一个优美半对称不等式的改进

文[1]给出如下一个涉及角平分线和高线的不等式. 定理 在△ABC中,a、b、c为其三边,ta、ha分别为BC边所对的角平分线和BC边上的高,△、s分别为、△ABC的面积和半周长.     

一个几何不等式的加强

文[1]证明了如下不等式: 设r_a、r_b、r_c,t_a、t_b、t_c分别为△ABC的旁切圆半径和内角平分线长.则     

一个几何不等式的加强

文[1 ]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4 .①其中ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长.本文将其加强为:命题　设ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,R、p分别是三角形的外接圆半径和半周长.∑表示循环和.则有∑bct2a≥34Rp23.②证明:记△ABC的内切圆半径及三个旁切圆半径分别为r、ra、rb、rc.则有∑bct2a≥33abctatbtc2 (均值不等式) .由文[2 ]知,rarbrc≥tatbtc,从而,∑bct2a≥33abcrarbrc2 =334Rrpp2 r2 =3 4Rp23.易知②强于①.一个几何不等式的加强@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1…     

关于三角形内角平分线长的一个不等式

刘健在文[1]中建立了下述三角形不等式: 设△ABC的内角A,B,C的平分线与面积分别为w_a,w_b,w_c与△,则     

一个几何不等式的加强

1966年,H.Guggenheimer建立了三角形中的如下不等式[1]。 设△ABC的角平分线长和旁切圆半径     

一个涉及三角形旁切圆半径的不等式的加强

设△ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ、ｃ,相应边上的高、角平分线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ和ｔａ、ｔｂ、ｔｃ,外接圆半径为Ｒ ,内切圆半径为ｒ ,旁切圆半径为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,半周长为ｓ ,面积为△ .文 [1]建立了如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ+ ｃａｈ2 ｂ+ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 ,(1)文 [2 ]建立了强于 (1)式的不等式 :ｂｃｔ2 ａ+ ｃａｔ2 ｂ+ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 ,(2 )文 [3]建立了一个很美的不等式链 ,其中有一个涉及三角形旁切圆半径的强于 (2 )式的不等式 :ｂｃｒｂｒｃ+ ｃａｒｃｒａ + ａｂｒａｒｂ ≥ 4 . (3)本文将给出一个强于 (3)式的不等式 ,并得出…     

从一个猜想谈起

杨克昌同志在文[1]中曾提出如下的猜想：设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a、b、c所对角的内角平分线的长，则是否成立如下的不等式亦即不等式是否成立．我们说（1）不成立，即（1'）不成立．比如取等腰三角形a＝b＝l，则利用内角平分线长以及三角形面积公式可得容易看出，当c充分小时（比如取c＝0.01）所以猜想（1）不成立，那么是否可以调整一下，仍有类似的不等式成立呢？回答是肯定的，亦即定理设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a，b，c所对角的内角平分线的长，若△ABC的外接圆与内切圆半径分别是R和r，则有证…     

Cordon不等式另两个加强式及其它

本文约定:△ABC的三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径、面积以及三边上的高、角平分线及旁切圆半径分别为 a 、b 、c,s,R,r,D,ah、bh、ch, aw、bw、cw, ar、br、cr.表示循环和. 1967年,V.O.Cordon曾建立涉及△ABC中的高与边长之间的不等式[1]: 2222bcahh宄 . (1) 文[2]给出了(1)的加强: 2222bcaww宄 . (2) 文[3]将(2)加强为: 22()abcarrr宄 . (3) 本文将给出(1)的另两个加强式,指出(3)的最佳形式并给出涉及旁切圆半径和边长且与(1)类似的一个不等式. 定理 2222918()2bchhrRa 澹. …     

证一个几何不等式

文[1]指出:设△ABC的角平分线长和旁切圆半径分别为t_a、t_b、t_c,r_a、r_b、r_c,且当λ>0时有 本文将证明以下一个不等式,来得出(1)在λ=-1时也能成立.     

对∑mamb/wawb的一个上界估计

文[1]给出了如下的不等式： 命题1 在非钝角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，ma为边BC上的中线长，wa为∠A的平分线长．则有     

三论三角形外角平分线三角形的性质

文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若干性质.它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形,应有很多优美的性质,就像矿藏一样,不将这些矿藏从这个矿点里挖掘出来,总感到意犹未尽.基于这个想法,笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形.现将又得到的几个性质归结出来以飨读者.图1如图1,记△A′B′C′为△ABC的外角平分线三角形,△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,S为其半周长,△为其面积;△A′B′C′的三内角A′、B′、C′所对边的长分别为a′、b′、c′,△′为其面积.则:…     

对一个优美的半对称不等式的补充

文 [1 ]给出了一个优美的半对称不等式 :命题　在非钝角△ABC中 ,设BC =a ,AC =b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa为∠A的平分线长 ,则有mawa≤b2 +c22bc .①受文 [1 ]的启发 ,笔者发现以下一个优美的半对称不等式 :命题　在任意△ABC中 ,设BC =a ,AC=b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa 为∠A的平分线长 ,则mawa≥(b +c) 24bc .②证明 :设p为△ABC的半周长 ,则式②等价于(b +c) 4 w2a ≤1 6b2 c2 m2a.③由角平分线公式wa =2bcp(p -a)b +c 和中线长公式ma=12 2 (b2 +c2 ) -a2 可知③ (b +c) 2 [(b +c) 2 -a2 ]　　　　≤4bc[2 (b…     

Jani不等式的加强

本文约定:△ABC的三边、半周长、面积及三边上的高、角平分线和旁切圆半径分别为a、b、c,s,△,h_a、h_b、h_c,t_a、t_b、t_c,r_a、r_b、r_c。∑表示循环和。 R.R.Jani(?)曾建立如下不等式: 在△ABC中,有     

一个三角形不等式

文[1]中建立了一个不等式链: m_am_bm_c≥r_ar_br_c≥w_aw_bw_c。 (1) 下面给出不等式链(1)的一个综合加强。 命题 设m_a、m_b、m_c,w_a、w_b、w_c,r_a、r_b、r_c分别表示△ABC的中线、角平分线和旁切圆半径。则 m_am_bm_cw_aw_bw_c≥(r_ar_br_c)~2。 (2) 当且仅当△ABC为正三角形时,等号成立。     

外角平分线三角形中的类正弦定理

文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?…     

关于内角平分线与边长的几个不等式

建立三角形内角平分线与边长的几个不等式,并推证文[1]中的几个猜想不等式．     

关于三角形边长的一个不等式

设△ABC的三个边长与半周长分别为a,b,c和s．在文[1]中,作者对锐角三角形建立了不等式.     

欧拉不等式又两则简证

<正>不等式"R≥2r",也即"三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径",这就是著名的欧拉(Euler)不等式.文[1]、[2]给出的欧拉不等式"证法不容易",文[3]、[4]给出了"更简捷证法",受其启发,本文将再给出两则新简证.本文中,设△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,△ABC的外接圆和内切圆的     

一个三角形不等式的逆向

刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC…     

关于Milosevic不等式的加强

<正>设△ABC的三边长为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,半周长为s,面积为△,∑表示循环求和.文[1]介绍了由D.M.Milosevic提出的如下一个不等式