巧用因式分解 妙解质数赛题

同学们知道,质数（素数）是只能被1和它本身整除、且大于1的自然数．由此可知,质数具有这样的一个性质：若a、b都是正整数（自然数）,p是质数,且nd＝p,贝u。＝p,b一回或a＝l,b＝p．如果把质数的这个性质和因式分解紧密结合起来,就能巧解某些有关质数的竞赛试题．例1已知a、b、c、d为非负整数,且ac＋bd＋ad＋he＝1997,则a＋b＋c＋d＝（’97第十二届江苏竞赛试题〕解将已知等式左边因式分解,得—＊M＊毗十＆一以C＋d）＋b（c＋d）。（a＋b）（c＋d）．故（a＋b）卜十d）＝1997．a、入c、d为非负整数,rt牛b＞回,C＋dpe且．即a＋…     

图形的相似专题训练（三）

一、填空题1．相似图形的（）一定相同,（）不一定相同．2．量得两条线段a,b的长度分别为8cm和32cm,则a：b=（）     

一道高考题的联想

2005年全国数学高考题中有这样一题： 若a=ln2/2、b=ln3/3、c=ln5/5则（ ） （A）a〈b〈c （B）c〈b〈a （C）c〈a〈b （D）b〈a〈c     

应用三角形三边关系解题

第二册《几何》课本指出了三角形三边之间的关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．这一关系在解题中有着广泛的应用．现举例说明．一、判断三条线段能否构成三角形例1下列各组线段中，一定能构成三角形的是（）（A）4，5，9；（B）7，10，2；（C）a＋2，2a＋3，3a＋4（a＞0）；（D）a2，a2＋b2，a2－b2（a＞b＞0）．解析由三角形三边关系可知，如果两条较短线段的和大于较长线段，那么这三条线段能构成三角形．因为a＋2＋2a＋3＝3a＋5＞3a＋4，所以应选（C）．二、求三角形的某边长或其它有关线段的范围例2两根木棒长分…     

一道竞赛难题的巧解

一九九六年全国初中数学联赛第二试中有这样一道题：a、b、c均为自然数，二次函数y—ax‘＋by＋X的图象与X轴的两个不同的交点为A、B，且A、B到原点的距离都小于1．试求a＋b＋c的最小值．《初中生数学学习》杂志在今年7—8期（（19年全国初中数学联赛试题解答及部分试题背景探源）｝中给出了如下一种解法．【解］设A、B两点的坐标为（X；，0）、（。‘。，o）且XI＜XZ．依题设卜；卜1，卜。KI，又a、b、c＞0，b抛物线的对称轴X—一大＜0．。。。——。。，’。、J、。一山又抛物线y二ax’＋bx＋c与y轴的交点为C（O，C）且C＞0，；…     

学习等比性质应注意的几个问题

学习等比性质应注意下面三个问题：一、等比性质的证明方法九义课本《几何》第二册P202关于等比性质的证明方法叫做参数法，即通过引进参数k，以它为桥梁建立已知与未知或条件与结论之间的联系，从而达到解题或证题的目的．这种方法具有极为重要的典型性，求解与等比（或连比）有关的问题都可采用这种方法．请看下例．＝24，求a、b、c的值，解设，则将上述三式代人3a＋2b－c＝24，得故a＝6，b＝10，c＝14．例2已知a：b：a＝3：4：6，且2a－b＋3c＝20，求4a＋3b－2c的值．解因a：b：c＝3：4：6，故可设a＝3k，b＝4k，C＝6k．将上述三式代入2…     

重视课本，发掘习题的潜功能

《中学数学教学目标与检测》达标训练二填空题第一题是这样的：已知口,b,C是△ABC的三条边,比较大小（a＋b＋c）^2__4（ab＋bc＋ca）。这道题的解答可以用特殊值法。取a=b=c=1,     

一道模块测试题考后归因分析与教学反思

在新课标教材《必修2》模块测试中我们出了这样一道解析几何测试题：已知两条直线a1z＋b1Y＋1=0和a2x＋62Y＋1=0都过点A（2,1）,求过两点P1（a1,b1）,P2（a2,b2）的直线方程．     

多姿的焦半径

在圆锥曲线中，焦半径是一个很重要的几何量，它在解题中有着广泛的应用，故值得我们进一步总结和研究．为此，本文介绍形式多样、多姿多彩的焦半径的表达式，供同行参考．形式1P（x0，y0）是圆锥曲线C；：b2x2＋a’y‘一a’b’（a＞b＞o）或C。；b’x’－a‘y’一a’b’（a＞O，b＞O）上的任一点，凤（－c，o），几件，O）是左、右焦点，圆锥曲线的离心率是。，则这种形式是大家都熟悉的，证明从略．形式2设E，F是圆锥曲线Q：卜X‘＋a＊一a’尸（a＞b＞O）或Q·尸。’－a＊一a’尸（a＞O，b＞O）的两个焦点，点P在圆锥曲线上，c，e分…     

一道中考压轴题的探究与拓展

题目 如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k（k〉1）,且△ABC的三边长分别为a、b、c（a〉b〉c）,△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．     

从一个程序浅谈C语言运算符的灵活性

在讲述C语言的十十和—一运算符时,有同学提出这样一个程序：main（）｛inita＝3,b＝5,c;c＝a*b＋＋＋b;要得出c的值,首先要搞清＋＋＋的含义。＋＋运算符的结合方向是自右向左的,所以有同学将表达式理解为：c＝a*b＋（＋＋b）;实际上C编译器将表达式处理为：c=（a*b＋＋）＋b,因为C编译器总是从左至右尽可能多地将若干个字符组成一个运算符,如i＋＋＋j等价于（i＋＋）＋j。接下来是解决a*b＋＋的问题,因为＋＋运算符的运算对象只能是整形变量而不能是表达式或常数,所以a*b＋十显然是a*b＋＋）而非（a*b）＋＋,因此整个表达…     

一抽象函数习题的衍射性教学探究

《普通高中课程标准实验教科书数学1》96页练习11有这样一道题：已知f（x）=1g1-x/1＋x,a,b∈（-1,1）,求证f（a）＋f（b）=f（a＋b/1＋ab）.此题思路是分别将a,b代入f（x）中,将等式两边各自变形;采用的是“中间会合”技巧;考察的知识点是对数运算法则与它的应用,以及证明恒等式技巧．学生的解答过程如下：     

2011年第5期《错在哪里》参考答案

忽视字母的取值范围C提示：按错解的思路,利用基本不等式求范围,等号成立时,d＝√2,b=√2/2,显然不满足a〈b．由f（a）=f（b）,得｜1ga｜=｜1gb｜,则a=b（舍去）或b=1/a     

一道英国数学竞赛试题的探究性学习

在2006年英国数学奥林匹克竞赛试题中,有这样一道不等式题：问题1：已知a、b、c为正实数,求证：（a^2＋b^）。≥（a＋b＋c）（a＋b-C）（b＋c-a）（c＋a＋b）．①本文笔者应用分类讨论的思想方法,给出不等式①的一种证明,并从中思考这个不等式的产生动机,也就是编拟该试题的原始意图．     

相似形

（一）知识要点相似形的主要内容分为三部分：比例线段及其性质、平行线分线段成比例定理；相似三角形的定义、判定、性质及应用；相似多边形的定义及性质．其中平行线分线段成比例定理是研究相似形的基础，相似三角形的性质、判定及应用是本单元的重点．一、比例线段1．比例线段的有关概念前项、后项两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项．比例线段四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段Dll做成比例线段，简称比例线段．外项、内项、第四比例项如果二：b一C：d，那么C、d叫做比例外项沙、C叫做…     

一道全国联赛题的多种解法

题目已知（b－c）‘＝（a－b）卜一a）,””—”－4”—－”一”—－”””一”’。。。,b＋c且a一0,则——一这是99年全国初中数学联赛中的一道填空题．解答该题的关键在于将已知等式变形,找到b＋c与a之间的关系．下面介绍它的几种解法．一、因式分解法解已知等式化为4［a‘－（b＋c）a＋be〕＋（b－c）’＝0．4a‘－4（b＋c）a＋（b＋c）‘＝O．（2－b－c）’＝0ZC·b·C＝0,ZC＝b＋C．故i：u一达一2aa二、换元转化法解设a－b＝x,c－a＝yju三、积化和差法四、巧设比值法解已知等式化为两式相加,得五、添项拼凑法解不难发现b一一…     

正弦定理和余弦定理

正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比： a/sin A=b/sin B=c sin C. 证明：令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和c为它们的对边．我们考察两种三角形,一种是所有角都为锐角的三角形（图1（a））,另一种是有一个角为钝角的三角形,这里这个角为角A（图1（b））．     

2010年上海高考物理卷第24题中共线次数的多种解法

题目．如图1所示,3个质点a、b、C质量分别为m1、m2、M（M》m1,M》m2）．在C的万有引力作用下,a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,轨道半径之比％：rb=1：4,     

三角彤的射影定理及应用

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5（人教A版）第22页练习2（2）：在△ABC中,求证：a=bcosC＋ccosB,b=CCOSA＋aCOSC,C=acosB＋bcosA．     

一类课本不等式的推广

现行教材高中《代数》下册,有一类课本的例习题．已知a,b＞0,求证：这一组不等式结构对称、和谐、具有数学之美,笔者现将此类不等式作一些推广命题1已知a、b＞0,证明因为a、b＞0,n=p十q（高中教材《代数》下册32页第5题）证明由命题2得三式相加即得命题3已知a、b、c...