2011年高中联赛加试第三题的归纳法证明

题目设a1,a2,…,an（n≥4）是给定的正实数,a1〈a2〈…〈an,对任意正实数r满足aj-ai/ak-aj=r（1≤i〈j〈k≤n）的三元数组（i,j,k）的个数记为fn（r）．证明：fn（r）〈n^2/4．     

关于圆外切多边形的一个定理

定理 设边长依次为a1，a2，…，ak（k≥3）的k边形外切于圆，则 2/^n√2〈k∑i=1^n√ai/^n√k∑i=1ai≤k/^n√k.[第一段]     

例谈柯西不等式在解题中的应用

柯西不等式可以很好地考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力,因而成为高中数学各类考试中的热门考点.n 维柯西不等式的一般形式:对任意的实数a1,a2,…,an 及b1,b2,…,bn ,有((nΣi=1aibi)2≤(nΣi=1a2i)(nΣi=1b2i)),其中当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时(当bk ...     

例说柯西不等式的巧用

设a1,a2,a3,…,an;b1,b2,b3,…,bn是任意两组实数,则有((n∑i=1)aibi)2≤((n∑i=1)ai2)·((n∑i=1)bi2)当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时,取"="号,这就是柯西不等式.     

一个代数不等式及其应用

设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理:     

有关等比数列的一个充分条件

题目 已知数集A={a1,a2,…an}（1≤a1〈a2〈…〈an,n≥2）具有性质P：对任意的i,j（1≤i≤j≤n）,aiaj与aj/ai两数中至少有一个属于A。     

均匀分布q型的统计规律

研究均匀分布区间[a,b]上U=ηn^＊-η1^＊——（1-q）a＋qb-η1^＊的统计规律,其中,0〈q〈1,η1,η2…,ηn为取自总体η的容量为n的简单随机子样,η1^＊=min_l≤i≤n{ηi},ηn^＊=max_l≤i≤n{ηi},求出它的密度函数,分布函数。     

2009年高考数列交汇题的三大题型

数列与集合交汇 例1（北京卷）已知数集A={a1,a2,…,an}（1≤a1〈a2〈…〈an,n≥2）具有性质P：对任意的i,j（1≤i≤j≤n）,aiaj与aj/ai两数中至少有一个属于A．     

一道竞赛题及其推广的证明

设a1,a2,…,an〉0,且a1＋a2＋…＋an=1,n≥2且P≥1,q≥1,β≥1,pn-q/nβ^-1〉0,e ^n∑n=1 a^βi/p-qa^βi≥n/pn^β-q.     

一个不等式的推广

命题:若a,b,c,是正数,且a+b+c=1则: 1/a+b+1/b+c+1/c+a≥9/2这一不等式循环对称,耐人寻味,可推广出如下命题: 命题一:若a_1+a_2+…+a_n=1,a_i>0,(i=1,2,…,n,)则: 当且仅当a_1+a_2=a_2+a_3=…=a_(n-1)+a_n=a_n+a_1时,等号成立。命题二:若a_1+a_2+…+a_n=i,a_i>0 (i=1,2,…,n),则:     

例谈柯西不等式在解竞赛题中的应用

柯西不等式为:(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a21 a22 … a2n)(b21 b22十… b2n).其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时取"=",(约定ai=0时,bi=0,i=1,2,…,n).对于许多不等式问题,若善于运用柯西不等式及其等价形式,则往往会使一些棘手的问题变得简单明了.关键是构造适合不等式的条件,并能根据问题探索其等价形式.     

一个不等式的推广和应用

题目:设a、b、c∈R ,且a b c=1,则(a2/a b b2/b c c2/c a≥1/2.) 命题若ai∈R (i=1,2,…,n),且a1 a2 … an=M,则     

一个推广的不等式的应用

文 [1]中黄毅老师给出了柯西不等式的一个变式 ,并进行推广 ,得到定理 1　对于由任意正实数构成的 m个数组 a1 i,a2 i,… ,am i( i =1,2 ,… ,n) ,有不等式∑ni=1( a1 ia2 i… am i) 1m ≤( ∑ni =1a1 i .∑ni=1a2 i… ∑ni=1am i) 1m成立 ,当且仅当 a1 1 ∶ a1 2 ∶…∶ a1 n =a2 1 ∶ a2 2 ∶…∶ a2 n=… =am 1 ∶ am 2 ∶…∶ am n时等号成立 .笔者经过研究发现 ,利用定理 1,合理地选择数组 ,能使中数期刊上的一类根式和下确界不等式得到简单的证明 ,并且能得到一个一般性结论 .例 1　已知 a,b∈ R+ ,a +b =1,求证a +12 +b +12 >62 +22…     

算术平均值与几何平均值的一个新不等式

命题1 设ai≥λ＞0（或0＜αi≤λ）（i=1,2,…,n,n≥2）,则a1＋a2＋…＋an≤a1a2…an/λ^n-1＋（n-1）λ     

用一不等式巧解一串竞赛题

命题:若ai∈R,bi∈R+(I=1,2,…,n),则∑a2i/bi≥(∑ai)2/∑bi,当且仅当a1/b1=a2/bn=…=an/bn时等号成立.     

n个正整数的和与积相等条件下的有趣结论

本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论. 结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n). 证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1. (2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n). 又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+).     

2013中国国家集训队选拔考试

第一天 1.给定整数,n≥2,对任意互质的正整数 a1,a2,…,an,记 A=a1+a2+…+a口n. 对i=1,2,…,n,设A与ai的最大公约数 为d;ai,a2,…,an中删去ai后余下的n-l个 数的最大公约数为Di.求n(Ⅱ)i=1A-ai/diDi的最小值.     

偶数阶三点边值问题多正解的存在性

利用锥理论和Leggett-Williams不动点定理对偶数阶常微分方程组三点边值问题多个正解的存在性{u^（2m）（t）=（-1）^mf（t,v（t））,0≤t≤1,v^（2m）（t）=（-1）^mg（t,v（t））,0≤t≤1,u^（2i）（0）=u^（2i）（1）-αu^（2i）（ξ）=0,i=0,1…,m-1,v^（2i）（0）=v^（2i）（1）-βv^（2i）（η）=0,i=0,1…,m-1进行了讨论和证明,其中0〈ξ,η〈1,0〈α〈1/ξ,0〈β〈1／η且f,g∈C（[0,1]×[0,＋∞],[0,＋∞]）．     

关于推广的Shapiro不等式及其应用

对Shapiro不等式进行了研究,并将其进一步改进如下：若茹xi〉0,α〉0,λ∈R,μ∈R,t∈R,λ-μx^ti〉0（i=1,2,…,n）,则当rs〉0,r-s≥α（或r≤0,s〉0）时,有（n∑i=1x^r/（λ-μx^si））^a≥n^a＋t-r （n^∑i=1x^ia）^r/（n∑i-1（λ-μx^ti）^a）^s,（2）当rs〉0,r—s〈a,n〉1时,有（n∑i x^ri/（λ-μx^si）^s）^a〉（n^∑i=1x^ai）^r/（n∑i-1（λ-μx^ti）^a）^s,（3）当r〉0,s〈0,r—s≤a时,有（n∑i x^ri/（λ-μx^ti）^s）≤n^a＋s-r（n^∑i=1x^ia）^r/（n∑i-1（λ-μx^ti）^a）,所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果。     

ACZEL不等式及其运用

众所周知，著名的算术──几何平均值不等式、柯西不等式有着十分广泛的应用，许多书刊都进行了深入研究．然于国内的书刊似乎很少见到专文研究Aczel不等式应用的文章，其实Aczel不等式的应用也很广泛，它是一批新老不等式的综合．一、Aczel不等式定理设a、a_2∈R,b、b_i∈R(i=1,2,…,当且仅当a_i/b_i=a/b(i=1,2,…,n)时时取等号．证明设A=a~2-sunfromi=1tona_i~2,B=ab-sumfromi=1tona_ib_i,构造二次函数∴抛物线y=f(x)与x轴有交点，则a_i/b_i=a/b时(1)取等论.推论设a、a_i∈R,b、b_i∈R(i=1,2,当且仅当a_i/b_i=a/b(i=1,2,…,n)时等号成…