学中的一个重要分支“概率与统计”的基础．近年来，组合计数问题深受自主招生考试命题者的青睐，同时也是竞赛试题中不可或缺的重要组成部分．     

几何图形计数问题解法举例

计数问题在中考和竞赛中时有出现,解答这类题时,若不掌握规则,不是遗漏就是重复.本文举例说明这类问题的解法规律,供同学们参考. 一、线段计数问题例1如图1,直线l上有A、B、C、D、E五个点,图1中共有几条线     

组合Cn^2=n（n-1）/2在平面几何教学中的妙用

通过对山东省初中数学竞赛一道题的分析，将组合Cn^2=n（n-1）/2应用到平面几何教学图形计数问题中。以此组合公式可以对平面几何图形中的线段、角、直线、交点、对角线等进行计数。     

与集合{1,2,…,n}有关的一组计数问题

近几年的中学数学竞赛中,与集合{1,2,…,n}的子集有关的计数问题常常出现.这类试题通俗易懂,求解时用到的基础知识不多,但方法巧妙,很有趣味.本文介绍的一组问题,可供辅导数学竞赛的老师和参加竞赛的同学参考. 设集合S={1,2,…,n},n∈N.我们要用到的基本知识可以总结为以下四条引理.其中记号|A|表示有限集合A中的元素的个数.     

0─1序列与计数

在数学竞赛中，有关集合的计数问题不少．这些问题常常可通过对应与映射来求解，它所需要的基本理论知识不多，但方法巧妙灵活．下面我们介绍一种用“0—1”序列来解这类问题的方法．所谓0—1序列就是由0与1构成（允许重复）的排列．由于这类序列的计数是熟知的也是容易理解的．因此用这个方法解这类问题的关键就在于怎样建立起这类问题与0—1序列之间的联系．我们通过一些实例来介绍．下面的结论在这类问题中是常用的．我们略去它的证明，为了方便，用X表示有限集X所含元素的个数．命题设X、Y、B为有限集，映射f:X→B是一一对应，则先看…     

对应法在计数问题中的应用

对应是数学中非常基本的思想方法,它的应用极其广泛,数学竞赛中的许多问题都与它有关,特别是运用对应进行计数是解决组合数学中计数问题的有力手段.在组合计数中,要计算某个有限集合A的元素个数|A|,如果直接求解比较困难,这时可考虑在     

几何图形计数问题解法举例

计数问题在中考和竞赛中时有出现，解答这类题时，若不掌握规则，不是遗漏就是重复，本举例说明这类问题的解法规律，供同学们参考．     

浅谈组合计数

设X是有限集,用|X|表示X的元素的个数,在不同领域中都会遇到对有限集X的计数问题,不要以为这是轻而易举可以解决的问题,有许多计数问题是相当艰难的,解决它需要知识,更需要智能,解计数问题更多地是依靠机智,依靠对特殊问题的具体分析,在方法上是灵活多样的。计数问题是组合数学的重要组成部分,也是数学竞赛中经常出现的热门试题,本文简要介绍组合计数的一些重要方法。一、映射与计数有两个集合X和Y,如果对每一x∈X有一个y∈Y与之对应,则说定义了一个从X到Y的映射f:X→Y。如果由x_1≠x_2可推出f(x_1)≠(x_2),则称映射f为单射。如果{f(x)|x∈X}=Y,则称映射f为满射。若映射f既是单又是满,就说f是一一映射。     

强拉丁方和强拉丁矩的计数

B.Alspach在1989年给出了这样一个问题[2]对阶数为2m+1的Walecki竞赛图计数.为了解决这个问题,本文引入了强拉丁方和强拉丁矩的概念,我们把Alspach的计数问题变成了强拉丁方和强拉丁矩的计数问题.我们给出了两个猜想.     

数学竞赛中的计数问题

在数学竞赛试题中,以几何或函数为背景的计数问题屡屡出现．本文结合例题,谈谈这类问题的解法．     

组合、对应与计数

计数问题是历年来竞赛命题的热点之一,组合与对应是解决高中数学竞赛计数问题的重要工具.掌握它,就可巧妙而合理地变换纷繁复杂的问题情景,抽象出一个更为明确的数学模型,从而化天险为通途. 内容概述     

两个折线染色计数模型及其应用

图形染色计数问题是数学高考与竞赛的热点．所谓图形染色计数问题,就是用给定的若干种不同的颜色,按一定的规则为某个图形染色,求不同的染色方法数．按照是否要求用完所给定的金体颜色,图形染色计数问题可划分为两类：第一类是不要求为图形染上所给定的全体颜色;第二类是要求为图形染上所给定的全体颜色．本文在第一类问题已有成果的基础上,进一步研究第二类问题,建立两个折线染色计数模型,并探讨其在高考与竞赛中的应用,统一地解决一类图形染色计数问题．     

对两道竞赛题的探讨

2004年重庆市初中物理知识竞赛（初二组）复赛试题第五大题：如图所示，A、B两长方体木块质量分别为mA=2kg，mB=1kg，用一根轻质弹簧把它们连接在一起，放在水平桌面上，用一个竖直向上的拉力F1作用在B上，A、B静止时A对地面没有压力（如图a所示），现改用与F1同样大小的竖直向下的压力F2作用在B上使A、B静止（如图b所示）。求b图中A对地面的压力的大小。（取g=10N／kg）     

活跃在竞赛中的几何计数问题

几何计数问题主要是指与几何有关的计数问题,由于该类问题往往蕴含着＂形＂的美妙与＂数＂的严谨,因此倍受竞赛命题者的青睐.几何计数问题的内容比较别致,富于变化.如果自己不能理清思路,寻找到一种合适的解法,就很难得到正确的答案.以下笔者结合一些数学竞赛试题,介绍几种典型的解法.1直接分类枚举当对于原问题中的各种情形一时无法统一处理,并且注意到结论不是很庞大的数字时,     

二进数布尔代数的几个应用结果

本文讨论了二进数所成的布尔代数以及它与X幂集P(X)所成的布尔代数之间的同构关系，利用其解决关于子集的交集、并集的计数问题，关于交错k-子集的计数问题和关于交错R-子集的计数定理。     

高中化学竞赛辅导（续）

高中化学竞赛辅导（续）浙江省诸暨中学石磊（上接第８～９合期）四、有序思考顺着一定线索，按照一定规律有条不紊地思考，按部就班地分析，由此及彼地推理，此谓“有序思考”。这种思维方法，对于解决头绪繁多，错综复杂的问题特别有效。它可以避免思维的盲目性，迅速找...