最小数原理

我们知道在一个有限数集中必有一个最小数;而在无限数集中有时却不一定有最小数.在一个仅由自然数组成的数集中,则不论这个集合是有限的还是无限的,必定有一个最小的数.这是自然数的一个重要性质,称之为最小数原理.最小数原理自然数的非空集合S中必有最小数存在.在数学中(特别在高等数学中)常要用到这一原理来证明一些命题.从逻辑上讲最小数原理和数学归纳法是等价的,但从解决问题的模式上看它们是各不相同的.一般地说,数学归纳法较多用来证明和自然数有关的肯定性命题.而最小数原理既可以证明肯     

用反证法代替数学归纳法

反证法和数学归纳法是数学中应用十分广泛的两种重要证明方法,二者之间不是孤立的,本文主要介绍怎样依据最小数原理用反证法代替数学归纳法,仅供参考．     

自然数序数理论中的几个问题——与《初等代数研究》作者商榷

本文指出余元希等所著的《初等代数研究》中关于自然数的序数理论的定理 1(自然数的加法是唯一存在的 )证明不妥 ,定理 13(最小数原理与归纳公理是等价命题 )及其证明是错误的 ,并提出了修改意见     

运用“最小数原理”解决数论问题

数论中有些问题的证明非常“难”,原因在于其外延小,而内涵丰富。“最小数原理”作为自然数理论的最基本原理,有着重要的应用价值。     

浅谈多项式带余除法及其推广

本文首先讨论了多项式带余除法的定理的证明和应用,分别用最小数原理和多项式定义与用矩阵的方法证明了多项式带余除法的定理.然后讨论了多元多项式的带余除法问题,接下来讨论了一元多项式的带余除法的反问题.最后通过实例说明了这些结论的应用。     

应用数学归纳法证题中的一类错误辩析

数学归纳法是数学中证明与自然数有关的命题时和常用的重要证明方法,它是以归纳公理或最小数原理为理论依据的。其基本步骤是: 1~0归纳奠基:如证P(n_0)或P(n_0),P(n_0+1),……P(n_0+t)为真(n_0,t∈N)。 2~0归纳假设:如假设n=k(k≥n_0)或n=k,k—1,…k—t 时P(n)为真(k≥n_0+t)。 3~0归纳推理:根据2~0的归纳假设推出P(n)对n=k+1时也成立。 4~0归纳结论:通过上述三步骤(实质上只两步),依据归纳公理或最小数原理等有关原理推知     

最小数原理与存在性命题

最小数原理是一个极为简单、极为重要而又易被人们忽视的原理. 最小数原理:设N是全体自然数组成的集合,M是N的一个非空子集,则M中必有最小数. 这个原理是相当明显的.我们注意到M是N的一个非空子集,可以是有限集也可以是无限集.对于以自然数为元素的集合,最小数当然是存在的。但如果N是整数集、有理数     

数学归纳法中易犯的错误

数学归纳法起源于自然数的归纳原理或最小数原理,而演变成各种形式,其中最常用的有第Ⅰ型数学归纳法与第Ⅱ型数学归纳法.它们都有规范的两个步骤,但用起来常常会出现这样或那样的问题.下面是数学归纳法中易犯的几个错误,有的出自于教科书,有的是学生屡犯的.例1 设 a_1=1,a_2=1,a_(n 1)=a_n a_(n-1)(n=2,3,…).证明:a_n=1/5~(1/2)[(1 5~(1/2)/2)~n-(1-5~(1/2)/2)~n].     

自然数四个命题的一种推证方法

本文应用自然数的基本性质(peano公理),对自然数的四个命题——数学里一类重要的证明方法进行讨论。而在许多文献中,对于这四个命题的讨论都是把“最小数原理”作为公理来证明的。本文的讨论是从peano公理体系出发加以论证的。     

单差推证法

大家知道,数字归纳法在证明与自然数有关的命题中起着举足轻重的作用。然而在许多命题的论证过程中又需要一定的技巧,且证明又十分复杂。为了避免数学归纳法这一不足,我们应用数学论证的另一种方法——单差推证法,从而起到简化论证有关自然数命题的作用。若p(n)—Q(n)是依赖于自然数N的命题,如果p(n。)—Q(n。)(n。∈N)及[p(n)—p(n-1)]—[Q(n)—Q(n—1)]都能使命题成立,则对任意自然数 n(n≥n。)命题 P(n)—Q(n)成立,这种论证方法叫单差推证法。对于自然数的任何一个非空子集如:{1、2、4、6……},{6、8、9、10、11}可以看出它们都有最小数1和6,这个问题就是数学中的一个公理:最小数原理:任何自然数的非空子集,一定有最小数。这个原     

取整函数的性质及其应用

设x是实数,用[x]代表不超过x的最大整数,即[x]≤x＜[x]+1.又称x-[x]为x的小数部分,记作{x},即{x}=x-[x],所以x=[x]+{x},并且0≤{x}＜1.有时为了书写简单起见,小数部分就用一个字母符号表示,而不打上花括号.例如:x=[x]+r,0≤r＜1.     

也谈小数的分类

本刊1995年第一期发表了《用9单独做循环节带来的田惑》(文[1])以及《如何看待循环节为9的循环小数》(文[2])两篇文章。文[1]中指出:“用9单独做循环节,将破坏比较两个小数大小的法则”,也会导致“小数的分类出现的错误”,从而建议“不用9单独做循环节”。文[2]是针对文[1]中提出的问题的解答,笔者     

费马数为质数的一个充要条件

本文以分数化小数的性质为基础，给出并证明费马数Fn＝2n＋1（n≥2）为质数的充要条件是1／Fn化为小数后是循环节的位数为Fn－1的循环小数。     

找寻学生真实的学习难点

[缘起] 基于一次教学"小数加减法"的课堂实践: 1."小数加减法",学生学习的难点在哪里? 情境引入后,我引导学生提出问题,针对"小明和小丽一共用了多少元?"这一问题,学生顺利地列出小数加法算式:4.75+3.4=     

极端性原理之最大数与最小数原理在数学竞赛中的应用

分析极端性原理之最大数原理与最小数原理,举例说明该原理在解关于不等式、唯一性、存在性等一类数学竞赛问题中的应用.     

“小数的认识”错例分析

[病例1]160.0730读作:____ [病症]160.0730读作:一百六十点七百三十[诊断]根据小数的读法法则,整数部分按照整数的读法去读,小数部分要顺次读出各个数位上的数字,小数部分有     

小数医院

啄木鸟医院里来了4个病号,啄木鸟医生正忙着给大家看病呢。[病例1]72.006读作:___ [病症]72.006读作:七十二点零六[诊断]小数部分少读了一个零。读小数时,整数部分按照整数的读法来读,小数点读作点,小数部分应     

最小数原理与数学归纳法

数学归纳法是证明关于自然数的无穷多个命题的一种重要方法,而数学归纳法的理论依据是自然数的归纳公理。所谓自然数的归纳公理,是意大利数学家皮亚诺(G.Peano,1858～1932)在1889年创立的自然数系的公理化定义中的第5条公理。这条公理通常表达为: 归纳公理 设M是自然数集N的一个子集,若M满足,(1)1∈M:(2)若K∈M,人则K 1∈M,则M=N,即M包含了所有的自然数。 自然数集还有另一个重要性质是 最小数原理 设M是自然数集N的一个非空子集,则必存在一个自然数M∈N,对一切n∈M都有m≤n,即m是M中的最小数。     

求小数的近似数

[教材内容]《求一个小数的近似数》是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）第八册第四单元《小数的意义和性质》的内容。 [教学目标]1、通过知识迁移,使学生能根据要求正确地运用“四舍五入法”求一个小数的近似数。     

“认识小数”教学片段与评析

当呈现材料,引入小数之后,我们下来引导学生进行自主探索,进而认识小数：理解小数的含义。（结合材料） 1．体会十分之几可以用一位小数表示,百分之几可以用两位小数表示。 师：你能上来指一指,说一说19厘米为什么用小数0．19米表示？