从一道竞赛题想开去

1984年重庆市数学竞赛的预选赛中有这样一道题: 已知△ABC中b=6,a≤b≤c,且三角形三边的长均为正整数,求满足此条件的三角形的个数。     

巧妙利用三角形三边关系解题

<正>近几年来,在江苏各地高三模拟试题中,发现一类关于隐含三角形三边关系的题型常常出现,学生很难找到突破口.本文通过几个例题,让大家感受如何挖掘题目中隐含的三角形三边关系.例1已知ΔABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a,c+2a≤3b,则b/a的取值范围为____.思路从题设条件出发,利用三角形的     

试谈一道三角形两边比问题的取值范围

《中等数学》1998年第3期的高中训练题中有这样一道选择题: △ABC的三边长a、b、c满足b c≤     

线性规划的应用

线性规划是教材中新增内容,应用它解某些数学问题,不仅能使问题化繁为简,还能启迪学生思维,提高灵活解题能力.1有关三角形问题例1三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()(A)15(B)30(C)36(D)以上都不对解不妨设三角形的另两边为x,y,且x≤??≤点(x,y)应在如图所示的阴影区域内,由上图易知阴影区域内(包括实边界)整点个数点占正方形内(包括边界)整点个数的1/4.所以满足题意的整点个数为122/4=36(个),选C.例2已知△ABC的三边长为a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则c/a的取值范围是.解设b/a=x>0,c/a=…     

整数解问题的初探

近几年来各省市数学竞赛的试卷中,有个少求整数解的问题。对这一问题的探讨,有利于培养学生逻辑思维能力和综合运算能力。 下面对四种类型整数解问题进行初步探讨。 例1 三边长是各不相等的整数且周长不大于13的三角形的个数共有多少个? 解;设三边分别为a、b、c,且a为最小边,c为最大边,构成三角形的条件长a b>C 当a b c=13时,13-c>c ∴c≤6 取c=6由a b=7     

三正数可作为三角形三边的几个命题

1987年上海市初中数学竞赛第五题及1987年全国数学冬令营竞赛题的第四题均为关于判定三正数是否可作为三角形的三边的问题。本文介绍几个关于三正数可作为三角形三边的命题。命题1 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是 a+b>c,b+c>a,c+a>b(1) 这是大家所熟知的结论,故略去证明。命题2 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是     

一道三角形个数问题的求解与推广

已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=m（m∈N^＊）,则这样的三角形有个（用m表示）（2013豫东豫北十校联考16题） 一、试题解法 解法1分析：作为一道填空题,可以小题小做,由于题中a,b,c都是整数,考虑取特殊值,运用由特殊到一般的解题思路.     

关于一个加强命题的探究

题 已知三角形三边长分别为a,b,c,求证 这是文[1]对1992年江苏省数学夏令营选拔赛试题二的加强,遗憾的是文中证明仅使用了a,b,c为正数,而a,b,c为三角形三边这一极为重要条件完全没有用上,因此结果不理解,本文将给出一个较好的结果。     

三角形的个数——特殊与一般的协同作用

认识往往要经历一个从特殊到一般的过程 ,这个过程简述为特殊与一般的协同作用 .下面以探求三角形的个数为例作一说明 .问题　a、b、c表示三角形三边的长 ,它们都是正整数 ,其中a≤b≤c ,若b =n ,这样的三角形有几个 ?分析　三角形的个数与n有关 ,设它的个数为f(n) ,问题变为求函数f(n)的具体表达式 .看来 ,这不是一个垂手可得的问题 ,困难在于n是任意正整数 .如果n是某个特殊正整数 ,问题的难度当然下降 .不妨从n =1,2 ,3试试看 .首先 ,正整数a、b、c受以下两式制约a≤b≤c ,　　①a +b >c .　　②1.当n =1时 ,b=1,由①得a =1;由②得c=1,可…     

三角形三边关系在解题中的应用

<正>一、基本结论1.如果正数a,b,c满足a+b> c,a+c>b,b+c> a,那么以a,b,c为边长能构成一个三角形;反之,若三角形的三边长是a,b,c,那么a+b> c,a+c> b,b+c> a.注利用这一结论解决与三角形三边有关的问题时,通常要说明正数a,b,c满足三个不等式,但在实际解题过程中比较繁琐.其实,当正数a,b,c满足条件a≤b≤c时,只要a+b> c,则可说明以a,b,c为边长能构成一个三角形,即有:     

线性规划的应用

线性规划是教材中新增内容,应用它解某些数学问题,不仅能使问题化繁为简,还能启迪学生思维,提高灵活解题能力.一、解三角形例1三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()(A)15(B)30(C)36(D)以上都不对解不妨设三角形的另两边为x,y,且x≤y,则011,x≤y.     

三角形三边关系定理在解题中的应用

正三角形三边关系定理及其推论在数学解题中有着重要的应用,下面分类举例说明.一、判断符合条件的三角形的个数例1将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形,那么,不全等的三角形的个数是().     

一道调研试题的别解、变题及其背景

南通市2009届高三第一次调研测试卷中最后一道解答题是: 如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为"保三角形函数". (1)判断下列函数是不是"保三角形函数",并证明你的结论:     

数学竞赛单元训练题(初中) 整数几何问题

一、选择题1 .将长为 1 2的线段截成长度为整数的三段 ,使它们构成一个三角形的三边 ,则构成的三角形 (　　 ) .A .不可能是等腰三角形B .不可能是直角三角形C .不可能是等边三角形D .不可能是钝角三角形2 .设a、b、c均为正整数 ,适合a≤b≤c,且a b c=1 5 ,那么以a、b、c为三边长的三角形的个数为(　　 )A .5　　B .7　　C .1 0　　D .1 53 .如图 1 ,BC是以AD为直径的⊙O的切线 ,AB⊥BC ,DC⊥BC .在下列哪种情况下 ,四边形ABCD的面积是整数 ?(　　 )A .AB =9,CD =4B .AB =7,CD =3C .AB =5 ,CD =2D .AB =3 ,CD =14.已知△…     

构造一元二次方程巧解数学题

在94年安顺地区举行的初中数学竞赛中,有这样一道题,已知a、b、c为实数,a+b+c=0,abc=1,求证a、b、c三个数中至少有一个大于3/2,此题除了其它解法之外,根据其结构特点,构造一元二次方程来证,不失为一种好方法,有许多象这样的数学     

一道夏令营选拔赛试题的推广

1992年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题: 已知三角形的三边长为a,b,c,求证将其推广,我们有 定理 已知三角形的三边长为a,b,c,λ∈[-2,2],则 (1)式左端不等式的证明可参阅本刊文[2].这里,我们仅给出(1)式右端不等式的证明。 证明     

三角形形状的判定

纵观近年各地各类初中数学竞赛试题,有关三角形形状判定的问题时常出现,由于这类问题灵活多变,思路曲折,条件隐藏,因此,解答这类题目时,需要根据其特征,选用适当的方法,运用代数和几何的有关方面的知识来确定三角形的边与边或者角与角之间的关系,进而对三角形的形状作出正确的判定.本文举例介绍一些常见的判定方法和解题思路,供读者学习参考.一、运用配方法例1(2004年北京市初二竞赛复赛题)△ABC中,三边BC=a,AC=b,AB=c,且满足a4 b4 12c4=a2c2 b2c2,试判定△ABC的形状.解:对题中的等式a4 b4 12c4=a2c2 b2c2配方,得(a2-12c2)2 (b2-12c2)2…     

一道IMO试题的推广

设 a、b、c为三角形的三边长,试证 222()()()0ababbcbccaca-+-+-? (1) 这是一道第24届IMO试题,本文从指数方向给出上述不等式的推广. 定理 设 a、b、c为三角形的三边长, 01g, 所以 abcggg+>; 同理,有 bcaggg+>,cabggg+>; 故以ag、bg、cg为三边长可构成三角形. 引理2 设 a、b、c为三角形的三边长, 2l,…     

再探三角形的边与圆的公共点个数

1．问题 文[1]对2009年浙江省一道高考题进行了探索．原题如下：设向量a,b满足｜a｜=3,｜b｜=4,a ·b=0,以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为l的圆的公共点个数最多为……………………（ ）     

一个三角不等式的两种证明方法

<正>题目 (加拿大数学杂志Crux Mathematicorum 4596题^[1])设a,b,c是三角形ABC三条边的长度,三角形ABC的内切圆半径为r,外接圆的半径为R.