“加、减法的一些简便算法”教学设计及评析

一、复习旧知,作好准备1口算下面各题。574＋80340十70623＋200936十400230—60468—80840—300357—1902．在回里填上合适的数。78＝80一回99＝100一回87＝90一回101＝100十回学生练习后,教师谈话引人新课：刚才同学们做了一些口算题,这节课我们来学习特殊的口算—一加、减法的一些简便算法。二、先练后讲,探索新知1出示例1：113＋59,让学生练习。师：（巡视学生练习后）说说你是怎样算的？生：我是这样算的：3加9得12,1加5再加进上来的1得7,得数是172。师：可以这样算。请同学们想一想78＝80－2的道理,看看该题有没有更好的算法？…     

对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

谁的算法对又快

动物小学的数学课上，熊猫老师给同学们出了这样一道题：１２只小动物排成一队做操，小羊的前面有５只，小羊的后面有几只？大家看了题目后，一个个都认真地思考并解答起来。熊猫老师发现，同学们有三种不同的算法，于是请三位同学板演。小猴的算法：１．去掉前面的５只，还剩几只？１２－５＝７（只）２．小羊的后面还有几只？７－１＝６（只）（答略）小鹿的算法：１．小羊和它前面的５只，共有几只？５＋１＝６（只）２．小羊后面还有几只？１２－６＝６（只）（答略）小兔的算法：１．去掉小羊剩下多少只？１２－１＝１１（只）２．减去…     

若干平面几何命题向立体几何的移植(续)

若干平面几何命题向立体几何的移植（续）陕西省西安中学王扬问题５平面几何周长为定值ｌ的直角三角形何时面积最大？最大值是多少？解：设直角三角形的两直角边及斜边分别为ａ、ｂ、ｃ,则ｌ＝ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ＋ｂ＋ａ２＋ｂ２≥２ａｂ＋２ａｂ＝（２＋２）ａｂ＝（２＋２...     

“十几减9”教学片断及评析

师：同学们，我们来做拍手游戏，得数是１０。生１：我拍３。生齐：我拍７，３和７组成１０。（拍７下掌）生２：我拍６。生齐：我拍４，６和４组成１０。（拍４下掌）师：上学期，我们学习了９加几的加法，现在请大家先回忆，再填空（教师出示题目，学生填写）：９＋３＝（）９＋５＝（）９＋（）＝１３９＋（）＝１５９＋（）＝１１９＋（）＝１４师：请大家摆一摆，算一算，先摆９根小棒，再摆２根，一共有多少根？生：（学生回答，教师板书）９＋２＝１１师：（摆出１１根小棒，用虚线）狖？生：原来有１１根小棒，拿去９根，还剩多少根…     

“头同尾补”与“头补尾同”

一、头同尾补请大家观察如下算式：21×29＝609，23×27＝621，25×25＝625．两个因数的十位数相同（称“头同”），而个位数的和为10（简“尾补”）．算法是尾×尾作为积的十位和个位，不足10的用0占位，然后把头×（头＋1）的结果写在积的左边，这种简算的理论根据是：设这两个两位数分别为10a＋b和10a＋（10－b），则（10a＋b）×［10a＋（10－b）〕＝100a2＋100a－10ab＋10ab＋b（10－b）＝100a（a＋1）＋b（10－b）．其中b（10－b）就是尾×尾，a（a＋1）就是头×（头＋1）．例如81×89＝100×8×（8＋1）＋1×9＝7200＋9＝7209．二、…     

二次函数问题错解剖析

二次函数是初中数学的重要内容之一，现将学习二次函数常见的解题错误归类剖析如下，供同学们复习时参考．一、忽视参数的取值范围例１x１、x２是关于x的方程１４x２－（m＋１）x＋m２＋m＝０的两个实数根，设S＝x１２＋x２２．当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？错解：由题意得x１＋x２＝４（m＋１），x１x２＝４（m２＋m）．∴S＝x１２＋x２２＝（x１＋x２）２－２x１x２＝犤４（m＋１）犦２－８（m２＋m）＝８m２＋２４m＋１６＝８（m＋３２）２－２．∴当m＝－３２时，S有最小值－２．剖析：从上述解题过程中，很难发现有错误，…     

仅仅让学生发现是不够的——对一道练习题目的改进意见

苏教版《义务教育课程标准实验教科书》在四年级（上册）混合运算“想想做做”中有这样一道习题： 算一算、比一比，你有什么发现？ （1）180—36—44 180-（36＋44） （2）159-（59＋37） 159—59—37     

丁丁的成绩是多少

丁丁问老师这次测验自己得了多少分？老师说：“我想让你自己来算一算。你的成绩和宁宁、飞飞的成绩合在一起，平均是９２分，宁宁、飞飞的平均成绩比你们三人的平均成绩低２分。想一想，你的成绩是多少？”丁丁把老师说的情况一一列了出来。条件：（丁丁＋宁宁＋飞飞）÷３＝９２（宁宁＋飞飞）÷２＝９２－２问题：丁丁＝？分显然三人的总分是９２×３＝２７６（分）宁宁和飞飞的总分是（９２－２）×２＝１８０（分）所以丁丁的成绩是２７６－１８０＝９６（分）丁丁算完后对老师说：“我的成绩是９６分，对吗？”王老师笑着说：“对。如…     

一道因式分解题的多解

题目分解因式：X’－3X’十个解法1拆H次项,有原式二x3＋x2－4x‘＋4二（。’＋X‘）＋（。’＋4）＝。’（x＋1）4（＋1）（x一回）＝（X＋l）（。’－4X＋4）＝（。十五）（。－2）’解法2拆H次项,有原式一x’－2。’－X＼4＝（X’－ZX‘）－（X‘－4）＝x’（。－2）－（x＋2）（x－2）＝（－2）（’－X－2）＝（－2）’（＋1）．解法3拆常数项,有原式一x3＋l－3x2＋3＝（’＋l）－3（X’－l）＝（X＋1）（X’－X＋1）一到X＋1）（X一回）＝（x＋l）［（x‘－。＋1）－3x－l）〕＝（X＋l）（X‘－4。＋4）＝（X＊1）（X一月…     

两道方程的巧解

解下列方程（x∈R）在解之前，先给出一个命题：设奇函数f（x）是严格单调增（减）函数，则方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程（a＋1）x＋b＝0同解.证明：∵f（-x）＝-f（X），且f（x）是严格单调函数∴方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程利用上述性质可以巧妙地解此类方程.解1.原方程变形为令f（x）＝X～3＋x，则易证f（x）在x∈R上是奇函数，且是严格单调增函数，则由上述命题知原方程f（x）＋f（5x＋3）＝0与6x＋3＝0同解，由此得，原方程的解为x＝-1/2.2.令x＋1＝t，则原方程可化为显然f（t）满足上述命题条件，从而此关于t的方程与3t＋1…     

积极探索 掌握算理──第四册“混合运算”教学片断实录与评析

学习例２，弄清道理，掌握先乘后加减的运算顺序。 师：在日常生活中，我们经常买东西，看小明买了什么？ 师按顺序出示（投影出示） 师：谁能完整地说出这幅图的意思？ 生：小明买苹果花了３角钱，又买了３个梨，每个梨２角钱，一共花了多少钱？ 师：要求一共花了多少钱？你是怎样算的？怎么列式？ 生：先把小明买苹果的３角钱和买３个梨的６角钱合起来。列式为３＋２＋２＋２＝９（角） （师将图中的“？”角改为９角。） 师：谁还有不同的算法？ 生：买３个梨，每个梨是２角，就是求３个２角，用乘法，列式为２×３＝６（角），再把３角…     

要注重数学思想方法的学习

在期末复习中,知识的复习巩固固然重要,但数学思想方法的认识更为重要．因为一旦认讽和掌握了某种数学思想方法,就可以用来解决一类问题,甚至会有新的发现．初一《代数》（上）中主要渗透的数学思想方法有：一、用字母表示数的思想方法这一思想方法是贯穿初一代数的一根主线,用它来解决有关问题十分有效．例回求值：1999x19981998－－1998x19991999．解设lyP＝a,则原式·＝。【（。一1）．ld＋（a—l）」一（。－l）（。·ld＋a）＝a（。一1）（1”＋l）。（。。l）（lof＋l）＝O．二、整体思想方法在进行整式加减时,我们多次提到将…     

找出两件怪事的原因

第一件怪事（weirdy）错误的运算为什么得出正确的结果？一个学生在做分式运算时，练习簿（workbook）上出现了如下的算式：９３＋５３９３＋４３＝９＋５９＋４＝１４１３；３７３＋１３３３７３＋２４３＝３７＋１３３７＋２４＝５０６１．老师很生气，不客气地用红笔打了两个大“”号，要学生更正！这位同学理直气壮地跑来质问，说结果经验算是对的：９３＋５３９３＋４３＝７２９＋１２５７２９＋６４＝８５４７９３＝６１×１４６１×１３＝１４１３；①３７３＋１３３３７３＋２４３＝５０６５３＋２１９７５０６５３＋１３８２４＝５…     

等比性质的另一面

九义教材《几何》第二册Ｐ２０２介绍的等比性质：如果ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么ａ＋ｃ＋…＋ｍ／ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ａ／ｂ．显然，定理的结论是在附加条件：“ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０”下成立的．我们不禁要问：如果ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝０，那么结论又如何呢？仍用参数法，不难推得结论为：ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝０．证明　设ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ＝ｋ，则ａ＝ｂｋ，ｃ＝ｄｋ，…，ｍ＝ｎｋ．ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝ｂｋ＋ｄｋ＋…＋ｎｋ＝（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ）·ｋ＝０．这样，对等比性质我们可以把它完善为：如果ａ／ｂ＝…     

因式分解的其他方法

因式分解的方法较多，灵活性大，对部分题目，只限于用课本上介绍的四种方法显然不够，为此，本文介绍几种技巧和方法如下，供初二同学学习时参考．一、拆项法例1　分解因式：x3－9x＋8.（1993年华罗庚数学学校初一训练题）解∵－9x＝－x－8s，∴原式＝（x3－x）－（8x－8）＝x（x＋1）（x－1）－8（x－1）＝（x－1）（x2＋x－8）．注　本题还可拆常数项（8＝9－1）或拆三次项（x3＝－8x3＋9x3）进行分解．例2分解因式：bc（b＋c）＋ca（c－a）－ab（a＋b）．（1993年华罗庚数学学校初一训练题）解∵b＋c＝（a＋b）＋（c－a），∴原式＝bc［…     

直线方程的妙用

很多数学知识是具有可逆结构的,了解其结构特征,掌握彼此的互逆关系,可给解题带来方便．比如：点（m,n）,（p,q）在直线ax＋by＋c＝0上,则am＋bn＋c＝0,ap＋bq＋c＝0;反之,若果有am＋bn＋c＝0,aq＋bq＋c＝0,则方程ax＋by＋c＝0表示过点（m,n）,（p,q）的直线．下面以几个例子说明它在解题中的应用．例1设a2siD6＋acosθ－1＝0,bzsiflB＋bed－l＝0。一b）,求证：经过两点（8,d）、（b,hi）的直线不论日如何变化,都与定园相切．证明由aZsino＋acDexi－l＝0可得点A（,aZ）在f：xcosB＋ysin6－l＝O上;由bZsino＋beed…     

一类对数方程的推广

一次，老师在数学课上要我们解方程lg（x＋11）＋1＝lg（11x－1）．解原方程可变为得原方程的解为x＝111．如果把其中的11变成10或9时，结果如何？变式（1），解方程lg（x＋10）＋1＝lg（10x－1）．解原方程可变为lg（10x＋100）＝lg（10x－1），得X无实数解．变式（2），解方程似X＋9）＋1一议gX一1）．解原方程可变为得X无实数解．由上述方程，我们想如果把这个常数变为a，又会怎么样呢？那就是解方程似三十a）＋l一议ax－1）．解原方程可变为．．．当a＞10时，方程有实数解；当a＜l时，方程无实数解．上述方程都考虑底数为10的对数方程…     

让学生做学习新知的探索者自主学习——第七册“加、减法的一些简便算法“教学片断实录与评析

1、数学例1 　　师:“113 59=“有几种算法?哪种算法比较简便?(学生独立思考,小组交流) 　　生1:我这样做:113 59=(110 50) (3 9)=172.先算110 50=160,再算3 9=12,最后算160 12=172,就是113 59=(110 50) (3 9)=172. 　　生2:我这样做:113 59=113 50 9=172.……     

让学生做学习新知的探索者自主学习——第七册“加、减法的一些简便算法“教学片断实录与评析

1、数学例1 　　师:“113 59=“有几种算法?哪种算法比较简便?(学生独立思考,小组交流) 　　生1:我这样做:113 59=(110 50) (3 9)=172.先算110 50=160,再算3 9=12,最后算160 12=172,就是113 59=(110 50) (3 9)=172. 　　生2:我这样做:113 59=113 50 9=172.……