三角方程的增根与失根

在解三角方程时,往往避不开不等价变形和由此产生的增根或失根.一般来说,产生增根的原因是扩大了未知数的取值范围,如平方运算、去分母、万能公式从右边用到左边等;失根的原因是缩小了未知数的取值范围,如实施开     

三角方程的增根与失根

对统编教材高中《数学》第一册“简单的三角方程”这一单元的教学,可根据学生的学习基础与程度,适当讨论增根与失根的问题,从某种意义上讲,这是有必要的.在解三角方程时常需要对原方程变形,与解某些代数方程一样,在方程变形过程中.往往会扩大或缩小未知数的允许值范围,破坏方程的同解性.因此解三角方程就有可能产生增根或失根.     

三角方程增失根的判别

代数方程增失根的根本原因是未知量变化范围的扩大与缩小,在这一点上,三角方程与代数方程是一致的,然而在引起自变量范围变化的原因中,三角方程有其自身的特点.本文研究引起三角方程增失根的代数原因和三角原因。一、三角方程增失根的代数原因诸如两边平方、去分母、约去一个因式等代数变形、是代数方程增失根的一般原因,它也是引起三角方程增失根的代数原因.     

三角方程的增失根原因初探

本文对解三角方程中出现的增失根原因进行分类讨论,从而有效避免增失根。     

由一例谈反三角方程增失根

解反三角方程,要使超越方程代数化,无理方程有理化,分式方程整式化,高次方程低次化。在解方程过程中,常会出现增根和失根。增根可用检验的方法剔除,不过检验的方法不当,也会出现差错;失根要收回,但要收回失根却比较困难。为了剔除增根和收回失根,实现同解变形,必须弄清楚增根的来源和失根的去向。     

全世界之失業問題

一九一四年世界大戰,甫行開幕,某重要報章即刊一社論,題為君主之薄暮,預斷以前歐洲一部份統治者之命運。今日無須以預言之幻想形容一九三○年之全世界失業,此已为一般总統大臣与執政者千鈞一髮之问題。胡佛總统遭遇向未經驗之困難形勢。海門牧勒(Hermann Mueller)於一九三○年三月二十七日卸德國首相之職,而麥克唐納亦因此而改組其内閣。至黑索里尼所開始之工作,亦或不仅雄辯而已也。簡言之,今日     

一些“小問題”

本学期开学后,我曾跑到过一些小学。在了解情况中,也看到不少“小问题”。所谓“小问题”,只是说它常被人所忽略。实质上,这些问题并不是不足挂齿的。尤其是对儿童们来说,可能是有大影响的。因此,特摘录一二,与同志们共同研究。     

分式方程的增根与失根

提到分式方程，大家自然会联想到增根．那么增根是如何产生的？是不是每个分式方程都会产生增根？为了搞清楚这些问题，下面举例加以说明．     

分式方程的增根与失根

有些同学在解一个方程时，尤其是分式方程，经常出现的错误就是出现增根或失根．出现了这方面的错误，往往是由于违反了方程的同解原理或方程变形时粗心大意造成的．下面我们通过一些例题来说明．     

分式方程的增根与失根

在第九章第六节，我们学习了分式方程及其应用．毫无疑问，怎样解分式方程是本节的核心问题．因为，只有掌握了分式方程的解法，然后才能解决与之相关的应用问题，从而达到学以致用的目的．怎样解分式方程？教科书已作了介绍、其策略就是：分式方程整式方程．这里运用的思想是转化；手段是去分母或换元．显然，如何去掉分式方程中的分母就成为解分式方程的“关键”步骤，是解题成败的重要环节．至于解分式方程为什么会产生增根，课本上只是轻描淡写地提一下，不少同学对这个问题的看法还停留在一知半解、似懂非懂的状态．欲知为何增根，且看…     

試談办好中小学的一些认识問題

认真办好中小学校,提高教育质量,是社会主义建设事业中的一项具有战略意义的任务,是党和政府交给我们的一项光荣而艰巨的工作,也是我们全体教育工作者的共同愿望。解放以来,我省中小学教育,有了巨大的发展,成绩十分显著,学校教育质量逐步获得提高。但有的同志对怎样办好学校,什么样的学校是好学校,如何有效地全面地贯彻党的教育方针,积极地提高教育质量,认识颇不一致。譬如,有的同志把     

关于环境卫生中的住宅与水的一些問題

人是不可能脫离外界环境独立生活的。謝切諾夫说“沒有支持机体生存的外界环境,机体是不可想象的……。”巴甫洛夫說“……这些部分(指机体的各組成部分)不仅彼此相互联系,而且和周圍环境也成为統一的綜合体”他又說“机体成为一个系统存在于自然界,只是由于机体和外界环境相互平衡的結果”,由此可見外界环境对我們机体的关系是如何密切的了。随着社会主义大規模的經济建设,祖国各地新的城市、工业中心、农村人民公社的居民点都在逐步地建立起来,因此在計划的同时,也就考虑到如何符合一定的卫生学要求以保障人民的健康問題。在旧社会所建設的一些城市、乡镇就沒有也根本不可能如何考虑人民的卫生要求,以致造成了很多卫生条件极坏,     

关于动物种群与数量变迁的一些問題

动物群的問題是生态学中几个基本問題之一,但动物学中現今关于群的生态問題研究得非常不够。早在生态学成立之前,生物学家就在工作中发現許多重要問題,其中包括群及动物数量变迁的現象的問題。动物生态学基本研究問題不外有兩方面:一方面是研究某些种类里面个体的生物学問題,另一方面就是研究种內或种間群体的問題。对群体生态的研究常常接触到許多实际經济问题,如研究囓齿动物群的大发生規律,是与傳染病学及农业經济有关。这就是群的生态问題的內容之一部分,其中自然会涉及到动物数量变迁的影响因素,变迁規律及其他方面,可以这样說:当今的一些較大的生物学问題都直接或間接与数量变     

关于工資改革的一些問題解答

问:此次工资改革,小学教員与小举行政人員的工资标准,其具体內容有何不同? 答:过去,小学教員与小学行政人員是执行一个工资标准,城市与一般地區有兩种不同的職务等級线。此次工资改革,小学教員与小学行政人員执行兩种不同的工资标准,沒有城市与一般地區的區別。新的小学教員的工资标准分成十一个等级,本省执行1—10十个等級,新的小学行政人員的工资标准分成十三个等极,本省执行1—12十二个等級。茲根据本省不同地區,列表如下:     

谈谈解对数方程中的增根与失根

在高中数学中,简单的指数方程与对数方程属于超元方程,初学者颇感困难,特别是解对数方程时,涉及增根与失根问题时,更不能正确分析及判断,现将常见的几种情况归纳如下：     

对“三角方程中根的通值的等效問題”一文的一点意見和补充

趙憲初先生寫的“三角方程中根的通值的等效問題”一文登在本刊的总第12期上。仔細地看了这篇文章感到說得层次清楚有条有理,对讀者确有帮助。但我認为在这篇文章中还有几处說得不够詳尽,有补充的必要。 趙憲初先生这篇文章的最后一大段的第四小节未了,推得了如下的結果:“如果兩个式子(指n的一次式)当它們被同一个自然数m去除,且有相同不負的整数余数时,則这兩个式就屬于同一个集合,因此它們是等效的,否則就是不等效。”这个結果是有缺点的,首先是忽視了兩个式子(指n的一次式)被同一个自然数m去除后,它們的商式是否屬于同一个集合,即它們的商式是否等效。     

關於改進數学教学方法的一些問題

目前中学学生的數学知識質量,無論从高等学校或高級中学的招生考試成績來看,或者从各地教学質量檢查的材料來看,都充分說明數学教学的質量是远远不能滿足各方面的需要的。另外,从学生課外作業的負担方面來看,各地都反映教学大綱中“課外作業的時間不得超过課堂授課的時間的50％”的規定是难以执行的,实际上,課外作業的時間一般都接近或超过了授課時間,有的甚至还超过一、二倍以上。因此,進一步研究这些情况,找出原因,提出改進办法,以减輕學生的課外負担,提高教学質量,顯然是急需解决的問題。教育部規定从今年起增加了高中一年級的數学教学時間,对於解决上述問題是有一定作用的。但是,僅靠增加教学時間还不能解决全部問題。教師如果不鑽研教材,不改進教学方法,不能很好地利用教学時間,即使增加了教学時數,效果也是难以提高的。關於如何鑽研教材問題,不拟在本文中加以时論,以下僅就如何正確地利用教学時間、改進教学方法方面談幾點意見,供教師同志們参考。一、教学过程教学过程是教師在学生的自觉自     

谈分式方程的增根和失根

解分式方程是通过“去分母”法把分式方程“整式化”的。在化去分母“转化”为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。因此解分式方程中“去分母整式化”和“验根”是必不可少的步骤。     

關於清朝田賦問題的一些参考材料

有的教師提出了這樣的問題:我们講鴉片戰爭以前清朝的經濟情况時,講到農業經濟的恢復,說满清統治者統治中國後,曾受到廣大人民的激烈反抗,爲了緩和種族矛盾和階級矛盾,恢復封建社會的秩序,在抑制土地兼併,農民逃亡方面,採取了一些改革賦税制度的新措施。採用明朝嘉靖、萬曆年間的一條鞭法,取消明末的雜役和‘三餉’的加派。從康熙末年起經過雍正到乾隆年間,各地又先後實行了‘攤丁入畝’的新的賦税制度。這樣,一方面保證了賦税的收入,另方面對農村經濟的恢復也有一些促進作用。並把這種情况,作爲清初農民情况比明末稍好的原因之一。但是在講中國近代史的時候,又常提到满清中葉以後,賦税繁重,農民生活異常痛苦。范文瀾著中國近代史第三章太平天國革命第一節緒言中曾提到鸦片输入的不斷增加     

對於“關於歷史人物評論中的若干問題”一文中一些問題的覆函

最近本社收到讀者對於翦伯赞先生前在本刊二十一期發表的‘關於歷史人物評論中的若干問題’一文中的一些問題,經本社整理後,轉請翦伯赞先生參考,茲經翦先生函覆。本刊物將來函照登如後。